Q=AE

d'où il résulte que cet allongement est seulement la moitié de celui I = YTT» obtenu , en premier lieu, pour la fin du mouvement descendant de Q; c'est-à-dire qu'il est précisément égal à l'allongement de stabilité sous cette même charge Q.

Nommant d'ailleurs L' =l IL, /' = i'L les allongements correspondants à I, I ', et qui sont relatifs à la longueur entière f^, du prisme, on voit qu'on aura, pour calculer L' et /', les formules

toujours dans les hypothèses où la limite d'élasticité ne serait pas dépassée pour la première de ces valeurs, car, si elle l'était, il conviendrait alors de recourir aux données qui sont fournies (289 et suivants) par les résultats des expériences directes, relatives à chaque nature des substances; ce qui serait toujours facile, en raisonnant comme nous venons de le faire.

313. Équation fondamentale du mouvement. — Si Ton considère (310) combien est faible, en général, l'influence du poids des molécules du prisme, dans les q^ieslions du genre de celle qui nous occupe, où la charge Q est toujours trèsforte comparativement à ce poids, on sera conduit, non-seulement a en faire abstraction dans presque tous les cas, mais encore à négliger pareillement celle qui peut être due aux forces d'inertie et aux forces vives acquises, par ces mêmes molécules, dans le mouvement qui leur est transmis par Tin-

4^2 MÉCANIQUE INDiJSTRIELLE.

termédiaire de la charge. £n effel, il paroll évident en soi que» à moins de mouvemenls désordonnés, ces forces doivent croître depuis le point d'attache supérieur du prisme, où la vitesse est toujours censée nulle, jusqu'au point qui correspond à la charge suspendue à son extrémité inférieure, et qui est censé posséder absolument la même vitesse que celte charge. Or, si la somme des poids mg (12()) des molécules du prisme est réellement négligeable vis-à-vis du poids Q, il en résulte nécessairement que la somme de leurs forces

d'inertie, /w-? ou de leurs forces vives, mV, doit l'être, à

fortiori, par rapport à celles de ce poids. Admettant donc ces conséquences qui reviennent, au fond, à supposer que la ten- ' sîon, la force de ressort des molécules du prisme, est, à chaque instant, la même dans toute son étendue, ou s'y propage, pour ainsi dire, sans perte et avec une rapidité infinie (57 et 63), il deviendra facile de découvrir, par le calcul ou par des considérations purement géométriques, toutes les circonstances essentielles d'un mouvement, dont nous n'avons précédemment considéré que quelques particularités très-simples.

Considérant, à cet effet, le prisme, ou plutôt la charge 0» dans une des positions intermédiaires qu'elle atteint pendant le mouvement, et supposant toujours que son élasticité ne soit altérée à aucun instant, on remarquera que / ou iL, étant l'allongement total relatif à cette position, la quantité de travail développée dès lors, par la gravilc, sur la charge Q, depuis rinstanloù celle-ci occupait la première position, ctoii /était nulle, a pour mesure le produit Q/ ou Q/L, tandis quecelle de la

résistance élastique, AE/ou AEy» est mesurée (2V7) par cet autre produit lALE/^=: — g— ; d'où il résulte que l'excès

de la première de ces quantités, qui appartient à la puissance, sur la seconde qui correspond à la résistance, mesure, dans nos hypothèses, le travail employé à vaincre l'inertie de la

masse M oU — du poids 0« Donc, en venu du principe du

II" 136, on devra avoir régalilc

de laquelle il est facile de lirer la valeur de la viiesse V, relative à chacun des allongements /, supposés donnés.

On la niellra sous une forme un peu plus simple, en remarquant que, si l'on a déjà calculé, d'après ce qui est exposé à

la fin du précédent article, rallongement i' ou-j-j correspondant à Tinsiant où la vitesse acquise est la plus grande, et qui est la moitié de l'allongement maximum ou (inal, il sera inutile

AE

de calculer, sur de nouveaux frais, la quantité -=— qui entre

dans celle équation. Car, puisqu'on a

Q = AE / ' =^ AE Y ) on aura aussi -j— = ^ •,

ce qui permettra de supprimer le facteur Q, devenu commun à tous ses termes, de sorte qu'elle deviendra simplement

i) ou V'=^(a/'-/)/;

d'où l'on tire, par l'extraclion de la racine carrée, ei en posant pour simplifier,

Or k, racine carrée du rapport entre deux longueurs, g et /', est un simple nombre ou coefficient facile à calculer, et

^{iV ^ 1)1 est la moyenne proportionnelle entre les longueurs ^l' — / et /, qu'on pourra également calculer ou construire géométriquement quand on se sera donné / à priori; donc, rien ne sera plus simple que de se représenter la loi qui lie ces allongements variables, /, du prisme, avec les vitesses

4^4 MÉCAMQUE INDUSTRIELLE.

correspondantes, V, de la charge Q, suspendue à son exirc-

milé inférieure.

