B:0G=0G:GB
Ce qui montre que le côté AB est égal au grand segment OG du rayon OB divisé en moyenne et extrême raison (997). Pour déterminer le côté du décagone, on mène deux rayons OA, OB Ftg. 194. perpendiculaires entre eux , sur OB comme dia-
mètre on décrit une circonférence, enjoint AO', et AD = AC est le côté du décagone. En portant AD comme corde sur la circonférence, et •^"ycF'/o 1 joignant les points qu'on obtiendra, on aura le
décagone demandé.
T En Joignant de deux en deux les sommets du décagone régulier inscrit, on aura le pentagone régulier {fig. 195). 3* La différence des arcs sous*tendus par les côtés de Thexagone et
da décagone réguliers étant g "" 7â = 7» <*® ^* circonférence, la corde
Pig. 195.
•3^8 TROISIÈME PCimE. GÉOMÉTRIE*
quF8oiis*tertd«elte dfftérencef est Ic-cMé^du pcnlédéMgiiMie. A7«ftt4e «été, en le 'portant eoimne «oi^de strr-ia cireoÀliérefiee, «n"cenMrii»i^ ie^Mlygowe.
4* Ayant .^ — - =-.5â» ^^ wit.que le eatétdu
pol^Pigsne régulier niseir1i^o'dO> éôtés est lacoi^ qui sou9*-tend Tare ^TDï'eôt-ia^JRfféreiiee dcç ««s ^u6»4eRd«s par les côtés du pentagone et *de Tiicxagoiie-réguHers 'invertis.
1M6. Pour inscrire doM-un cer(^'fm'fàih^§Bne replier "tCwv nombre queleonque de côtés ^ on divise iaeîrconlérenee -en autant de parties égales ^e le» polygone^olt f avoir décèles "(994/f«H), et joignait las points de division on a le polygone demandé.
Remarque. «Pour omistrutre un polygone f^licrtiuetoewttqiie dont le tôÉé-est^ni»é,««nsafit une roarêheanaki^oèieèUeflidiquée au n^fOfê pour Toctogone régulier.
'1017. CireoTtscrire mipohfit^tm» ré ffuiierà'un cercle dcn^ Ayant-inscrit dans le cercle un polygone régulier ABC... d'un inèn»e nombre dénotés, par les mvlteux 'des arcs' sous4endus menant des tangentes, qui «aont des parallèles aux 6Ôté»>du polygone inscrit, elles forment le polygone demandé A'B'C... En général-efy trace le polygone circonscrit sans tracer le . polygone inscrit, en suivant la même marche que pour ce dernier, dont tout au plus on ne fait qu*indiqaerles sommets.
1018. Inscrire un octogone régulier dans un carré donné ABCD. On trace les diagonales du carré, et des sommets A, B, C, O, coMine'centres, avec un rayon égal «urappan^-AO du carré,, décrivant des arcs de cercle, ces arcs déterminent sur les côtés du carré 8 points qui sont les sommets do Toctogone demandé.
t0*9. Couvrir 'tme surface pltme avec des polygoims
•réguliers, La somne des angles queTon^peut former
autour du mémepon^t dans un pian 'étant égal à
4-dTOîts'ou"360^(5BI), tout polygone régulier 'dont Tangle sera contenu
my^ombre entier de fois dans 4'^oits pcntètre employé pwir couvrir
onevoMtce'i^aitefefS).
On peut dtjdcà cet effet faîr&'Mi^:
•'Si9
JHK. 4t8.
Ti% 199.
Fîg. îeo.
ijLÉLAtu
' 1 *'Du triangte é^ilaAMl, dont Fangle ~ | = -
de droit (A^. 498); T '©ir carré, dentran^c^ j de droit {fig. 199) ;
3* De rhexagone régûîrer, dont Tangle = ^^
= 1 de droit {/î^. 200).
L^angle de Uoetogone régulier étaat égal^À — ^ = - décroît,* il n'est pas contenu tm nombre entier de fois dans 4>4voUs, et par suite on ne peut empkyer Toctogone ; mais en combinant ce polygone avecle carré, de^naaière que
deux angles de loctogone et un angle du carré aient le même sommet, ce ^i 'tienne ,--x 84^1 = idroits, on parvient
à couvrir la -surface ^g. f 04).
Ces dispositions sont employées. journellement par les carreleurs.
TIg. SOf.
éi tA lÉié^i 4
<MIM^«^
«ROiUbÈMBS ««R.LES JkUUaS JIES POLYGONES.
