AL L A 2L

attendu que — = — r-, d'après ce qui précède.

Ces résultats, déduits d*abord du calcul par M. Poisson, ont été vérifîés ensuite, par M. Cagniard de Latour, sur des fils de fer soumis directement à la traction, toujours dans les limites où leur élasticité n'est pas altérée d'une manière sensible (*).

242. Mesure de la contraction et de la dilatation cubiques. — Les géomètres ont aussi considéré le cas d'un prisme so-

(*) Cette question, qui est fondamentale dans la théorie innthêmatique de l'élasticité, a été étudiée cxpérintenlalement par Wcrtlieim, pur M. Kirchhofl* et récemment par M. Cornu. Werlhcim, en opérant sur des tubes on laiton et en cristal, a trouvé que le coefficient de contraction de la section est é{;al aux | du coefficient d'allongement longitudinal; d'où il résulte que l'accroissement de l'unité de volume est \, et non 7, de l'allongement par unité de longueur; ce rapport parait du reste, d'après les expériences antérieures, devoir varier d'une substance à une autre.

M. Cornu {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 2 Roûl 1869) conteste l'exactitude des résultats trouvés par \^'eitheim; il conclut, d'après des expériences très-remarquables basées sur le phénomène des anneaux colorés de Newton, que, comme l'avait établi Na\icr, en créant la théorie do l'élasticité sur des bases imparfaites, comme l'a démontré depuis M. de Saint- Venant d'une manière rigoureuse, le rapport entre le coefTicient de contraction transversale d'un prisme et son coefTicient d'allongement longitudinal , sous l'influence d'une traction, est le même pour les corps vraiment isotropes, et que sa valeur est représentée par le nombre }; ce réfultat est d'accord avec ceux qui sont donnés dans le texte. Les expériences publiées jusqu'ici par M. Cornu portent exclusivement sur le verre, qui est la seule substance isotrope dont on puisse vérifier l'homogénéité. (K.)

3o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

lide pressé à la fois et perpendiculairement à toutes ses faces, par des forces proportionnelles à l'étendue de chacun de leurs cléments superficiels, à peu près comme il le serait (14- et suivants) par un liquide qui Tenvclopperait de toutes parts, et qui supporterait lui-même une pression extérieure constante. Dans ce cas, la diminution de la hauteur du prisme est la moitié seulement de la contraction qu'éprouverait cette même hauteur pour le cas qui précède, c'est-à-dire précisément égale à la contraction linéaire, relative à une pression moindre de moitié, agissant aux deux extrémités du prisme seulement. Or, comme un prisme, pressé également sur toutes ses faces, se contracte d'une manière proportionnelle dans tous les sens, on en conclut immédiatement ( * ) que la contraction de volume correspondante, ou ce qu'on nomme la contraction cubique du prisme, est, à très-peu près, les \ de la fraction i qui exprime, dans le cas précédent, la contraction ou la dilatation linéaire subie par ce même prisme (**).

Ce principe qui s'applique à un corps déforme quelconque, attendu que tous les éléments cubiques de ce corps, pressés également en tous sens, éprouvent encore des diminutions de volume proportionnelles, ce principe fournit également le moyen de calculer la compression subie par les enveloppes solides : par exemple, les vases creux, soumis en tous leurs points extérieurs ou intérieurs, à une pression constante; car la réduction s*opcrant proportionnellement dans toutes les parties, comme si le vide était rempli de la matière propre de -l'enveloppe, ou comme si celte enveloppe appartenait à une masse continue et compacte, il est clair qu'on obtiendra, dans

C^) Kn effet, nommant L, IVI et K les trois dimensions du prisme dont il K'ap,it, il rcMiuItc, du principe énoncé, que ces dimensions se trouveront réduites res])ectivcment à

L— [ iL = L (I — ; /), M - ; /M - M (i - ; /), w — ^ iN = n (i - ; /);

co qui donne, pour le volume contracté du prisme, en nc(;1içeant ici encore les termes qui contiennent le carré et le cube de la fraction très-petite /,

LMN Ci — ; /)» ^ LMN - \ < LMN,

et, par coiu^equent, pour la contraction tot:)le on cubique, ' /LMN.

