III. MATHÉMATIQUES

ï. La certitude des sciences mathématiques, c’est-à-dire de leurs axiômes, ne repose pas sur la démonstration, mais sur l’assentiment nniversel des hommes. — II. Nécessité reconnue par les plus grands géomètres de soumettre sa raison dans les sciences à une autorité distincte du raisonnement purement philosophique. Obscurité de plusieurs questions.

1. La certitude des sciences mathématiques , c es t-à-dire de leurs axiomes, ne repose pas sur la démonstration, mais sur V assentiment universel des hommes.

Nous n’avons point à disserter longuement sur la certitude des sciences mathématiques. Ces sciences, à le bien entendre, ne sont qu’une suite et un enchaînement de faits, et la certitude morale n’y peut point être recherchée, comme dans les vérités intellectuelles proprement dites. La démonstration des vérités mathématiques en est plutôt l’exposé manifeste et méthodique, que la démonstration à priori, ou par une raison antérieure à toute raison. Pascal va nous le dire. Il parle de l’art qu’emploie la géométrie pour démontrer les vérités trouvées, et il se propose d’en faire sentir l’utilité. « Mais il faut auparavant, dit-il, que je donne l’idée d’une méthode encore plus éminente et plus accomplie, mais où les hommes ne sauroient jamais arriver : car ce qui passe la géométrie nous surpasse; et néanmoins il est nécessaire d’en dire quelque chose, quoiqu’il soit impossible de le pratiquer. Cette véritable méthode, qui formeroit les démonstrations dans la plus haute excellence, s’il étoit possible d’y arriver, consisteroit en deux choses principales :

l’une, de n’employer aucun terme dont on n’eût auparavant explique le sens; l’autre, de n’avancer jamais aucune proposition, qu’on ne démontrât par des vérités déjà connues.... Certainement cette méthode seroit belle, mais elle est absolument impossible; car il est évident que les premiers termes qu’on voudroit définir en supposeroient de précédens pour servir à leur explication , et que de même les premières propositions qu’on voudroit prouver en supposeroient d’autres qui les précédassent ; et ainsi il est clair qu’on n’arriveroit jamais aux premières. Aussi en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu’on ne peut plus définir, et à des principes si clairs, qu’on n’en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve. D’où il paroît que les hommes sont dans une impuissance naturelle et immuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolument accompli ; mais il ne s’ensuit pas de là qu’on doive abandonner toute sorte d’ordre.

» Car il y en a un, et c’est celui de la géométrie, qui est, à la vérité, inférieur, en ce qu'il est moins convaincant, mais non pas en ce qu’il est moins certain.... Cet ordre, le plus parfait entre les hommes, consiste non pas à tout définir et à tout démontrer, ni aussi à ne rien définir et à ne rien démontrer, mais à se tenir dans ce milieu de ne point définir les choses claires et entendues de tous les hommes, et de définir toutes les autres ; de ne point prouver toutes les choses connues des hommes, et de prouver toutes les autres....

» Voilà de quelle sorte elle ( ia géométrie) évite tous les vices qui peuvent se rencontrer dans le premier point, lequel consiste à définir les seules choses qui en ontbe-

soin. Elle en use de même à l'egard de l’autre point, qui consiste à prouver les propositions qui ne sont pas évidentes.

» Car quand elle est arrivée aux premières vérités connues, elle s’arrête là, et demande qu’on les accorde, n’ayant rien de plus clair pour les prouver; de sorte que tout ce que la géométrie propose est parfaitement démontré , ou par la lumière ou par les preuves.

)> De là vient que si cette science ne définit pas et ne démontre pas toutes choses, c’est par cette seule raison , que cela nous est impossible . »

Quelle est la conclusion que nous tirons de ces considérations de Pascal? C’est que la certitude des sciences mathématiques repose en dernière analyse sur autre chose que sur la démonstration. Non pas que la démonstration soit insuffisante pour établir la vérité des propositions qui se déduisent les unes des autres; mais elle l’est bien évidemment pour donner un appui aux premiers principes sur lesquels repose tout leur système. Car dira-t-on que ces choses dont parle Pascal, qu'il nous est impossible de définir et de démontrer , sont certaines philosophiquement, par cette unique raison qu’ elles sont au-dessus de toute démonstration ? C’est alors affirmer comme nous, en d’autres termes, que la démonstration n’est pas le fondement de la certitude. Dira-t-on que celte certitude de démonstration nous est inutile, dès quelle nous est impossible? Ce n’est pas moins avouer l’impuissance de la raison humaine; et c’est toujours la livrer aux doutes par rapport aux choses primitives qui doivent, comme on le croit, se

’Pensees, irc part. art. 2.

passer de démonstration. Toutefois, il seroit trop humiliant pour l’esprit de l’homme de le laisser flotter ainsi dans l’incertitude, et il faut bien qu’il existe un moyen de s’affermir dans ses études et dans ses recherches.

