ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE

o24. On distingue daux espèces d*équations du second degré à une seule inconnue :

i* Les équations incomplèteSy qui ne renferment que des termes affbetis thi carré ^ rtncosmie et des leiiines <oo«bus« f eiies :soiKt

qui reviennent, en opérant comme au n* 471, à

Ce foi £aii voir igue ies équations iacon^lètes du second degré j)eu- VMtteqiieurs se «rasoener à la ibrme

C'est pourquoi on leur donne le nom*d' équations à deux termes; t Les équations complètes^ qui renferment non-seulement le carré, mais aussi la pnemière puissance de l^nconnue. Telles sont

5x» — 7x = 34, 4z»4. f ït+:!='8+ |ar,

qui reviennent, en opérant d*nTre -nraTricTC analogtic à co qui a été fait

204 DBUXliME PARTIE. — ALGÈBRE.

Ce qui fait Yoir que toutes les équations complètes du second degré peuvent se ramener a la forme

x^ + px z=z q.

C'est pourquoi on leur donne le nom d'équations à trois termes. kS2S. Pour résoudre une équation incomplète du second degrés on la ramène à la forme

ox» = 6, d'où Ton tire rc* = - , puis x = =fc \/-. (494)

Ainsi rinconnue x a deux valeurs égales et de signes contraires, qu'on obtient en extrayant la racine carrée d'une quantité connue. C'est ce qui a fait donner le nom de racine d'une équation du second degré, et en général d'une équation d'un degré quelconque à une inconnue, à chacune des solutions de cette équation.

S26. Pour résoudre une équation complète du second degrés on la ramène à la forme (530)

x* + px = q. (624)

Remarquant alors que x*+px se compose des deux premières parties

du carré x* + px+T^ dex-^S (439)^ ajoutant la troisième partie ^

aux deux membres de l'équation précédente, on a

i + px + Ç ou (^+|y = Ç + g.

Extrayant la racine carrée des deux membres de cette équation, il vient

d'où l'on tire

Le signe d: qui précède le radical montre que l'inconnue x a deux valeurs. Ces racines de Véquation égalent la moitié du coefficient de x changé de signe^ plus ou moins la racine carrée de la somme du carré de cette moitié et du terme copnu. En les désignant par x' et x", on a

La formule (1) peut se mettre sous la forme

Lorsque la quantité placée sous le radical est positive, sa racine carrée est réelle, ainsi que les deux racines de l'équation.

UTâE IT. — - ÉQUATIONS PU 8BC0MD DBGâÉ. 205

Quand la quantité placée sous le radical est nulle, les deux racines

sont égales chacune à — £.

Si la quantité sous le radical est négative, sa racine carrée est imag:inaire et par suite aussi les racines de Téquation (495). 1(27. Faisant la somme des racines de Téquation, on a

Ainsi la somme des racines est égale au coefficient p du terme en x, pris acec un signe contraire (421).

De plus, ayant (444)

le produit des racines est donc égal à la quantité toute connue prise mec un signe contraire.

Ces valeurs de la somme et du produit des racines d*une équation da second degré fournissent deux moyens très-simples pour vérifier l'exactitude de ces racines (529).

528. On peut former une équation du second degrér ayant des racines âonnées, x' = 5 et x" = — 2 par exemple. En effet, on a

-p = x' + x" = 6— 2 = 3 et — 7 = x'x" = 6x— 2 = — 10, et par suite, x* — 3a;=10.