PnoBLÉMES.i Calculer

1* La l<mgue«^'QWtme circonférence ^dofif le rayon est- 4'^;30.

On a (727) > C=i.^T^.=^.%x^3,iiiùx ^,30 =f 8r,168.

•*f La suffacé S'cTun cercle' dont -le rat/on ^*f 1*;30.

;Ayant calculé la. longueuc.de. la. circonférence^ âlî4iufiirait de 4a louiltiplicr par la moitié du rajiMn^Dans^ie cas contraire on pos^ (iiâ8)

S^ sR»=» 3,4446 x.1^3 x 4,3;=i6''V09.

iZ*iLe rayoTiâ^imceroUde b'^^^\demr/ace.

On a (726 et 728) R =.V/| = V ^ ^ V^ = ^'^^^^ V"^^ = ^">30.

750. Résolution des problèmes précédents en faisant usage de la table du n* 291, qui contient les longueurs des circonférences et les surfaces des cercles de diamètres entiers de i à 4000.

!• Étant donné le rayon R ou le diamètre D, calculer la longueur C de la circonférence et la surface S du cercle.

' Convertissant le diamètre donné en unités d'un ordre tel que la partie entière approche le plus de la limite 1000 de la table sans la surpasser, si la nouvelle partie décimaler est nulle, la table idonne directement la longueur de la circonférence en unités de Tordre adopté, k moins d'un *cefrHème dhine de ces unités, et la surface du cercle à moins d'une nnité de surface ayant pour côté une de* ces unités. La table donne ^ème ees snrfaces avec deur décimales pour des diamètres qui ne'dé- ^passent pas*44M).

256 TE0I81È1IE PARTIS* -* GéOMÉTRlB PLANS.

1*' exemple. Pour Ds=2"*,50, convertissant en centimètres, il vient D= 250 centimètres, et 250 étant moindre que 1000, la table donne :

C=785*-,40 = 7-,854, et S = 49 OS?-* = i"',^ 87.

V exemple. Pour D = 2 520 mètres, convertissant en décamètres, il vient D = 252 décamètres, et la table donne :

C = 791 ,68 décamèires^ ou 7 916",8 ; S = 49 876 décam. carrés^ ou 4 987 600"«.

3* exemple. Pour d = 0",0252, la table donne de même

C = 791 ,68 dix^millimètreSf ou 0",079 1 68 ;

S = 49 876 dix-millimètres carrés ^ ou 0^,000 498 76,

4* exemple. Pour D = 2",5243, convertissant en centimètres, on a D = 252^'',43. La nouvelle partie décimale n'étant pas nulle, la table ne contient pas les valeurs de G et S; mais les valeurs C=791*",68=7*,9168 et S = 49876'"« = 4"«,9876, qu'elle donne pour D = 2",52, pourront le plus souvent être adoptées dans la pratique comme suffisamment approchées de celles correspondant à D = 2",5243.

Si le diamètre était 2",5267, on lui substituerait 253"', la partie négligée étant, dans ce cas, supérieure à un demi-centimètre.

On peut, du reste, avoir des valeurs plus approchées pour C et S en ayant recours aux différences proportionnelles, comme on Ta fait au n* 400 pour les logarithmes. Ainsi, pour un accroissement 1 de D, C augmentant de 794,82 — 791,68 = 3,14 (cette augmentation est constante et égale à n = 3,1415926...), pour Taccroissement 0,43 de D Taugmentation de C est 3,14 x 0,43 = 1,35, et Ton a pour D = 2",5243

Le tableau des 9 premiers multiples de n (n* 726) permet de calculer facilement cet accroissement de C pour 0,43 :

Pour D = 252''' C = 791-,68

Augmentation pour 0 ,4 1 ,26

id. 0 ,03 0 ,09

Pour D = 252'",43, C = 793«-,03 = 7-,9303.

De même, pour un accroissement 1 de D, S augmentant de 50273— 49 876 = 397, pour 0,43 Taugmentation est 397 x 0,43 = 171 , et Ton a pour D = 252-,43

2* Étant donnée la longueur C d'une circonférence ou la sur/ace S d*tm cercle, calculer le diamètre D ou le rayon R.

