DIVISION D£ LA CIRCONFÉRENCE EN PARTIES ÉGALES. — POLYGONES RÉGULIERS

iOOI. Diviser une circonférence en 2, 4, 8... 2*" parties égales. On peut

p. employer le moyen du n* 975, en menant d'abord

\ ' un diamètre, qui divise la circonférence en deux

t^/'<\'>>^ parties égales; mais le suivant* dans lequel on

i/\ j /\ fait usage de Téquerre, est beaucoup plus expé*

4;:::k^..JB ditif:

L^^yO '\^-y^ On trace avec une équerre un diamètre AB; on

j^ } ^^^^ fait glisser Féquerre le long d'une règle ou d*une ^^"^î""^''^ seconde équerre jusqu'au-dessous de la circonfé-

rence; à Taide de Ja seconde équerre, dont on applique un côté de Tangle droit contre la première, on trace le diamètre CD perpendiculaire à ÂB, et la circonférence est divisée en 4 parties égales. Ayant choisi la seconde équerre à 45% on repose son hypoténuse contre la première équerre, et amenant successivement ses côtés de Tangle droit à passer par le centre, on trace les diamètres EF, GH inclinés à 45* sur les premiers, et la circonférence est divisée en 8 parties égales.

Menant avec la première équerre un diamètre IK parallèle à la corde AF, qu'il n'est pas nécessaire de tracer, et opérant par rapport à IK comme on vient de le faire par rapport au premier diamètre AB, la circonférence sera divisée en 16 parties égales.

Répétant deux fois la même construction, d'abord en partant de la corde AK, puis de la corde IF, qui laissent chacune 9 divisions de la circonférence d'un côté et 7 de l'autre, la circonférence sera divisée en 32 parties égales; cette division est indiquée sur l'arc GG seulement. Par la même marche on peut pousser la division aussi loin que Ton veut.

Dans la pratique, après avoir divisé k Taide de l'équerre la circonférence en 4 ou en 8 parties égales, il convient de faire les subdivisions, quel qu'en soit le nombre, par tâtonnement au moyen du compas (994) ; on vérifie ainsi les premières divisions et l'on arrive plus sûrement au degré d'exactitude nécessaire.

1002. Diviser un angle droit A, ou son arc correspondant BC en trois parties égales. Des points B et G comme centres, ï'ig. «w. avec AB = AG pour rayon, on décrit des arcs de

cercle, qui coupent BG aux points de division cherchés, et menant AD, A£, ces droites partagent l'angle A en trois parties égales.

Le triangle ACD étant équilatéral, l'angle DAC

est égal à 2/3 de droit; par suite BAD est égal à 1/3

de droit. Par la même raison GAE est aussi égal à

1/3 de droit; donc l'angle BAG est bien divisé en 3 parties égales, ainsi

que l'arc BG.

TROISIÈME PAStlE* -— GÉOMÉTRIE.

Ffff.llfj

iOOS. Diviser une circonférence en 12 parties égales. On mène deux dittnètres AB, CD» perpendiculaire» entre eux (1001), et des^fttrémiAés-^dé c^sdramètres, avec le rayon de la circonférence, on décrit des arcs de cercle, qui diviseai chaque quart de la circonférence en 3 parti»» égaks (1908), et par conséquent la circonJércnce en ISipairtios égalées.

Îùù4i Btftm diviser une circonférence en 6 pariies égaàesy il suffit dy inscrire le rayon 6 fois, Tune à la suite de Fautrc ; les pemts obtenus satisfont à IVéttoocé (710)fc. La circonlérenco étante divisée en 6 parties égaies, les p^tftts d» dûri«ioaipri6 dfliâ en 2 divisent 'la^ctreonférence. en 3 parties

Ditiser^wievirtonférence en 6' parties égalés à F aide de Véquerre <L

60*. On trace un premier diamètre AB avec lliypotéauset de Tjéquorre^ on trace ensuite le diamètre CH, agiras avoir donné k Téqnerre las posîtioB' indiquée en points longs; retournant réquerre face pour face, et lui donnant la position figurée en pettts points, on trace le diamètre EF, ^t la circonférence est «divisée en G.p^tie$.

égaies.

Traçant deux diamètres p/^ppeadîdîculaires entre eux, et opérant pour chacun d'eux comme on vient de le faire ppur celui AB, la circonférence serait divisée en 12. parties^ égales.

