MV»-(M4-M')W» = MV

dont la moitié fera connaître le travail détruit par le frottement du traîneau, dans le sens dont il s'agit, travail auquel il conviendra d'ajouter encore (162) celui, jM'V'S qui s'opère dans le sens vertical, si, comme il arrive presque toujours, il est permis de négliger la vitesse de rejaillissement de M'.

Nous venons de supposer que cette dernière masse, en recevant, pendant le choc, la quantité de mouvement horizontal /'M'V, ou*la vitesse horizontale /'V, avait acquis fmalement le mouvement même dont est animé le traîneau ; ce qui revient à admettre que/' V soit précisément égale à la vitesse W, de ce mouvement. Mais, généralement, il n'en sera pas ainsi dans le cas d'un simple frottement exercé à la surface supérieure du traîneau, et alors la quantité de mouvement possédée par le système, à la fin du choc, prendra simplement la valeur MW4-/'M'V', au lieu de (M4-M')W; ce qui donnera, pour déterminer W, celte aulre relation :

MW4-/'M'V' = MV-/M'V' ou W = V -(/+/') ^V;

d'oii il sera facile de déduire la nouvelle expression de la perte de force vive occasionnée par le choc.

D'ailleurs, si la condition

ou, ce qui revient au même,

MV PV

7'M -h {f'hf')W -/P -f-/P' -h/'F'

se trouvait satisfaite, la masse M' ne pourrait acquérir, à la fm du choc, la vitesse W du traîneau ; elle resterait donc en arrière par rapport à celui-ci, c'est-à-dire qu'elle continuerait à glisser, à sa surface supérieure, jusqu'à ce que le frottement /'P', occasionné par son poids, sur cette surface, ait complètement anéanti la différence de vitesse, W— /'V.

Nommons T' le temps nécessaire pour Taccomplissement de cet effet, /'P'T' sera évidemment (364* ) la quantité de mouvement imprimée, pendant ce temps, à la masse M', par le froite-

ment/'P', et*^ ^, sera Taccroisscment correspondant de vitesse de celte masse, si elle n'est sollicitée, ainsi que le traîneau, paraucune force étrangère et qu'elle ne fasse simplement que glisser sans tourner. D'une autre part, la masse M. de ce traîneau, étant sollicitée, à sa surface inférieure, par le frottement/(P + P'), et, à sa surface supérieure, par le frottement /'F, ou, en totalité, parla force reiardatrice/(P 4- P') -+-/'F, il perdra, pendant le temps T' et en raison de cette force, une quantité de mouvement/(P 4- P')T'h-/'P'T', ou une vitesse

mesurée par '^-^ ^^ ^ ; donc on obtiendra ce

temps par la condition

fyr /(P-4-y)r+.rFM^

si, je le répète, le frottement et Finertie sont les seules forces qui sollicitent le traîneau.

Mettant dans cette équation, pour W, la valeur trouvée en dernier lieu, et observant que P = M/5^, P'=:M'^, on en déduira immédiatement

PV-(/+/')P'V'

pour calculer le temps ï' dont il s'agit; ce qui donnera facilement aussi l'espace décrit, par le traîneau, pendant cette dernière période du mouvement, qui sera uniformément re- Urdé (364.).

368. Autre question sur ce sujet — Supposons maintenant que le poids P', au lieu d'être entièrement libre dans sa chute, soit contraint de prendre, à chaque instant, la vitesse horizontale, V, dont le traîneau est successivement animé; circonstance qui se réaliserait, par exemple, si la masse M', en tombant de la hauteur H', était dirigée par une tige verticale formant système avec le traîneau, et dont l'extrémité supérieure

aurait été le point de départ de la chute : dans ce cas, il n'y aurait plus lieu évidemnrieni à s'occuper des réactions horizontales produites par le frottement sur la surface supérieure du traîneau. D'ailleurs, le poids P', perdant ici encore, à l'instant du choc, toute la vitesse verticale, \' qu'il avait acquise dans sa chute, il en résultera, sur la surface d'appui du traita neau, un frottement, /M' - 5 qui, d'après le principe établi à la