314-. Représentation des lois de ce mouvement par des formules ou constructions géométriques. Expression de la ritesse. — Soit AB (PI. Il y fis- 5i), la longueur de la lige donl il s'agit; RC son allongement de slabilité, V , sous la charge Q; BD = 2BC = 2/' son allongement maximum sous la vitesse acquise par cette charge (312); enfin Bw, rallongement /, qu'elle a pris à l'instant 0(1 la vitesse est V; il résulte, de ce qui précède, que, si, sur BDr^:;»./', comme diamètre, on décrit un demi-cercle, il renconirera Thorizonlale menée par m, en un point /e, tel qu'on aura

v/TïÏDTmB = vl^iT^^irBymB = sl{iV — 1)1,

et par conséquent

V = h,mn.

Rapport des espaces aux temps élémentaires, — Supposant que mm' représente l'allongement infiniment petit, reçu par mB ou /, pendant le temps élémentaire, /, on aura aussi (132 et 133)

,r mm' , 1» > , '''''''

\ .— :=j:h',mn; d ou / =-: 7

/ k,mn

Cette dernière expression indiquant que le temps croît proportionnellement au rapport de mm' à w/i, on en déduira un résultat encore plus simple, en observant que mm' e^it égal à la perpendiculaire ou verticale /?/;, abaissée de /?, sur l'ordonnée m' n'j du cercle, infiniment voisine de mn. Car, si Ton mène le rayon C/i = /' qui est perpendiculaire à l'extrémité /i, de l'arc infiniment petit, nn', de ce cercle, on aura, par les triangles, rectangles et semblables, nn'p, Cmn, à cause que leurs côtés sont respectivement perpendiculaires,

np mm' nn' nn'

'^ ou .

mn mn Ln l

ce qui donne facilement

nn' nn' ,

DBS RÉSISTANCES. 4^^

et prouve, attendu que kV = l' \/^= v^ g^' est une quantité

constante pour toutes les positions de Textrémité B : i*' que les accroissements infiniment petits, /, du temps sont protionnels aux accroissements nn\ de l'arc Bn qui correspond à Tespace Bm = /, déjà décrit, par le point d'application de la charge Q, à l'instant où la vitesse est V; 2" que la vitesse de

circulation (48), du point n, sur le cercle auquel il appartient, est ici constante et égale à kl', de sprte que son mouvement est rigoureusement uniforme, encore bien que celui du point m, auquel il correspond à chaque Instant, varie sans cesse.

Expression géométrique du temps, — Nommant donc T le nombre des secondes écoulées depuis l'origine du mouvement, où m était en B, on aura, pour calculer T, la formule

arcB/i

ou, ce qui est la même chose, on aura, pour calculer Tare Bn et, par suite, Bm ou /,

arcB/i = /r/'T.

Formules trigonométriques. — Ordinairement on nomme, dans le cercle dont le rayon BC, ou C/i, serait pris pour l'unité : mn le sinus d'un arc tel que B/i, qui est aussi la mesure de l'angle au centre correspondant BG/i, Bm son sinus-verse, et Cm son cosinus. En adoptant ce langage des géomètres, et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui sous-tendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, aussi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants, on aura donc

I nn arcB/i .^

angle BC /i =jjjT-3-y7 = ArT,

Bm ou 1=1 1' sin.vers.BC/i = /' sin.vers./» T,

ou bien

/=z BC — Cm = /' — /' COS. A^T = /' (i — cos./fT).

Ces formules, après y avoir substitué les valeurs de k et de /', d*après le n° 313, permettront de calculer, au moyendes Tables trigonométriques connues, celles des allongements /, qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés ; ce qui, avec la formule

V =: h.mn z= A'./.sînA*T,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de découvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de la charge Q, ou de son point d'attache, B.

315. Principales circonstances du mouvement oscillatoire des prismes. — Pour en acquérir une idée précise, il faut remarquer que le point m (PL II, Jig. 5i), une fois parvenu enDy rétrogradera ensuite, tandis que le temps T, qui devient alors égal à

arcBnD rJ' t. IV ^ /"QL"

TT, étant le rapport 3,i4i6 de la circonférence au diamètre, croîtra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, BnD^r, comptés toujours dans le même sens, à partir du point B, qui pourront embrasser plusieurs demi-circonférences ou circonférences entières, et auxquels correspondront des vitesses constamment proportionnelles aux ordonnées, ou sinus mny xy, de leurs extrémités, et des allongements également proportionnels aux abscisses ou sinus-verses B/?i, Bj*, relatifs à ces arcs respectifs.

On voit d'ailleurs que, quand le point j ou x aura atteint B, ce qui arrivera au bout d'un temps mesuré par la circonférence eniiète B/iDxB, divisée par la longueur /r./', c'est-àdire au bout d'un nombre de secondes égal à