Dans la pratique, pour diviser une circonférence en parties égales dont le nombre est un multiple de 3 ou de C, il convient, après Tavoir divisée en 3. ou en 6 parties égales, de faire les subdivisionjs. par tâtoanement, au moyen du compas (994).

m^f&*, LH^dMerune circonférence enb parties égales-,' Oti^traœ mi diaraètrei AB cl un rayon CD qu luft seitpeipendi* culairo (973) ; du poi«t K, milieu de GÂ, conmie centre, avec la distanee ËB pour rayon, on décrit un arc de cercle,. et inscrivaat la droite DF cinq fois Hune- à ia suite de Tautre, la circonférence est divisée ^n cinq parties égales.

Dansda pp^aUque, il est préférable de procéder

par tâlennemeivt à Taide du compas (994). Le

cinquième de la circoofèrence étant exactement

de72r,.on peut aussi employer très avantage^aament le rapporteur

fOM: La méthode par tâtonnement à Taide d«L compas peut être em^ ployée pour diviser la circonférence en un nombre quelconquedeparties

PnOBLiUM*

aiô

Fig. i»a^

égales (9M);.iiiais si ce nombre est un mnUiple de 3, de ioade^, ceUa méthode peut n*ètre employée que pour les subdivisions^

Lorsque le nombre des parties divise exactement 360^ et. si ménmla. ptftLft décimale du quotient est égale à i/2, 1/3, .1/4 ou 1/5 de degp?é^ on emploie très-avantageusement le rapporteur. On fait coiacidar* soa ceotre avec celui de la circoniërence, et à son pourtour,- sur le. dassiii^ ottimmiIiacxlfisdivisMB&eeiMcéee entre elles d'jia n«iQbre:d(r.degm-. égal au quotient de 360 par le nombre^des divisions de^ la einoeiiJérciMie; pvifl, àrakla dune règle qu'on lait passer par le centoe etcauseessirement par les: divisions marquées, on reporte cesKiiviaioBB'fi^r la cîmmmw fanmee. Ce praeédé est surtout avantageux quand le Aambre deadivM simia.-eet.trèe^-graiid.

L^ rapportouir permet aussi de prendre apprûaûmativeniciiÉ laipr^r

mière .-ouverture do compas quand on. opère pat tàtaoaaBifn*^.

IDttV. Inscrire un. cane dans un cercle donné, O&tDène dwu'diamètBes:

AC., B0 pe^peIl4iculaire«^enlre eux, et joignant

les extrémités de ces- diamètres, on obtient leï

carré inaerit AB€D (714, .933)w

L'usage de Téquerre à 45* (1001) permet de résoudre trèfr^^apiéeœeni ce problème. En effet, plaçant une équerre aaniessous de la circonférence, une équerre à 45* appuyée par un côté de Tani^ droil contre laf)reraière permettra de traaer* avec ' son hypoténuse les diamètres ÀC, BD (ilsnffii^. après avoir tracé Tun do ces diamètres, de -retourner Féquerre pour panvoir tracer Tautre); avec le second côté de Tangle droit on' mènera AD et BC ; puis, appuyant Téquerre à 45* en dessou.s de la première, on fera monter celle-ci pour tracer AB et'DC.

On opère d'unetnanière namlogue quand les sammets du carré sont; £^ P, G, H; seulement rbypoténuse de Féquerre à.j45° sert à tracer les. côtés du carré au lieu dos diap^nales.

lOM. Construire un carré doni le' acte est donné. Avec une première, équerre on trace une droite AB égale au côté. donné; on fait, pour lafacilité de la construction, descendre un peu cette équerre parallèlement à elle-même, en la faisant glisser contre une équerre placée dessous; puis, avec Téquerre à 45% on termine la figure en opérant comme an numéro précédent. Gomme vérification, la circonférence décrite du point 0 comme centre, avec OA pour rayon, doit passer par les trois astres sommets Bs A D.

1009. InscrivBnm ooto^one^régulier dans vn cercle donné. Ayant inscrit un carré ABCD dans le cercle (1007), on divise en deux parties égales chacun des arcs sous-tendus- par ses côtés (975), et joignant les points de division aux sommets rotsins, on obtient Tootogone AEBFCGDH.

Sii Ton avait eu Toctogone régulier inscrit, en joignant ses sommeisr dé^Klenx en deux, on aurait obtenu lo carré. Rèmairqve. La marche précédente, par laquelle on insertt un oalago«e'

Fig. «91.

régulier ayant un carré inscrit, permet, en général, àtani donné un polygone régulier inscrit dans un cercle^ d^inscrire un polygone régulier de deux fois plus de côtés.