Il est des choses, des principes, des axiomes qui sont placés à la base du système des connoissances mathématiques. Ces principes sont au-dessus de toute démonstration, mais ce n’est pas pour cette raison qu’ils sont certains pour l’homme. Ils sont certains, parce qu’ils sont avoués et reconnus vrais également par tous les esprits; quiconque renie cette autorité qu’ils reçoivent de l’assentiment universel des hommes, n’a plus aucune raison philosophique d’en affirmer la vérité.

On fait quelquefois cette objection, peu digne, il est vrai , de la gravite des questions qui y donnent lieu : la simple raison de l’individu ne lui suffit -elle donc point pour affirmer que deux et deux font quatre, et faut-il, pour être certain de cet axiome trivial, consulter la voix du genre humain? Il est triste de répondre à de telles puérilités. Deux et deux font quatre, cela est sûr; je veux même, si on le veut, avouer que je le sais de moi-même, quoiqu’une philosophie rigoureuse établisse que je ne le sais que parce qu’on me l’a appris, comme tout le reste, et que sans l’enseignement la parole eût manqué à ma langue pour exprimer au dehors cette vérité, et à mon intelligence même pour la concevoir au dedans de soi ; mais enfin, dans l’état de développement où m’a mis la société, je sais et je dis que deux et deux font quatre. Mais quand j’énonce cette vérité, je ne lui donne pas sans doute de moimême le caractère de certitude qui lui est propre. Je n’ai pas besoin non plus qu’elle se présente à mon es-

prit avec l’autorité que pourroit lui donner une démonstration quelconque, si elle étoit possible. Dans quelle hypothèse donc est-il permis d’imaginer que je puisse avoir besoin du témoignage du reste des hommes? dans la supposition que je voulusse me donner une démonstration philosophique de cette vérité ; et je dis qu’alors ma conviction ne seroit pas une démonstration, et qu’elle ne seroit une autorité pour ma raison, qu’autant quelle seroit confirmée par la conviction des autres hommes.

Qu’on reconnoisse donc, en fait de vérités primitives, deux sortes de certitudes bien distinctes: une certitude, pour ainsi dire, inhérente à la nature de l’homme, et qui l’attache par une conviction invincible à ces vérités; et une certitude philosophique ou rationnelle dont les fondemens sont hors de lui. Par la première, je suis certain, comme malgré moi, des principes qui servent de fondement à mes connoissances; par la seconde, je donne un motif et une règle à cette conviction, qui, sans cela, s’attache quelquefois témérairement à des principes mal conçus. Par cette distinction je vois clairement que je puis, sans consulter le genre humain, donner mon assentiment aux premiers axiomes, mais qu’il me faudroit néanmoins recourir à cette grande autorité, si je vouîois motiver par des raisons philosophiques cet assentiment.

II. Nécessité reconnue par les plus grands géomètres de soumettre sa raison dans les sciences à une autorité distincte du raisonnement purement philosophique. Obscurité de plusieurs questions.

Et après tout, pense-t-on que les mathématiques

soient tellement sûres d’elîes-mêmes, qu’elles croient pouvoir se passer de cette autorité du témoignage humain dans les choses les plus fondamentales? « Ce seroit, dit d’Alembert, une entreprise chimérique de vouloir chercher dans la géométrie une rigueur imaginaire. Il faut y supposer l’étendue, telle que tous les hommes