fin du n" 350, détruira, dans la masse M -f- M' de ce traîneau et de ce poids censé faire corps avec lui, une quantité de mouvement toujours mesurée par l'expression /]^|^V'; et, comme celle que le système possédait avant le choc, dans le sens horizontal, était (M -h M')V, la quantité de mouvement qui subsistera ensuite, aura pour valeur (M -h M')V— /M'V. Nommant donc W la vitesse commune aux deux corps, à ce dernier instant, op aura, pour la calculer, la formule

W(M-4-M') = (M-hM')V-/M'V' ou W=V~ j^^^ V,

très-différente de celles auxquelles on est arrivé dans le numéro qui précède.

Les corps possédaient, avant le choc, la force vive horizontale et commune (M -4-M')V% celle qu'ils possèdent maintenant est (M-f-M')W'; donc la perte de force vive, dans le sens horizontal dont il s'agit, est mesurée par Tcxpression

où il ne s'agira plus que de substituer, à W, la valeur obtenue ci- dessus, et dont la moitié exprimera toujours le travail consommé, par le frottement, pendant le choc; la moitié de la force vive MV'S exprimant, d'un autre côté (162), celle qui est absorbée dans le sens de la réaction normale des masses M et M'.

Ces calculs, comme on voit, supposent encore que le choc finisse à l'instant même de la plus grande compression des deux corps, et que leurs poids et la force horizontale Q, qui les sollicite, soient négligeables vis-à-vis des efforts de réaction, F, développés pendant le choc; mais évidemment cela

558 HÉCAltlQUB INDUSTRIELLE.

ne serait plus permis, si le choc était très-doux, ou les corps très-compressibles, car alors il deviendrait nécessaire, comme on Ta plusieurs fois remarqué, d'avoir égard à la loi même de cette compressibilité, pour arriver au résultat fmal. Quant au cas d'une élasticité plus ou moins parfaite, il suffira de connaître la vitesse ou la hauteur du rejaillissement du poids P\ pour être en état de calculer le surcroît de perte de force vive qui en résulle : nV, par exemple, étant la vitesse de ce rejaillissement,/M'V'-+-//iM'V' sera évidemment (157), toujours d'après le principe du n"" 350, la somme des quantités de mouvement horizo§tales, détruites pendant la réaction mutuelle des deux masses M et M'; de sorte qu'on aurait ici la nouvelle relation :

W(M-*-M') = (M + M')V-/(i-+-n)M'V', ou

pour calculer la valeur de la vitesse, après le choc, qu'il conviendra de substituer à l'ancienne, dans l'expression de la perle de force vive (M -h M') (V» — W^). Celte vitesse étant moindre que celle trouvée en premier lieu, on voit que la perte de force vive sera aussi plus grande, conformément à ce qui a déjà été remarqué à la On du n"" 350.

Pour le second choc, on procéderait comme pour le premier, et ainsi de suite. Mais l'expérience démontre que, dans les cas ordinaires, où les corps ne peuvent éprouver de flexions transversales sensibles, la hauteur et, par conséquent, la vitesse, nV, du rejaillissement, sont toujours, en effet, des fraclions très-petites de celles qui ont produit le choc; de sorte que le mouvement vertical du corps P' est promptement éteint.

