X- + S,x«-» + S^-* + ... + s„x«-» -f ... + S«^ji + S
Il est à remarquer que
^It hif •ifc» •••ir 8tf» -kM 'fi|iKMt<» 4m»
ne sont autre ckose que les sommes des combinaisons ohèeDuoa oa pn»^ naut les m seconds termes des binômes iacteurs a;âfi|>ociiTOiDeiU
làl, 2a2, 3à3,..., 7iàn,..., 7»— làwi—1, mkm, («îOfJ.
Kl 8. Soil maintenant à effectuer la puissance (x 4- a)*.
Cela revient k supposer que chacun des seconds termes a, 6, c, ... k uies m polynômes facteurs est égal à a^ «et si \\Mk nonarquo <fu'«a m alors (513).
LITRE III. — POISSANIB» nr AiaiUM »K8 ^UàMWU^ ALGÉBRIQUES, il»^
(m a donc
Telle est la formule connue sous le nom de Jormule du binôme de Newton, Dans laquelle : r (x + a)** se compose de w + 1 termes, dont le prenler «st 3^ et le dernier a"»; 2* Tcxposant de x décroît d'une unité en passant d'un terme au suivant, et, par miite, devient ml au dernier terme; tandis que Texposant de a augmente au contraire d'une unité d'un terme au suivant, depuis le premier ftcrnie, où ilesX nul, jusqu'au dernier, où il est égal à «t. E s'eMsuit <quo dans ua AernK^ quelconque la somme des exposants de a ^t 4e x est égale à 771.
3* Le coefiScient dhin*^ terme quelconque s'obtient en mulliplisût Ir coefficient du terme précédent par !l*«xpoaant 4e x dans ce terme, «t en divisant le produit ipar utt |)ltts f ei^nsavlle « dans ce mémci tero».
4* Les coefl&cienls de deux termes également distanis des extrêmes sont égaux. Il en est par conséquent de même des coefficients de deux frnnes égatemetrt flistauts detehiî tfu miTien si m est pair, oti des dteux di Hittiii «é «n ««t mtp^w^ et» 4te«ic <du «ftlkiPU étftnt 'à» i^«rte •égimet entm MX dam M<demii«r caft« ter8nil&;, ayant oafciâé Ats «c»elfioiett«« dft«iaBdQa}a«#Âftté4cBtemfia»M»p0«ft«B4a9p0ndar4e4^^ kns saifuis.
AnMiquant ocs rafles a» de^x. Miwmtkfï suivante, <od «btccnt tué»facilement :
'i+<i^i"+ 8ax^+ 28aVih*teVi|- !Wta*ar*+56aV+ 28aV + 8a'i + a^ ;
le Htme qui oocupele rang: queTconque n 4- ï Aans la formule, ct*ïui <!W5 ntm «vwis représente par SnX*»^ au tr précédent, est
Ce terme, appelé terme général, permet de calculer un terme quelconque sans avoir les autres. Il suffit de remplacer dans son expres- 9»iim«t'«.|iarlMirr'viie«r6. AiMâie tn 4- dftsrf^'ierMie 'Aê* ta «rtfl^jr de ii+a)*=« est
DEOXIÈME PAUTIE. — ALCftsai.
Si dans la formule du binôme on remplace a par — a» il vient
Formule qui ne diffère de la première qu*en ce que ses termes sont alternativement positifs et négatifs.
SI 9. Le tableau suivant, connu sous le nom de triangle de Pascal j a ses lignes horizontales formées par les coefficients du binôme de Newton pour les diverses valeurs de m.
La colonne verticale intitulée i'* contient les nombres de combinaisons 1 & i, de 1, 2, 3 ... objets (513); la colonne verticale 1^, les nombres de combinaisons 'S à 2, de 2, 3, 4 ... objets, et en général une colonne verticale 7i« contient les nombres de combinaisons n k n, de n, 71+ 1, ^ + 2 ... objets.
ni = 2 m = 3 m = 4 m = 5 m = 6 m = 7 w = 8
£n un mot, le nombre appartenant à la colonne verticale n* et à la ligne horizontale m* exprime le nombre d^ des combinaisons de m objets 71 k 71 (513). Ainsi 8 objets combinés 5 à 6 donnent Cl^ :s 56.
Un nombre quelconque du triangle arithmétique est égal à celui placé au-dessus, plus celui qui se trouve à gauche de ce dernier. Ainsi le nombre 56 de la 8* ligne horizontale est égal à 35 -f 21. Gela résulte ae la relation
+ cr:!,.
Cette relation rend très-facile la formation du triangle arithmétique.
