LIVRE II, -^ ÉQUATIOKli IMJ PlUSMlfa {>£GRÉ

tanldeis qvwtUé» incoonues soat 4a$ équations. Teltofi 80«l ; 3+j: = 7 et «4-9=^.

L*égalUé B|^ ftttteiBte qn^ pour des valeufs partktiljère& des in- CMUuies.

460. Tottto égaUté qui safoaisie, qudles que salenî les râleurs particulières que Ton attribue MX. JLettres mt une identité. T<elle« sont les égalités :

2j + 4 = 2ï + 4, (a — 6)« = a«— 2a6 + 6« et (a + 6)(a — 6) = a* — 6».

Lorsque les 4eux membres d'une égalité sont les loéoies, ou que^ foiuflie dans ces deux derniers exemples (440, 444), un memi>re n'est que le résultat des calculs indiqués dans l'autre , régalUé est uae identité.

461. Toute équation doit devenir une identité Forsqu'on y remplace les inconnues par leurs valeurs, c'est-à-dire quand on fait la vérification de réquadan,

462. Une équation est numérique lorqu'il n'y a que les valeurs de» inconnues qui sont représentées par des lettres. C'est une équation lit^ thaïe ou algébrique lorsqu'il y entre des lettres représentant des quantités connues.

465. Lorsque l'un des membres d'une équation ne contient que Tinconnue, l'autre membre, qui renferme le tableau des opérations à eC* fectuer sur les quantités connues pour avoir la valeur de l'inconniftc, prend le nom de fonnule. Tel est le second membre de l'équation

C'est Xexpression de la valeur de l'inconnue.

464. Deux quantités qui varient simultanémeat, de manière qu'une vanalion de l'une entraîne une variation de l'autre, sont dites/onc^iofBr l'une de l'autre. Ainsi la surface 9 d'un «ercle variant avec le rayon r, elle est une fonction du rayon. C'est ce qu'on représente d'une manière géaérale par *==/(>). (Voir Géométrie.) De mâme l'espace que parcourt un corps en tombant est une feoctioa du temps, et réciproquement le temps est une fonction de l'espace. (Voir Mécanique.)

On considère ordinairement l'une des deux quaniÀtés comme variant d'une manière arbitraire, et on l'appelle variable indépendante; l'autre, dont la variation est déterminé© par celle de la première, est la fonction proprement dite.

Lorsque la relation qui existe entre des variables peut être exprimée par une équation qui ne renferme que des quantités algébriques (406^ 459), \^ fonction est dite algébrique; mais si la relation entre la fonction et la variable indépendante ne peut être exprimée par les signes +, — , X, :, v/'"^ et exposants, là fonction est appelée tramcendanêg.

Ainsi le logarithme d*un nombre est une fonction transcendante de ce nombre; les fonctions circulaires, c'est-à-dire celles dans lesquelles il entre .des expressions trigonométriques , sont aussi transcendantes. (Voir Trigonométrie.)

465. On nomme solution d'une équation ou d'un système d^équaiionsy chaque valeur de Tinconnuc ou chaque système de valeurs des inconnues qui rend identique Fcquation ou le système d'équations (461).

La valeur 3 de a; est la solution de Téquation

Sx =15.

466. Résoudre une équation ou un système adéquations, c'est trouver toutes les solutions de cette équation ou de ce système d'équations.

467. Deux équations ou deux systèmes d'équations sont équivalents ^ lorsqu'ils admettent les mômes solutions et en même nombre. Telles sont les équations :

6x=15 et a: + 7 = 10.

468. Altérer une équation ou un système d'équxUions, c'est lui faire subir une transformation qui change ses solutions ou le nombre de ses solutions.

469. La résolution d'une équation ou d'un système d'équations repose sur les principes suivants :

1** On n'altère pas une équation en augmentant ou en diminuant ses deux membres d'une môme quantité.

2* On n'altère pas une équation en faisant passer un terme d'un membre dans l'autre, avec un signe contraire. Gela revient, en effet, a ajouter ce terme aux deux membres de l'équation ou à l'en retrancher, selon que ce terme est affecté du signe — ou du signe +.

Il en résulte qu'on peut changer les signes de tous les termes d'une équation.

3** Une équation n'est pas altérée quand on multiplie ou quand on divise ses deux membres par une môme quantité, qui n'est pas nulle et ne contient pas d'inconnues. Si elle renfermait des inconnues, la nouvelle équation ne serait pas du même degré que la première et ne lui serait pas équivalente; elle aurait, lorsqu'on nmltiplie, en outre des solutions de la première équation, celles do l'équation qu'on obtient en égalant à 0 la quantité par laquelle on multiplie. Ainsi, en multipliant par X — 3 les deux membres de l'équation

a:— 5 = 0, re qui donne

cette nouvelle équation contient, en outre de la solution x = 5 de la première équation, celle x = 3 de l'équation x— 3 = 0.