369. Particularités offertes dans ce dernier exemple^ par le mouvement qui précède l'instant du choc. — Dans la réalité, le poids P' n'a pu, dans nos hypothèses, participer à l'accélération de mouvement du traîneau, due à l'influence de la force horizontale Q, et à la diminution du poids P', sans éprouver, de la part de la tige directrice, un certain effort de réaction horizontale, q, et, par suite, un frottement vertical, qui a dû

DES RÉSISTANCES. S5q

ralentir la viiesse de chute de la hauteur H'. Nommant/' le coefficient de ce frottement, v Taccélération de mouvement reçue par le système du traîneau et de la tige, pendant le temps infiniment petit /, Teffort horizontal q, dont il s'agit, sera évi-

demment (130) mesuré par M'- = — -? tandis que TefiFort

vertical, dû au glissement, le sera par /'M' 7=/' — t : le

/P -+- 0\ i' premier s'ajoutera à la force d'inertie I ) 7 ^" traîneau

et de son contre-poids Q; le second s'ajoutera à la pression P, occasionnée par son poids propre, et fera naître un excès de

Pc Pc

frottement mesuré parla fraction/de/' - - ou ff - -*, enfin,

le premier de ces efforts détruira, dans le traîneau, pendant une fraction quelconque, T, de la durée de la chute du poids F, une quantité de mouvement précisément égale à celle que ce poids a reçue de la tige ou du traîneau, tandis que le second détruira, toujours dans le sens horizontal, une autre quantité de mouvement qui sera à la précédente, dans le rapport de 9 à ff'qy etc. Quelle que soit d'ailleurs la complication apparente de ces effets, il sera toujours possible, et même facile, de calculer les circonstances des mouvements simultanés, de descente du poids P' et de progression horizontale du traîneau, qui n'en continueront pas moins d'être uniformément accélérés. En effet, Vi étant la vitesse horizontale de tout le système à l'instant où le poids P' vient à être lâché de la hauteur entière H' ; £ l'espace horizontal décrit par le traîneau, pendant que P' descend de la hauteur quelconque. H, relative au temps T;

(]=: l'effort de réaction horizontal, et f — - le froite-

ment, ou l'effort de réaction vertical, éprouvés par la tige directrice de la part du poids P', dont, je le suppose, la vitesse V prend l'accélération du mouvement c', pendant l'élément de temps infiniment petit /, les équations du mouvement instantané, ou pendant la durée de /, seront, d'après ce qui vient d'être indiqué : i® pour le traîneau,

56o HÉCA5IQUB INDUSTRIELLE.

a** pour le poids P',

Pi/' V V

ce qui donne immédiatement

y=g-/'J = ff -/'A = const. A\

et, par conséquent (107 et suiv.), V=:AT-<-V,. V' = A'T, V'=z2AE-Vf, V"=:2A'H,

pour calculer toutes les circonsiances de deux mouvemenis uniformément accélérés dont il s'agit, pendant la durée entière de la descente du poids P' de la hauteur H ou W, d'où l'on déduira aisément ensuite , celles qui se rapportent au choc subséquent de ce poids et du traîneau (368).

D'ailleurs, ces équations ne tiennent point compte des résistances qui peuvent être inhérentes au mouvement du contrepoids moteur Q; nous avons voulu seulement ici donner une idée de la manière dont on doit avoir égard, en général, au frottement qui se développe pendant la réaction lente ou brusque des corps en mouvement (*).

C) Dans un Mémoire intitulé : Formules relatives aux effets du tir sur les différentes parties de V affût. Mémoire imprimé, en iSqo, par les ordres de M. le Ministre de la Guerre, et dont une nouvelle édition vient de paraître, M. Poisson a, le premier je crois, offert un exemple, un peu étendu, de la manière dont on doit appliquer le calcul à ces sortes de questions. La méthode de cet illustre {;éomètre consiste à exprimer, d'après le principe do d'AIembert, les conditions de l'équilibre entre les quantités Unies de mouvement, perdues ou (jaçnées par les difTérents corps du système, et considérées comme autant de forces de percussion comprenant celles que les frottements détruisent au point où s*opère la réaction mutuelle de ces mêmes corps. J*ai fait voir ensuite, dans la lithographie du Cours de Mécanique de l'École d'application de Metz (édition do 1836), qu'on pouvait arriver aux équations fournies par co principe, ainsi qu'à l'exp.rcssion des pertes de force vive, qui ne sont données que d'une manière fort indirecte par le principe de Carnot, au moyen de la considération des pressions ou forces motrices variables, développée pendant la