la conçoivent . Il faut supposer par abstraction les

surfaces planes et les lignes droites, sans se mettre en peine d’en prouver l’existence1.» Et le même philosophe dit encore : « On ne peut s’empêcher de convenir que l’esprit n’est pas satisfait au même degré par toutes lesconnoissances mathématiques: plusieurs d’entre elles, appuyées sur des vérités d’expériences, ou sur de simples hypothèses, n’ont, pour ainsi dire, qu’une certitude d’expérience ou de supposition.» Aveu remarquable dans un grand géomètre ; et Leibnitz en avoit d’avance poussé plus loin la conséquence, lorsqu’il écrivoit à Molanus: «Je croyois fermement, monsieur, que ma dernière lettre seroit capable de faire voir à M. Eckardus en quoi consiste l’imperfection de la méthode dont il s’est servi; mais j’ai appris plusieurs choses par cette dispute, entre autres celle-ci, que je ne croyois pas : c’est qu’il faut un juge de controverse en mathématique aussi bien qu’en théologie. »

Il ne faut donc pas que la raison de l’homme se flatte trop elle -même par la contemplation des vérités certaines qu’elle découvre et enchaîne dans les mathématiques, puisque d’un côté la certitude philosophique de ces vérités repose sur les bases communes de toute certitude morale, et que de l’autre il peut même lui

3 Encyc. art. Géométrie.

arriver de s’égarer profondément dans 1 application des principes qui servent de fondement a la science. Et ici nous ne prétendons pas porter atteinte à l’espèce de culte qu’ont reçu dans ces derniers temps les mathématiques, bien qu’il nous fût aisé de démontrer la triste influence que cette étude exclusive a dû avoir sur les sciences morales, et que nous pussions invoquer de grandes autorités pour apprécier justement l’estime immodérée qu’on en a faite. Qui n’a lu les hautes considérations de Pascal sur la vanité des sciences qui semblent les plus exactes1? Mais où il s’est exprimé d’une manière surtout philosophique, c’est dans une lettre inédite à l’illustre Fermât. « Pour vous parler franchement, lui disoit-il, je trouve la géométrie le plus haut exercice de l’esprit, mais en même temps je la connois pour si inutile, que je fais peu de différence entre un homme qui n’est que géomètre et un habile artisan. Aussi je l’appelle le plus beau métier du monde; mais enfin ce n’est qu’un métier, et j’ai dit souvent qu’elle est bonne pour faire l’essai, mais non pas l’emploi de notre force; de sorte que je ne ferois pas deux pas pour la géométrie, et je m’assure que vous êtes fort de mon humeur3.»

C’est tout ce que nous voulons faire entendre. Il faut que le mathématicien ne soit pas tellement rempli de sa science, qu’il se persuade qu’elle suffit à tout. Et ne voit-il pas tout ce qui lui manque à chaque pas qu’il fait dans ses recherches? Ce qu’on appelle vérités mathématiques, dit M. de Buffon , se réduit à des identités

1 Voyez ses Pensées et ses Lettres à Fermât.

a Du io août 1660. Copiée sur l’original par feu Roger Martin; professeur de physique à la Faculté des sciences de l’académie de Toulouse.

d idées , et n’a aucune réalité; nous supposons, nous raisonnons sur nos suppositions, nous en tirons des conséquences, nous concluons: la conclusion, ou dernière conséquence, est une proposition vraie relativement à notre supposition ; mais cette vérité n’est pas plus réelle que la supposition elle -même \ » C’est beaucoup de savoir méditer sur ce vide de la plus exacte des sciences ; voilà la vraie philosophie. Et Euler ne dit-il pas qu’il se rencontre dans cette science des contradictions apparentes qui déconcertent même les esprits les plus élevés et les plus versés dans ces études 2? L’arithmétique, le premier élément des mathématiques, a ses difficultés insolubles 3; la géométrie débute par des axiomes dont la définition seule arrêtera

* Manière de traiter l’histoire naturelle.

a Defense de la révélation contre les objections des esprits forts. i8o5.

3 « Dès l’abord de ces sciences mathématiques, dont on regarde l’exactitude comme le caractère propre, on rencontre des difficultés extrêmes, des questions qui pourroient être interminables. Qui évitera l’emploi de la notion de l’infini numérique dans l’expression des quantités irrationnelles, et par suite, toutes les discussions attachées à l’infini numérique ? Comment donner l’idée de la continuité sans rencontrer des embarras semblables? Qui n’a pas été frappé, dans l’étude de la géométrie élémentaire, du nombre des axiômes ouvertement proposés, ou tacitement employés, qui sont de véritables propositions, et qui auroient besoin de démonstrations pour être logiquement conciliables avec les autres principes fondamentaux de la géométrie ? Dans tout le reste de ces sciences se trouvent des obstacles du même genre sur lesquels on évite soigneusement d’appeler l’attention des commençans , parce que la science manque de moyens pour les surmonter. »