La division par une quantité contenant l'inconnue peut au contraire faire disparaître une ou plusieurs solutions de l'équation.

LITftE II. — ÉQUATIOKS DU PRBIIIEK DEGRÉ. 177

4* Eo chassant les dénominateurs, ce qui se fait en réduisant tous les termes de Téquation au. même dénominateur et en supprimant ce dénominateur commun (S**, 457), on obtient une nouvelle équation équivalente k la première.

Chassant les dénominateurs de Féquation

. . '9 ^ ^„ Jg + gg + 9 ex + g* ^„ gi + 4x-~2i .

^+6t;=^'^" 6-fx =TTr' ^^ — 6T7- = ^'

on a X» + 4x— 21 = 0, d'où (526) * = 1 ^

Ces deux solutions satisfont bien k Téquation proposée. Opérant de même pour Féquation

on a X*— 7x + 6 = 0, d'où x

=iî-

La solution x = 6 satisfait k Téquation proposée. Quant k la solution 7 = 1, comme elle annule le dénominateur x — 1, elle donne

signe de Tindétermination, qui indique que x — 1 = o est facteur conimuD au numérateur et au dénominateur, et qu'il faut le faire dispa-

nître (486) ; ce qui ramène Téquation proposée k — — = 0 dont Funiquo

solution est x = 6.

Règle générale, quand on a lait disparaître des dénominateurs, si Fon arrive k une ou plusieurs solutions qui annulent le dénominateur commun, on doit les négliger, et ne tenir compte que des autres. Ainsi, dans Teiemple ci-dessus, on ne tiendra compte que de la solution x = 6, et Ton rejettera celle x = 1.

5* On n'altère pas une équation en faisant subir k ses deux membres toutes les modifications qui ne changent pas leur valour. Ainsi, par exemple, on peut efiectuer les calculs indiqués par les signes qu'ils renferment

6* On n'altère pas un système de plusieurs équations, quand on rem-' place Fune d'elles par Féquation que Fon obtient en combinant les ouations proposées membre k membre par voie d'addition ou de soustraction.

7* Lorsqu'on élève au carré les deux membres d'une équation

Uquation

i^% DBJDXIÈHE. PARTIE. — ALGÈBRE.

qui en réAulte comprend, outre les solutions de réquatioQ rr— 5 = 0 ou x.=r 5, celle» de lï>quBtion aî-h5c= 0 ou x=. — 6. Gela provient de ce que

470. Le degré d'une équation est la plus grande somme dos exposante des inconnues dans un même terme de l'équation. Ainsi les (kiiiatiens

2x — y = 7, 3xy=18, y^x^=\—x^

sont respectivement du !•% du 2* et du 7* degré.

Ce mode d'évaluation du degré d'une équation suppose qu'il n'enlre pas d'inconnues on dénominateur dans aucun terme. Lorsque des inconnues entrent en dénominateur, on fait disparaître les dénominateurs (4% 469), et alors on évalue^ le degré comme dans le cas précédent.

bx L'équation ^ + ». , =y» qui paraît être du premier degré, est du

deuxième degré, parce qu'en réduisant au même dénominateur tous les termes de» réquatioo,. et en supprimaat le dénomina&eiir. eoounun b-\-y, elle devient

ab + ay+bx = by -i- y", ou y* + (6 — a)y'-'bx — a6 = 0.

Si le dénominateur commun 6 + y était facteur du premier membre de l'équation mise sous la dernière forme, il faudrait le faire disparaître par la division avant d'évaluer le degré. En résolvant i'(k[ttaiioD saiitf faire disparaître le dénominateur commun comme facteur du premier nMnibre, et en négligeant les solutions trowées qui annnlent le dénominateur commun, on arrive aux solutions de l'équation propojsée nr menée à son véritable degré (486).

471. Règle générale pour résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue :

V On commence par chasser les dénominateurs s'il y en a (469),

20 On fait la transposition deâ termes, c'est-k-dire qu'on transporte dans un même membre, dans le premier ordinairement, tous les teriuo? affectt'js de l'inconnue, et dans l'autre membre les ternies connus.

3* On fait la réduction des termes semblables (4i0j, c'est-a-dire qaoû donne pour coefficient unique à l'inconnue la somme algébrique de tous ses coefficients, ce qui réduit le premier meml>re à uu seul terme, et qu'on effectue dans le coefficient unique qui en résulte et dans le second membre les opérations indiquées.

4* Enfin, on divise le membre tout connu par le coefficient unique de l'inconnue, et on a la valeur de l'inconnue.

1" exemple, 6x — 2 = 2x + 6.

Transposant les termes, on a