^ DBS RÉSISTANCES. 56l

370. Principe concernant les effets du frottement pendant le choc. — Uevenant mainienant à nos premières considérations, nous ferons remarquer que, dans les instants qui précèdent celui où le pords P' vient à être lâché du sommet de sa lige directrice, il pèse sur le traîneau, et y produit un excès de frottement mesuré par/P' ; qu'il pèse également, sur ce traîneau, à partir de l'instant où il le choque; qu'enfin il cesse entièrement de peser sur lui pendant sa descente de la hauteur H' de la tige, dont le frottement/'^ peut ici être négligé, circonstance d'où il résulte qu'en supposant ce traîneau sollicité par l'efTort horizontal et constant Q, qui lui donne (365) un mouvement uniformément accéléré, ce mouvement s'accélérera bien plus rapidement encore pendant la descente dont il s'agit; qu'en un mot, le système aura gagné, par cette seule cause, une quantité de mouvement relative à l'énergie de la pression qu'aurait produite le poids P', et qui sera évidemment mesurée par la quantité /P'ï^/M'g'T, T représentant ici la durée entière de la chute H'. Mais ^T est précisément égal (117) à la vitesse V, acquise librement, par M', au bas de celte chute; donc la quantité de mouvement /P'T est aussi égale à celle /M' V, qui est ensuite détruite pendant le choc (367), et, par conséquent, à la fin de ce choc, la vitesse du traîneau se retrouvera êlre précisémeni la même que si le poids P' n'eût pas quitté le sommet de la tige, où il était primitivement soutenu.

Au surplus, quelles que soient la vitesse horizontale et la vitesse verticale acquises par le traîneau et par le poids P', a la On de la chute de celui-ci, la quantité de mouvement qui, en vertu du frottement, sera détruite, dans le sens horizontal, pendant l'acte du choc, n'en sera pas moins toujours égale à celle qui aura été reçue par le système, en raison de la dimi-

(luréc même du choc des corps, et j*cn avaU immédiatement offert une série d'applications aux chocs des marteaux, des pilons et des systèmes de rouages qui entrent dans la composition des machines. Depuis lors, MM. Caochy, Navier, Coriolis et Duhamel, dans des Ouvrages ou Mémoires bien connus et justement appréciés, sont revenus, à leur tour, sur ces questions, par une marche analytique qui leur est propre, mais qui n'ajoute rien, ce me semble, du moins quant au fond, aux résultats que j'avais moi-même obtenus par des considérations d'une autre espèce.

562 HÉC451QUC IHDUSTRIILLE. «

nution de pression survenue pendant la descente de P' ; car les raisonnements, établis -368) pour le cas où il n'y a pas de frottement exercé le long de la tige directrice, demeurent exactement applicables, par exemple, à celui (369) où II en existe; de sorte que, malgré ce frottement, la vitesse du traîneau, après les instants qui succèdent au choc, n'en sera pas moins précisément telle qu'elle eût été si le poids P' fût demeuré au sommet de la tige.