Je dois ces observations à l’amitié de M. Binet, directeur des études à l’École Polytechnique, et professeur d’astronomie au collège de France. Ce savant est du petit nombre de ceux qui dans ce temps-ci honorent à la fois les sciences par d’utiles travaux, et par un esprit vraiment philosophique, c’est-à-dire vraiment chrétien.

toujours le génie le plus ferme. On peut voir comment Hobbes, qui étoit un profond géomètre, et qui ne fut pas toujours, comme on se l’imagine, un pyrrhonien insensé, mais plutôt un raisonneur seulement trop hardi à tirer les conséquences dernières d’une philosophie qu’il n’avoit point faite, on peut voir, dis-je, comment Hobbes renverse la géométrie sur ses fondemens. Il ne l’attaque point, dit-il , par les dissensions des géomètres , qui sont pourtant le signe le plus certain de leur ignorance ; il l’attaque dans ses principes et souvent même dans ses démonstrations x. Et Ion ne peut pas dire que c’est par une mauvaise direction de son esprit que Hobbes se fait ainsi l’agresseur de la plus exacte des sciences mathématiques. Les hommes les plus graves et les plus savans font l’aveu de ce qui lui manque du côté des premiers principes. La théorie des parallèles, sans laquelle on ne peut passer outre dans l’étude de la science, n’est point démontrée et ne peut pas l’être. Une foule de propositions restent de même couvertes d’obscurités, et c’est après avoir médité longtemps sur ces difficultés que le P. Castel, un de nos plus savans mathématiciens du dernier siècle et assurément le plus spirituel, fait sentir le vide que le raisonnement le plus rigoureux laisse toujours dans les démonstrations de la géométrie. Le langage d’un si ingénieux philosophe mérite d’être cité.

« Dans la géométrie, dit-il, qui en fait tant accroire à ceux qu’elle captive, les traités au moins qui regardent la pratique rabattent beaucoup de cette rigidité • •

minutieuse de la théorie. Croit-on même les conclu-

1 Voyez son écrit contre les géomètres.

sions du même degré d’évidence et de certitude que les axiomes, et les conclusions éloignées que les prochaines? Ces conclusions éloignées ne sont même métaphysiquement certaines pour le géomètre le plus consommé, que dans le moment qu’il les étudie, et qu’il fixe son esprit avec effort sur ce nombre de vérités auxiliaires d’où résulte leur démonstration. Hors de là on seroit embarrassé le plus souvent d’en rendre une raison vraisemblable; on se souvient seulement soimême qu’on en a vu la démonstration, et cela suffit pour aller plus loin, et raisonner conséquemment , scientifiquement, géométriquement, quoique la certitude qu’on en a, en raisonnant ainsi, ne soit qu’une certitude de mémoire, ou une certitude tout au plus morale.

» Je dirai plus, avec la permission des géomètres. La géométrie a des vérités hautes, des objets peu développés, des points de vue qni ne sont que comme échappés. Pourquoi le dissimuler? Elle a des paradoxes, des apparences de contradiction, des conclusions de système et de concession, des opinions de secte, des conjectures même, et même des paralogismes. Et pourquoi non? Car je pense que ce sont les hommes qui ont fait la géométrie, et que la géométrie n’est que ce que les hommes l’ont faite.

» Dans la plus ancienne et la plus élémentaire, les incommensurables, les contingences des courbes, 1 ’asjmptotismQ de la concoide de l’hyperbole, étonnent toujours l’esprit, et y élèvent des nuages au milieu desquels je défie le géomètre le plus roide d’avoir le regard aussi ferme que partout ailleurs. Pour la géométrie moderne et le système des infiniment petits, qui se répand aujourd’hui sur presque toute la géométrie, on

conviendra sans doute que d’un côté il est très-problématique pour la plupart, et que de l’autre côté, le petit nombre de ceux qui l’adoptent ont bien de la peine à s’y fixer et à rendre des raisons plausibles, et que, s’ils n’avoient la preuve a posteriori, qui ne laisse pas d’ëtre bien forte pour les vrais géomètres, ils ne rouleroient presque que sur des opinions controversées de métaphysique .

