A ^=:: I , / == L OU

de sorte qu'on aura

résultat qui montre, conformément aux notions admises par les géomètres, que le coefficient d'élasticité d'une substance homogène quelconque n'est autre chose que le poids qui serait capable d'accourcir ou d'allonger une barre prismatique y formée de cette substance et ayant l'unité de surface pour section transversale y d'une quantité précisément égale à sa longueur primitive.

Cette manière d'envisager la force élastique est analogue à celle dont nous avons vu (132 et 133) qu'on mesurait lés forces motrices variables par la vitesse finie qu'elles imprimeraient directement à un corps, au bout de l'unité de temps, si on leur supposait une lnl(?nsllc d'action constante, el précisément' égale à celle qu'elles possèdent à l'instant considéré. Mais il convient de ne jamais perdre de vue, dans les appli-

3o2 HÉG\N1QU£ INDUSTRIELLE.

cations, Torigine de pareilles définîUons, qui souvent offrent une conlradiction apparente avec les faits naturels.

238. Considérations géométriques et physiques relatives à la loi de la résistance élastique. — Puisqu'il existe pour tous les corps solides, même pour ceifx qui sont considérés comme les plus élastiques, une limite passé laquelle les allongements ou accourcisscmenls / cessent d'être exactement proportionnels aux eiForis de traction ou de compression correspondants P, il faul bien admettre aussi qu'en deçà de cette limite, plus ou moins reculée pour chaque cas, la valeur de E varie avec le déplacement absolu des molécules, d'une manière qui peut bien être insensible à nos moyens d'observation, mais qui n'en existe pas moins dans la réalité. En général, les efforts de traction ou de compression et la résistance des prismes, doivent suivre des lois mathématiques, par cela seul qu'il existe de pareilles lois entre les forces d'attraction et de répulsion des molécules qui les composent. Ces lois peuvent être irèsdisUncles de celles qui se rapportent aux molécules individuelles; mais, en les supposant données par l'expérience, dans chaque cas, on peut leur appliquer des considérations géométriques analogues à celles dont nous avons fait usage' aux n"' 226 et suivants, et en déduire des conséquences souvent utiles.

Si l'on construit, en effet, une courbe ayant pour abscisses les allongements ou accourcissements, et pour ordonnées les efforts de traction ou de compression relatifs à chaque état d'équilibre stable dit prisme, en observant de porter en sens contraire les abscisses et ordonnées simplement relatives aux accourcissements et aux compressions; la discussion, établie à peu près comme aux endroits cités, fera connaître la manière dont la résistance élastique, considérée pour la longueur totale ou l'unité de longueur de ce prisme, varie avec chacun des changements de forme qu'il a éprouvés : cette résistance sera ici évidemment mesurée (*) par rinclinaison, sur l'axe des abscisses, de la tangente au point correspondant de la courbe, c'est-à-dire par le rapport constant de l'accroissement des or-

(•) P'orez principalement les Notes qui accompajjnent les n®* 220, 227 et 228.

UES RÉSISTANCES. 3o3

données à raccroissement des abscisses de celle langenie, rappon qui peul se confondre sensiblemcni, dans une étendue plus ou moins grande de pari ei d'autre du point de contact, avec celui qui se conclurail des accroissements ou diminutions des ordonnée set des abscisses mêmes de la courbe dont il s'agit.

Maintenant si Ton porte chacune des valeurs de ce rapport sur l'ordonnée correspondante, on obtiendra les points d'une nouvelle courbe qui fera connaître la loi même dos variations que subit la résistance élastique pour les divers allongements du prisme. Enfm, si l'on calcule, d'après la méthode du n<» 180, l'aire comprise entre la première de ces deux courbes» l'axe des abscisses et deux quelconques de ses ordonnées, on obtiendra (72) la valeur du travail mécanique nécessaire pour vaincre la résistance que le prisme oppose à l'action de la force qui lui est appliquée, entre les deux positions qui correspondent a ces ordonnées.

