FORMULE DU BINOME DE NEWTON

SI 7. De la règle suivie pour obtenir le produit de deux et en général d*un nombre quelconque de polynômes (428 et 429), il résulte que ce produit est la somme des produits que Ton obtient en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chacun des polynômes facteurs.

De là, soit à effectuer le produit

de m binômes qui ont le même premier terme x, en l'ordonnant suivant les puissances décroissantes de x.

PikMiftnt lïi 1*' tenue s dww càacwi ides M^ônnis ftirleina, Da a. le i«» terme od^ du produit.

Rfianast «wMieAeivdinettt le «einond taftne aiAtM es I*' èkiisù» «fisc 1» 4*' lerne « dttns tous les aHArM^ie;6eeûiMl lerwm à dansée II* biaèae vf^ le i" tame « dans les aulras, e<<atft»i de suites on olitie&tiM i|iro^ duits partiels ojd'^^y 6a:*-*, . . ., kf^^ dont la somme

(a + 6 + c 4- . . . + A-jx"»-^, «u, poHrJibréger, S^o?"-*

est le second terme du produit.

Prenant successivement les seconds termes dans deux, binâmes Acteurs quelconques et le premier x dans les m-^2 autres^ 4Na a les ^wyduits i;>artîels ûto»-"% ûcz*-'» hO'^* - . .^ dont la somme

[ah + ac -f . . .)iîC«-«, ou S^x*-*

est le 3' terme du produit.

Le 4* ternie est de môme

{abc + o6J + . . .) ^"*~', ou SjX*"-*.

Le terme quelconque de degré m — n s-eè^ient en pMnant successivement les seconds termes dans n facteurs quelconques et le premier X dans les autres, et en faisant la somme de tous les produite partiels aiïrti obtenus. On peut le mettre sous la forme

li^a^Nmt-^Brflfier terme (M

Enfin le dernier terme du produit est simplement le produit

abc ... k^ aa Sm,

de tous les seconds tenues des binômes facteurt. Le produit cherche est donc