» Or, si la géométrie est si inégale dans la certitude scientifique, que doit -on penser des sciences physicomathématiques , comme la mécanique, l’optique, etc.; et des sciences historico - mathématiques , comme 1 astronomie, la géographie, etc., qui ne sont fondées que sur des expériences ou des observations assez équivoques, et tout au plus moralement approchées? Les mathématiques sont, dit-on, la science du vrai ; et je le dirois aussi, si je ne voulois que faire admettre une science dont je suis ébloui. Mais sachant bien ce qui en est, et ne perdant point de vue mon but de l’abaisser à la juste portée de tout le monde, je dois, en convenant que les mathématiques visent toujours au vrai, et qu’elles y atteignent quelquefois, convenir aussi que souvent elles ne peuvent ou ne savent y atteindre. Enfin c’est'un fait, qu’un cours de mathématique est fort mêlé de toutes sortes de choses, certaines, incertaines, vraies, fausses; encore une fois, pourquoi non? Et quand je ne le saurois pas en détail pour l’avoir vu, ne me suffiroitil pas de savoir que c’est l’ouvrage d’un homme qui a compilé les ouvrages de plusieurs hommes, sur toutes sortes de sujets ? car un cours de mathématique parle de tout, et, comme on voit, doit parler de tout1.»

1 Extrait du Traité de mathématique universelle.

De tels aveux méritent detre considérés attentivement par la philosophie. Il faut qu’elle voie que ce qu’il y a de plus certain dans les sciences exactes n’a pas cependant un tel degré d’autorité, que cela suffise à la raison qui cherche à s’établir par la démonstration manifeste dans la connoissance de la vérité. Il faut qu’elle comprenne que la certitude des mathématiques, qu on oppose souvent à la certitude des sciences morales, ne repose, comme elles, en dernière analyse, que sur 1 autorité du témoignage humain. Non pas que le témoignage donne de lui-même à ce qui est vrai son caractère de vérité; il seroit absurde de le penser, puisque ce qui est vrai est vrai de soi - même. Mais le témoignage est la manifestation extérieure de la vérité, et c’est un signe semblable qu’il faut à l’esprit de l’homme pour arriver à la certitude, par la raison qu’il n’est donné qu’à Dieu de connoître, de soi-même et par son intelligence infinie, les caractères intimes de la vérité.

Remarquons encore une fois qu’il n’est nécessaire de recourir à cette autorité du consentement commun dans les sciences mathématiques, que lorsque l’esprit de l’homme est curieux de remonter jusqu’au premier fondement de la certitude; mais que l’autorité ordinaire du raisonnement leur est suffisante pour tirer des axiomes, une fois posés, les conséquences qui en dérivent, et pour créer ainsi un système de connoissances bien déduites. Toutefois il y a dans la science considérée en elle-même une certaine autorité analogue à l’autorité extérieure du témoignage universel, laquelle s’établit par l’expérience, et règle les dissentimens des théories, et admet par son approbation les

découvertes des esprits supérieurs. C’est cette autorité qui donne la certitude philosophique aux choses nouvelles, et non point l’évidence de leur démonstration, puisque cette évidence n’est un fait admis dans la science, qu’autant quelle a été reconnue par des juges compétens. Il faut quelquefois du temps pour établir une semblable autorité. Les préjugés repoussent les nouveautés, et le génie n’est pas toujours entendu. C’est un malheur attaché à la nature humaine, et qu’on ne sauroit éviter par aucun système de philosophie. Et c’est bien pis encore, lorsque chaque homme se croyant, par la seule autorité de ses convictions, un génie capable dç changer la face du monde, appelle les hommes à des croyances ou à des systèmes nouveaux, et bouleverse les sciences sans avoir à craindre aucune loi qui le domine. Ici, du moins, nous voyons une règle donnée aux esprits novateurs, et si cette règle est quelquefois un lien pour le génie, bientôt son autorité s’accroît de toute celle qu’il reçoit de l’assentiment d’autrui. Voilà comment s’applique naturellement à toutes les sciences cette loi simple et rigoureuse du consentement commun , que les philosophes n’ont bannie de la morale que pour y faire régner le désordre, et qu’ils ne sauroient de même bannir des mathématiques, sans leur ôter la certitude qui leur est propre.