Nous appelons spécialement l'attention du lecteur sur ce genre de considérations qui peut servir, dans chaque cas, à se procurer, par l'expérience, des données claires sur ce qu'on nomme, en général, la raideur, la résistance élastique des corps; car ces considérations s'appliquent évidemment aussi à un corps solide de forme quelconque, sollicité par un efforl qui agit dans une direction constante, perpendiculaire à sa surface extérieure, el dont le point d'application décrit, dans le sens de celte même direction, des chemins qui croissent, avec son intensité, suivant une loi exprimable par une courbe continue. En effet, celte résistance sera toujours donnée, pour chacune des positions du corps, par l'inclinaison de la tangente correspondante de la courbe, sur l'axe des abscisses, relatif aux déplacements du point d'application de la force.

239. Données et observations générales sur cette loi, — En appliquant, par exemple, ces considérations à la détente ou à la compression des gaz, dont on s'est occupé aux n°* 181 el suivants (P/. Uyjig' 4* ^^ 4^)» <^" trouvera que leur résistance élastique va conslamment en diminuant à mesure que le volume ou la détente augmente, et réciproquement; mais que cela a lieu suivant une progression beaucoup plus rapide que ne l'indique la loi de Mariotte pour les simples pressions,

3o4 MÉCANIQUE INDOSTBIELLK.

puisque la résislance dont il s'a<(it suit alors la raison inverse du carré des volumes.

Quant aux prismes solides, il parait qu'à partir des premiers instants, la résistance élastique croit, en général, avec les efforts de compression, et diminue, au contraire, à mesure que les efforts de traction augmentent, à peu près comme on Ta admis (229) pour le cas de deux simples molécules; mais les expériences connues ne permettent pas d'afOrmer qu'au delà d'une certaine limite, la force élastique devienne nulle et encore moins négative (229), ni que les prismes entiers présentent des états d'équilibre, alternativement stables ou instables, analogues à ceux qui ont été mentionnés dans les n"^ 231 et 232.

Les courbes des Jig. ^7 et 48, PI. Il y relatives à des expériences qui seront rappelées plus loin , sur la résistance de prismes solides tirés verticalement par des poids, et dont les abscisses et ordonnées expriment les allongements et les charges correspondant aux états successifs d'équilibre, ces courbes montrent, par l'inclinaison de leurs tangentes sur l'axe horizontal des abscisses, que la résistance élastique, qui d'abord reste sensiblement constante, diminue souvent d'une manière très- rapide à partir d'un certain terme, ^ns néanmoins devenir rigoureusement nulle, même pour les allongements très-voisins de la rupture. Or cette dernière circonstance tient, sans aucun doute, à la difQcûlté qu'on éprouve à observer les états d'équilibre instables; à la rapidité avec laquelle la résistance du prisme décroît dans les instants où s'opère la séparation complète des parties; enfin à ce que, vers ces instants, les allongements cessent de s'opérer uniformément sur retendue entière de la barre, et n'ont plus lieu sensiblement que sur la portion', souvent très-courte pour les corps raides, où se fait la séparation iléfinitivc des molécules, portion dont Taltéralioii élastique est masquée par la force de ressort que conservent encore les autres parties, et qui se manif(îst(i clairement après la rupture complète.

Cette dernière considération fait voir que la résislance élastique de la barre entière, aux instants qui précèdent cette rupture, est une sorte de moyenne (|ui ne saurait être confondue avec la résislance elfective d'aucun de ses élénjenls, ce qui diminue beaucoup son importance sous le point de vue

DBS RÉSISTANCES. 3o5

pratique. Quant à la résistance absolue, sans rien vouloir préjuger sur ce qui se passe dans un assemblage de molécules • dont, comme nous le verrons bientôt, les unes se rapprochent en se repoussant, en même temps que les autres s*écartent en s'altirant, on est cependant encore ici fondé à admettre, puisque cette résistance est nulle à l'instant où les dernières particules se séparent, qu'elle a dû décroître, d'une manière continue, à partir de celui qui répond à sa plus grande valeur, à peu près comme on conclut que, dans le choc des corps les plus durs, la pression et la vitesse passent, de leur valeur avant le choc, à celles qu'elles prennent après, par une succession de degrés continus et infmiment petits ( 165).