(**) VVerlheim, en introduisant le résultat de ses exi)érience5 dans les équations de Cauchy, a trouvé que le coefTicient de compressibilité cubique est égal au coefTicient de compressibilité linéaire. (K.)

DES BÊSIST ANGES. ScX)

ce cas, la contraction cubique de l'enveloppe, en retranchant, de la contraction cubique de son volume entier, celle qui appartiendrait à son vide intérieur.

On ne doit pas confondre, au surplus, la dilatation et la contraction cubiques dont il s'agit et qui sont occasionnées par des pressions véritables, avec celles que prennent les corps sous l'influence d'un changement de température; car, encore bien que celle-ci suive les mêmes lois, cependant sa mesure a une valeur très-différente, et qui est évidemment double de la précédente, c'est-à-dire trois fois la dilatation ou la contraction thermométrique /fWa/r^, de la même substance, puisque cette dernière indique bien l'accroissement ou la diminution proportionnelle que subissent les dimensions linéaires de chacun des éléments de volume, infiniment petits, dont se compose le corps entier.

243. Influence de la pression extérieure et de la gravité sur la constitution des prismes, — Il résulte du principe exposé en dernier lieu, qu'on sera en état de calculer la contraction ou la dilatation cubique d'une substance donnée, quand on connaîtra sa dilatation linéaire, son allongement proportionnel sous un effort correspondant à la pression superficielle qu'il supporte, et réciproquement; or cela est utile dans plusieurs circonstances de la pratique.

C'est ainsi, par exemple, que MM. Colladon et Sturm, dans leur Mémoire sur la compressibilité des liquides, qui a été couronné, en 1827, par rÀcadémie des Sciences de Paris, ont trouvé, d'après des expériences direciessur rallongement des liges de verre tirées dans le sens de leur axe (*), que la contraction cubique ou la dimingtion de volume de cette substance, est les 0,000001 65 ou jjjjj environ (**), du volume primitif, pour chaque atmosphère) de pression équivalente à i^»,o33 par centimètre carré de surface, etc.

On voit aussi que ce même principe permettra de tenir compte, dans certains cas, de l'influence de la pression atmosphérique, qui, en agissant à la surface extérieure de tous les

(*) f'ojez le résultat de cette expérience au n® 207 ci-après.

(**) D*aprcs les expériences de Werlhcim, il faudrait prendre les J de ce chiffre, ce qui donnerait 0,000001 1 au lien de 0,000 001 G5. (K.)

3lO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

corps, tend à diminuer leur volume tout en augmentant leur force élastique. Mais on peut négliger entièrement cette influence pour des corps solides tels que ceux qui sont ordinairement employés dans les arts, et il nous suffit ici de remarquer que Felfet de la pression dont il s*agit se réduit à

augmenter la force élastique E= —n relative (1236) à Tunilc

de section d'un prisme, tiré dans le sens de ses arêtes par une force P, d'une quantité égale à la moitié seulement de cette pression atmosphéric^ue sur la même unité.

Quant à l'influence du poids propre de chacune des parties ou tranches d'un prisme vertical soumis à l'effet d'une charge qui comprime ou distend ses flbres, elle peut évidemment être représentée, pour les premiers accourcissements ou allongements, par celle d'une surcharge égale à la moitié du poids total du prisme (*); ce qui la rend pareillement négligeable dans presque tous les cas d'application.

244-. De la résistance des prismes à la rupture on de leur force absolue de ténacité. — On désigne spécialement ainsi, le plus grand des efforts (240) que peut supporter, sans se rompre ou s'écraser complètement, un prisme solide ou comprimé dans le sens de ses arêtes, et l'on admet encore ici que ce plus grand effort demeure proportionnel au nombre des molécules contenues dans chacune des sections transversales du prisme, ou, ce qui revient au même, à Taire de ces seclions, sans avoir aucunement égard aux allongements et aux autres changements de forme qu'il a pu éprouver avant l'instant de la rupture.

Nommant toujours A celte ^ire considérée pour l'état d'équilibre naturel ou primitif du solide, et R la résistance sur l'unité de surface, on aura, pour calculer la charge, ou force P, ca|>able de rompre le prisme, soil en l'écrasant, soit en le déchirant ou rallongeant,