Le m* nombre d'une colonne verticale quelconque est égal & la somme des m premiers nombres de la colonne précédente. En effet, considérant le 4" nombre 35 de la colonne verticale 4*, comme on a
on a bien
D'une manière générale, le m" nombre de la colonne verticale 7t* 8« trouve dans tti + ti — 1 ligne horizontale ; il est donc
n (771+71— l)(7n+yi—2)...7?l __ 7W(77l + l).. .(771+71 — 1)
Fi«. I.
UVRB 111. — POiSSANCES ET EACINBS DBS QUANTITÉS ALGÉBRIQTJSS. 201
580. Nombre de houUis contenus dans une pile a base triangulaire. Un triangle de m boulets au côté étant formé de m files qui contiennent respectivement i, 2, 3.. .m boulets, nombres entiers consécutifs contenus dans la colonne verticale 1'* du triangle arithmétique et que Ton appelle nombres figurés du !•» or^ dre^ le triangle contient
l + 2 + 3+... + m=2l2i±±> boulets, (519)
nombre qui est le m* de la colonne verticale 2* du triangle arithmétique (519). Pour m = 6, il y a 21 boulets dans le triangle.
Ainsi les nombres 1, 3, 6... de la colonne verticale 2* du triangle arithmétique sont les nombres triangulaires ou les nombres figurés du second ordre^ ce sont les nombres de boulets contenus dans les assises successives d*une pile triangulaire, et la somme des m premiers, c*està-dire
m(mH-l)(m+2) ,..g.
est le nombre des boulets contenus dans la pyramide, et aussi le m* nombre de la colonne verticale 3* du triangle arithmétique. Pour m=6, il y a 56 boulets dans la pyramide. Ainsi les nombres 1, i, iO... contenus dans la colonne verticale 3* sont les nombres pyramidaux. 521. Une pyramide à base carrée dont le côté contient m boulets
Kg.».
pouvant être considérée comme étant formée de deux pyramides triangulaires dont les arêtes contiennent m boulets pour Tune et m — 1 pour Tautre,. le nombre total des boulets qu'elle con« tient est (520) m(m-i-l)(m+2) (m— l)m(m+l)__m(m+l)(2m-|-l)
et ce nombre est la somme
l»4-2«+3*+...-f-m* des carrés des m premiers nombres entiers successifs, puisque ces carrés expriment les nombres de boulets contenus dans les assises successives de la pyramide quadrangulaire.
Pour m= 48 boulets, on a
^38024 boulets.
Fig. s.
&2fi.i€onsidérant une pUe à base rectangulaire, dont les côtés de la base contiennent Fun m et Fautre n <m boulets , comme étant formée d'une pile à base carrée de n boulets au côté, et d*un prisme ayant une hauteur de m^n boulets et une base triangulaire de n boulets de côté, le nombre de boulets qu'elle contient est
24^ MMUteE VàaTW. — AkGÊl
J3^r M =^» e\ n.s 10, U i»île iHMitiail ^^^?^,^"" = 4210 boulets.
MS. SbmTA^ Sm (îes pidsscmc&s m***^ ^ b nwtibresy a, b, &.. j, k en jyrogression arithyn&tiqwe de raison r (32f8).
Ayant 6 = a-|*r, c=6 + r, ..., A;=:y + r, on a (51*) :
ÂjMlMft ces é^ÉKléa, «n ssfipaiMuU In teraiM &p<n^,0>n^.a«4ii, qm deviennent oMoniviie aoK dsox «lottee» 4e Tic^fiKÉé BésalÉanÉi;,^^ e» faisant i«»4-*^^.— f Af^-^8*., a"»->4-**'-^-*-^-4-**^*^!^i^-r-' a + *4*.-H-fr^Sj«tit=S^i*a
dlVrè Fén tire
A Taide de cette forimle on calculera «ncccssivement S|^ S», Sien partant de Sq = n.
Pour a= 1, rs=i et fntsr=4,-d'où .A=So = n, Sm devient Si = l+2+ 3 -J-... +71, et la fornuile précédente donne
Pour a=l, ;: = 1 et m = 2, 4'où * = So = n, S» devient S, = l*+ 2' + 3* -{-...+7iF, rt te fonmiie donne
Gce Amiiuhss de â% «t 9^ ami idanlâqites ii celte tranvées «nz n** 8S0 «tt'ttd; 8eulBnMnf:«R>€6t7eaqptlacée |)ar n. Ponrirsri, rasrA ci m^sta, d'-«à *«6S^=i^ fi,» devient S, = 1*+
2' + 3'+... + n', et la formule donne