2W). De la contraction et de la dilatation latérales des prismes aux premiers instants. — Nous avons admis implicitement, dans ce qui précède (236), que quand un piisme solide est soumis à un effort qui tend à l'allonger ou à raccourcir, ses dififérentes fibres ou (Iles de molécules restent parallèles entre elles et équidistantes, c'est-à-dire que les sections transversales de ce prisme demeurent constantes dans toute sa longueur; mais, en réalité, l'expérience apprend que, dans le premier cas, le prisme va en se rétrécissant, de plus en plus, à partir des extrémités, et, au contraire, en se renflant dans le second, de manière à présenter une sorte de ventre vers le milieu de sa longueur. Ces effets, qui se manifestent d'une manière trèsapparente pour des prismes fort courts et pour des substances plus ou moins molles, tiennent essentiellement à l'isolement et à la disposition mutuelle des molécules qui, uniquement 4iées les unes aux autres par leurs forces d'attraction et de répulsion réciproques, forment une sorte de réseau ou Jilet dont les mailles ou losanges tendent à se resserrer da^is un sens quand on les allonge dans l'autre, et vice versa; effets qui sont favorisés d'ailleurs, dans la plupart des dispositifs employés aux expériences, où les molécules des extrémités des corps soumis à la compression ou à l'extension, sont ordinairement maintenues entre elles à des distances invariables par des forces particulières, ou parce qu'elles forment liaison avec d'autres corps.

Lorsqu'il s'agit, au contraire, de prismes dont la longueur

3o6 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

est fort grande par rapport à Topaisscur ou à la largeur, et de substances très-raides et très*clasliques, telles que les bois, les pierres et la plupart des métaux, le mode d'applicaiion des deux forces qui agissent à leurs extrémités, c'est-à-dire la manière dont ces extrémités sont saisies ou fixées, n'exerce d'influence appréciable que jusqu'à une distance assez faible des points d'attache, et les sections restent sensiblement uniformes, sauf dans cette petite étendue, tant que Textension ou la compression n*a pas dépasse la limite pour laquelle les molécules conservent la faculté de revenir à leur position primitive. Chacune des parties d'un pareil prisme se trouve ainsi, à trèspeu près, dans le même état que si l'on avait appliqué à ses différentes fibres ou files de molécules, des forces égales qui leur permissent de s'approcher ou de s'écarter librement les unes des autres, en cédant uniquement à la force d'attraction ou de répulsion latérale et réciproque de ces molécules.

241. Loi de cette dilatation et de cette contraction, chan" gement de volume subi par les prismes, — En adoptant ces hypothèses, et en ne considérant d'ailleurs que les effets qui se rapportent aux premiers déplacements des molécules, les géomètres de notre époque sont parvenus à découvrir, à l'aide de savants calculs, la loi qui lie les allongements des prismes élastiques aux contractions ou distensions de leurs sections

transversales. Nommant toujours i = t rallongement proportionnel ou pour l'unité de longueur du prisme, et a I9 quantité dont Taire A, des sections transversales de ce prisme, se trouve en même temps diminuée, on a, d'après ces calculs, •

dans toute l'étendue pour laquelle les allongements demeurent exactement proportionnels aux efforts de traction; c'està-dire que la contraction superjîvif^lle des tranches par unité d'aire des sections transversales est précisément la moitié de l'allongement par unité linéaire.

Or il résulte aussi de ce principe, que le volume du prisme augmente, encore bien que ses sections diminuent, et augmente

DBS RÉSISTANCES. 3o7

d*une fraction qui est sensiblement la moitié de celle i, qui correspond à l'allongement. En eiîel, le volume du prisme avait d'abord pour mesure le produit AL, et il est ensuite devenu

(A — «)(L-+-/) = AL-h A/— aL— «/,

quantité dans laquelle on peut négliger le produit «t/ vis-à-vis des autres, puisque a ei l sont censés extrêmemenl petits par rapport à A et à L. L'accroissement absolu de ce volume est donc sensiblement égal à A/— aL, ce qui donne pour son accroissement proportionnel :

A/— «L lai

= rh