Lavérificalion donne bien \ l + V '''' ,lï^,rVf

I 2x + Sy OU 16 + 10 = î6/ranc^»

485. h?»/- résoudane trois équations du^^emier ûegréàir ois mxmmtes^ it& suivantes, par exemple, . auxquelles on peut 'ioBjoiirs ramener qd j^ystéoie quâlcon^ue de trois équations idu premiier degré îà itrois inconnues,

ax -^ hy ■\' cz ^ d^ (1)

a^x + b'y + &z=zd', (2)

à Taide de Tune des trois méthodes du n*^ 480 on élimine une des inconnues, ^ par exemple, 1* Entre les équations (.1) et (â), ce qai donne

(ac' — ca')x + (6c' — àh')y = de' — c<r ; (4)

2* Entre les équations (2) et (3), ce qui donne

(a!c" — c'a")!: + [6'^^' — (f1f')y = rf'e" — c'd". (3)

On obtient ainsi les deux cquatioins du premier degré k deux tnco»-

nucs (4) et (o), entre lesquelles éliminant y, on obtient

db'c"—dc'b" + cdlf- hd'c" + hc'd"—cb'd" * ~ ab'cf' — ac%" -f ca'6'' — 6a'c" H- 6c'a" ~ c6'a" '

Effectuant dos calculs analogues pour éliminer x et r, t>n trouve

ad'd'-^ndd'* -j- caUV'-'ddd' + dfe'a" — ctf'a"

^6'c" — ac'6" + ca'6" — 6a'c" + 6c'a" — cb'a!' '

iS4 DEUXIÈME PARTIE. — ALGÈBRE.

' Éliminant de même x et y, on obtient

aJb'ô!' — QàV + àalh'* - ba'â!' + hd'a" — dh'a" ab'd' — axfh^' + ca'6" — ha'cf' + 6c'a"— c6 V

484. Considérant les résultats obtenus aux n"* 472, 481 et 483, on voit :

1* (472) Que pour une équation du premier degré à une seule inconnue, les nombres de termes du numérateur et du dénominateur de la valeur de Tinconnue peuvent toujours être ramenés à 1.

V (48i) Que pour deux équations à deux inconnues» ces nombres peuvent être ramenés k 2 ou i x 2.

3* (483j Que pour trois équations à trois inconnues, ces nombres peuvent être ramenés à 6 ou 1 x 2 x 3.

Ces nombres seraient 24 ou 1x2x3x4 pour quatre équations à quatre inconnues; de 120 ou 4x2x3x4x5 pour cinq équations ii cinq inconnues, et ainsi de suite.

48tf. L*emploi des accents dans les notations des coefficients a donné Heu à l'observation d*une loi d'après laquelle on peut facilement former les numérateurs et les dénominateurs des valeurs des inconnues.

Considérant d'abord deux équations à deux inconnues (481) :

r Pour obtenir le dénominateur commun aux deux valeurs des inconr nuest on forme avec les lettres a et 6, qui désignent les coefficients de xety dans la première équation ax-i-bi/ = Cy les deux permutations ab et 6a; on sépare ces permutations par le signe —, ce qui dqnne ab—ba; et accentuant la dernière lettre de chacun des termes, on obtient le dénominateur commun

ab' — ba'.

2* Pour obtenir le numérateur relatif à chacune des inconnues, on remplace, dans le dénominateur, les lettres qui désignent les coefficients de rinconnue considérée par les lettres qui désignent les quantités toutes connues, en laissant les accents aux mêmes places. Ainsi, pour les inconnues x et y, le dénominateur ab' — 6a' fournit respectivement les numérateurs cb' — 6c' et oc' — ca\ Considérant le cas des trois équations à trois inconnues f483) : !• Pour obtenir le dénominateur commun, on introduit successivement la lettre c k droite, au milieu et k gauche de chacune des permutations a6 et 6a; cc^la fournit six nouvelles permutations, que Ton interpose de signes alternativement négatifs et positifs, ce qui donne

a6c — ac6 + ca6 — ^a>c -f- 6ca — c6a.

Plaçant dans chacun des six termes de ce polynôme un accent sur la deuxième lettre et deux accents sur la troisième, on obtient le dénominateur commun

a6'c" — ac'6" + ca'6" — 6a'c''' -f b&a'' — c6'a".

2* Pour avoir le numérateur de chacune des valeurs des inconnues, on