La marche par laquelle on a passé de Toctogone au carré permet aussi de passer d'un polygone régulier inscrit d'un nombre pair de côtés plus grand que quatre^ à un polygone régulier inscrit de deux fois moins de côtés. Ainsi, du carré inscrit on passera successivement aux polygones réguliers inscrits de 8, 16, 32... côtés, et réciproquement.

On peut inscrire un octogone régulier dans un cercle sans passer par le carré. A Faide de Téquerre à 45", et en opérant comme au n* 1007, on divise la circonférence en 8 parties égales, ce qu'indiquent les 4 diamètres HF, EG, AC, BD, qu'on peut se dispenser de tracer entièrement; puis on joint les points de division obtenus, ce qu'il convient de faire encore avec Téquerre; ainsi, remarquant que le côté AE est parallèle à la corde HB, en partant de cette corde, on trace d'abord les 4 côtés AE, GC, HD, BF; puis, en partant de la corde AF, on trace les 4 autres côtés £B, DG, AH, FC, qui lui sont parallèles ou perpendiculaires.

1010. Tracer un octogone régulier dont le côté soit égal à une droite donnée. On décrit une circonférence d'un rayon quelconqu%OA ; dans cette circonférence on inscrit un octogone régulier (1009), ou simplement un côté AB de cet octogone; par un point I, pris sur Tun des rayons OA, OB ou sur son prolonge* ment, on mène IL parallèle à AB; on prend 1L=A; on mène La parallèle à OB; du point 0 comme centre, avec Oa pour rayon, on décrit une circonférence, et l'octogone abcd..,. inscrit dans cette

circonférence satisfait à l'énoncé.

Cette construction est applicable à tous les polygones réguliers que Ton peut géométriquement inscrire dans un cercle donné; mais elle, se simplifie pour beaucoup de polygones. Ainsi, pour. l'octogone, après avoir mené les droites OA , OB faisant entre elles un angle de 45', on prendra OA = 06 ; par un point I on mènera IL parallèle à AB, et on terminera la construction comme ci-dessus.

1011. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle donné. En portant comme corde sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon, et joignant les 6 points de division, on obtient l'hexagone demandé ABCDEF (1004).

En faisant usage de l'cquerre a 60% on peut inscrire un hexagone en opérant comme pour inscrire un octogone avec l'équerre à 45* (1009). Ainsi, avec une équerre, on mène le diamètre FC; on fait glisser cette équerre parallèlement à ellemême jusqu'au bas de la figure; avec l'équerre à hexagones, dont on applique le petit côté de l'angle droit contre la première équerre, on trace deux diamètres AD, BE. On peut alors joindre les extrémités des

Fig. 192.

Fig. 193.

PKOBLtMSS. 317

trois diamètres pour avoir Thexagone; mais, remarquant que chaque diamètre est parallèle à deux côtés de Thexagone, on trace ces côtés en faisant glisser d*une quantité convenable Téquerre qui a servi à tracer le diantétre. C'est par ce moyen très-expéditif qu'on trace les écrous dans les dessins de machines.

fois. Construire un hexagone régulier ayant pour côté une droite donnée. On décrit un cercle avec cette droite pour rayon, et Thexagone inscrit dans ce cercle satisfait à l'énoncé (1011).

IOI5. Inscrire un ttiangle équilatéral dans un cercle donné. On in» scrit d'abord un hexagone, et joignant les sommets de deux en deux, on obtient le triangle demandé ACE {J!g. 19S).

1014. CortAtruire un triangle équilatéral dont le côté soit égal à une droite donnée. On opère comme au n** 971, en faisant chaque côté égal à la droite donnée.

On peut aussi faire usage de l'équerre à hexagones pour tracer le triangle équilatéral, l'angle de ce triangle étant égal au plus grand angle aigu de cette équerre.

Ayant inscrit un hexagone ou un triangle équilatéral, on pourra inscrire successivement des polygones réguliers de 42, 24, 48... côtés, et réciproquement, en opérant comme il a été indiqué au n* 1009.

iOi» Inscrire dans un c&cle donné : 1" un décagone régulier; 2' un 'pentagone régulier; 3* un pentédécagone régu-lier; 4" un polygone régulier de 30 ccté^ (597). 1° AB étant le côté du décagone, l'angle au

centre 0 = -rr- = 36*. Menant la bissectrice AG

de l'angle A, on a (674):