371. Vérification de ùe principe par l'expérience^ et réflexions générales à ce sujet, — Une expérience dans laquelle se trouveraient vérifiées, à posteriori^ les conséquences auxquelles on vient de parvenir en dernier lieu, serait très-propre à prouver que le frottement suit, pendant le choc des corps, les mêmes lois de proportionnalité à la f^ression et d'indépendance de la vitesse, que dans le cas des pressions et des mouvements ordinaires. Or tel est, en effet, à très-peu près, la manière dont M. Mprin a procédé et raisonné dans les expériences déjà citées au n^'SiS; seulement le poids P', au lieu d'être contraint de suivre, dans sa descente de la hauteur H', la tige verticale dont il a été parlé, tombait flbrement de cette hauteur, à laquelle il était primitivement soutenu. Mais, comme la vitesse horizontale dont il était animé aux instants qui précédaient sa chute, lui était commune avec le traîneau; comme nulle autre cause, si ce n'est la résistance insensible de l'air, ne venait modifier celle vitesse horizontale; comme, enfin, l'accélération de mouvement, que l'effort moteur ou le contre-poids Q, pouvait communiquer au traîneau pendant la dïirée fort courte de la descente du poids P', se trouvait être, à cause de la petitesse même de ce poids vis-à-vis du sien propre et de celui do Q, une fraction négligeable de la vitesse commune dont il s'agit, il en résulte que les choses se sont, à très-peu près, passées, pendant le choc, comme si le poids P' fût, dans sa chute, demeuré constamment uni au tratneau, ainsi que nous l'avons supposé dans les derniers articles, afin d'éviter l'emploi de principes étrangers à cette première Partie de la Mécanique, et relatifs à la conservation du mouvement horizontal du poids F, pendant sa descente en ligne courbe, de la hauteur H'.

Ce qui se passerail dans le cas d'un traîneau, dont l'intérieur serait occupé par des hommes qui agiraient en vertu de se- •eousses verticales imprimées à leurs corps, ou à des corps étrangers qu'ils laisseraient retomber après les avoir élevés ou lancés à une certaine hauteur, de telles circonstances, disonsnous, offriraient un autre exemple, très-familier, des effets de compensation qui viennent de nous occuper; car, sans qu'il soit nécessaire de se livrer à un nouvel examen delà question, on peut, à l'avance, affirmer qu'après chacune des alternatives d'actions ou secousses dont il s'agit, le mouvement du système du traîneau et de ce qu'il porte, se retrouvera précisément être le même que si ces" secousses n'eussent pas eu lieu, ou que les corps fussent restés dans un état de repos relatif, pourvu néanmoins que l'on fasse abstraction de la légère influence occasionnée par l'accélération ou le retard que pourrail recevoir le mouvement du système, pendant ces mêmes secousses ou alternatives d'action.

La vitesse horizontale du traîneau ne faisant ainsi qu'osciller entre ses limites extrêmes, et ce qui précède pouvant tout aussi bien s'appliquer au froilement sur les essieux des voitures ordinaires, qu'à celui du glissement rectiligne des traîneaux, sur le sol, on est conduit à admettre également que les pertes de travail ou de force vive, occasionnées, par les frottements, dans de pareilles circonstances, seront telles, à trèspeu près, qu'elles eussent été dans l'absence de tous chocs; de sorte que, sous ce point de vue, les ressorts de suspension, qui permettent à la charge des oscillation^ verticales ou alternatives d'action, semblables à celles dont il vient d'être parlé, ne sembleraient offrir aucun avantage particulier sous le rapport de la diminution du tii'age. Mais on doit considérer : i" qu'ici les secousses proviennent de causes étrangères à cette charge, et notamment des obstacles solides dont les routes sont presque toujours parsemées; 2" que nos raisonnements, dans les précédents articles, supposent que les pressions, développées pendant le choc, ne soient ni assez vives ni assez intenses, pour que la loi de proportionnalité du frottement à ces pressions cesse d'être observée, ou pour que la constitution des surfaces en contact soit altérée d'une manière notable. Les avantages bien constatés de la suspension des voitures

564 MÉCANIQUE IXDCSTRIELLE.

sur ressorts, dans le cas de cahots sur des routes mal pavéeSr l'accroissement progressif de ta résistance moyenne avec la vitesse du mouvement qui s'observe alors ( 213 ), prouvent assez que les effets de ces chocs et les circonstances de ce mouvement, sont complètement modifiés, comme le sont ellesmêmes les lois du frottement sous de grandes vitesses el pressions.

RÉSISTANCE DES FUDIDES.