1" exemple. Soit C = 7*,9303. On exprime C en unités telles, que le nombre qui en résulte soit le plus grand possible, mais inférieur à

LITKf Tl. — LES POLTGOHSS RÉGULIERS ET LA MESURE DU CERCLE. 257

314i,59, qui est la limite supérieure de la table pour les circonférences, ce qui donne C = 793**,03; on cherche ensuite dans la colonne des circonférences de la table celle 791,68 qui approche le plus de 793,03, et le diamètre 252*" = 2*,52 , qui lui correspond, peut être pris pour la valeur cherchée, avec une erreur le plus souvent négligeable dans la pratique.

Si Ton veut une plus grande approximation, D augmentant de 1 pour une différence 794,82 — 791,68 = 3,14 entre les valeurs de C, pour la

1 35 différence 793,03 — 791,68 = 1,35, D augmente de 1 x -\- =0,43, et

l'on a D = 252-, 43 = 2-,5243.

2* exemple. Soit S = 5"',0047. Opérant comme pour la circonférence, on trouve d'abord pour S = 49 876*"% D = 252'" = 2",52, qui est à moins de 1 centimètre le diamètre correspondant à S = 5"',0047.

Pour avoir une plus grande approximation, puisque D augmente de 1

pour une différence 50273—49 876 = 397 entre les valeurs de S, pour

la différence 50 047 — 49 876 = 471 , Taugmentation est 4 x ^- = 0,43, et

l'on a D = 252-,^3 = 2-,5243.

731. Les circonférences étant entre elles comme leurs diamètres, et les cercles comme les carrés de leurs diamètres (723), il en résulte qu'ayant calculé, soit avec les formules, soit avec la table, la circonférence G ou le cercle S d'un diamètre D, pour avoir la circonférence c ou le cercles d'un diamètre d, il suffit de poser

c = Cg, ou s = S^,.

Ainsi, selon qu'on a, par exemple :

d = 2D, 3D, 4D... ou d= ^ D, ^ D, ! D...,

il vient respectivement ;

c = 2C, 3C, 4C... ou cr=^C, gC, |c..., et #=4S, 9S, 46S... ou *= 1 S, ~ S, ^^S....

Les erreurs commises dans les valeurs de C ou S se trouvent multi-

d d^ pliées par le rapport rj ou tt; dans les valeurs de c ou * ainsi obtenues.

Comme on a (730) , pour D = 2",52 :

C = 7-,9468, et S= 4-%987«,

pour d = 2D = 6-,04, on aura :

c = 7,9168 X 2 = 45-,8336, et * = 4,9876 x 4 = 19-%9504.

Les erreurs, qui ne dépassent pas un demi-dix-millimètre pour G et

806 TAOlSlèME PAUTIE. — GÉOMÉTRIS PLARE. *

un d&mi-centimètre carré pour S, sont multipliées par 2 pour c ri par 4 .pour s* 752. La surface S d'un cercle étant égale au produit de la ctrconfé-

miCR'G par 'la moitié du rayon ou le t du diamètre D, on pourra

parfois, dans le but de simplifier les calculs, profiter de celte relation.pouF déterminer Tune des quantités C on S, quand Tautre sera connue :

S=CxS. c=f.

755.» La longueur XcPunarc de cercle est égaîe à la longueur C do la circoiiférenw do même rayon, multipliée par le rapport du nombro de degrés ou de minutes ou d^ secondes contenu dans l'arc au nombre do dtfçréS' OU' de -minutes ou de secondes contenu dans la' circonférence.

Ainsi pour aroir la longueur d'un arc de 23*8* dont le rayon est 1",30, on commence par calculor C=8",168 pour 1",30 de rayon (729i, 730), ei Ton a ensuite (68 J)

Table de la longueur des arcs de cercle^ le rayon étant prif pour, nniiê. Pour avoir les longueurs en mètres, en centimètres ou en miUimètres, il suffit de multiplier les longueurs du tableau par la longueur du rayon exprimée en mètres, centimètres ou millimètres.

Soit, par exemple, a déterminer la longueur d*un arc de 126* 45' 9", dont le rayon est iO',40. Le rayon étant pris pour unité, la longueur de l'arc fournie par la tal)le est :

Pour 100» 1,745 3293