«iOSO. Trouver Taire d'un^polffgKme. quelconque. On décompose. «^e- Jygooeen triangles, en menant toutes Les diagonales parie mônefCOiDmet, OU en joignant un point intérieur à tous les sommets du polygone; on mesure Faire de chaque triangle (692), et la eomnae de tous les résultats trouvés est Taire cherchée. On. préfère ordinairement, surtout quand on opère sur le terrain (6' partie), joindre deux sommets du polygone et abaisser des autres sommets des perpendiculaires sur la diagonale qui en résulte^ Le polygone sa trou ve.aiasi4éc#inpefé en ti îac^les . rectangles et en tt^pèzes rectangles laciles kéYaluer (Voir Courbôs^^el" oofl|fie«r,« k l&fkt de la di^uièœc pastie).
ilQftl. /Trams formpr tm,pahjg(me , quelconque ÂBCDE'i^n tm polygone
équivalent qui ait un côté dn moins, * Que le polygone soit convexe [fig, .S#2), /OU qu*il ait un angle renlT9mi(fig, 203), enjoint C, E; ou mène DF parallèle à CE, et traçant CF, les deux triangles CED, CEF sont équivalents (694) et par suite aussi le pentagone ABCDE et fttf.qnadri!atère ' ABCF.
Remarque. Par cette marche on peut transformer un polygone quelle^tfpxn^IrtaHtlooéitBÉv^igitt.
^rFif.^Oi.
Kg.'îftl8.
TR0I8IÈ1IE F AKTIB. — GÉOMÉTRIS.
Construire un carré équivalent à la différence de deux carrée donnés, a et b étant les côtés des carrés donnés, on trace deux droites AB, AC perpendiculaires entre elles; sur Tune on prend AB = a < 6, et du point B comme centre, avec b pour rayon, décrivant un arc de cercle, il détermine AC, qui est le côté cherché. En effet, le triangle rectangle ABC donne bien (704j
ÂC*=:BC' — Ïb'=6* — a».
On serait arrivé à la même solution en décrivant une demi-circonférence sur une droite BC = 6 comme diamètre; en inscrivant, à partir de B, une corde BA = a, et en menant AC (654). Ayant le côté AC, on construira le carré comme au n* 1008. 1025. ConUruire un carré équivalent au résultat de la combinaison par voie â^addition et de soustraction de tant de Fig. Î05. carrés qu'on voudra, a, 6, c, d étant les côtés des
^ E carrés donnés, pour déterminer le côté k d*un
carré tel que Ton ait
on trace deux perpendiculaires AB, AC égales à
a, 6, et Ton joint CB; au point C on mène CD =r
perpendiculaire a CB, et Ton joint DB; sur BD
comme diamètre on décrit une demi-circonférence, et portant DE = (i
comme corde, puis menant BE, cette droite est la valeur de A*. En effet,
les triangles rectangles successifs qu'on a construits donnent (704, i0î2j
Se' = a« + b\
BD" = BC* + c« = a« + 6* + c»,
BË* = BD* — d«= a« + 6« + c*— d*.
Pig. «06.
Ayant le côté BE, on tracera le carré comme au n* 1008.
iW4 Construire un carré qui soit une fraction quelconque d'un carré donné ABCD, les 3/5 par exemple. On décril une demi-circonférence sur AB comme dia-
mètre; on prend AE = g AB (994) ; au point E
on élève la perpendiculaire EF k AB, et la corde AF est le côté du carré cherché. En effet, ayant (676) AF* = AB x AE, on en
conclut
^, AE ,, , AF' AE__3 AB*X^, doù ^3-î = l«-R-
AF»=Ai>-^T5> """ T-^~"ÂB~5* IMS. Étant donnés deux polygones semblables p et p% construire wi
PliOBLËMES. 321
troisième polygone P qui leur soit semblable, et équivalent : V à leur somme; 2" à leur différence :
I* On construit un triangle rectangle ABC {fig, 205) ayant pour côtés de Tangle droit deux côtés homologues a et 6 des polygones p et p\ et construisant sur Thypoténuse BG=x, comme côté homologue de a et 6, un polygone P semblable kp ei p' (998), on aura P=p +p'. En eflfet, ayant (700)
p:p'=:a«:6*, d'où (p + p') : (a^ + 6*) = p : a», (321)
comme on a de plus P : x* = p : a',
ces deux proportions ayant trois termes égaux, puisque 2*=: a* + 6*, on a donc bien P = p + p';
2* En prenant le plus grand côté b pour Thypoténuse du triangle rectangle {Jig. 204), et construisant P sur le second côté AC =x de Tangle droit, par les mêmes raisons que dans le cas précédent, on aurait P = p'-p.
1026. Construire un carré équivalent à un parallélogramme ou à un triangle donné, x étant le côté du carré, et 6 et A la base et la hauteur de la figure donnée, selon qu'il s'agira du parallélogramme ou du triangle, on aura (692, 695)
a;*=6x/t ou x^^bx^.
Ce qui montre que x sera une moyenne proportionnelle entre 6 et A
dans le premier cas, et entre & et - dans le second (996).
Remarque. De ce n* et de celui 1021 résulte le moyen de construire un carte équivalent à un polygone donné quelconque. Puis le n* 1023 permet d obtenir le carré équivalent à tant de polygones donnés qu*on voudra, combinés par voie d'addition ou de soustraction.
1027. Construire sur une droite donnée c un rectangle équivalent à un rectangle donné qui a 2l et h pour dimensions. La 4* proportionnelle x aux trois lignes c, a, b est la seconde dimension du rectangle demandé (995). En effet, de
c:a = 6:ar, on tire bien cxx = ax.b. (311)
1028. Construire un rectangle équivalent à un carre donné, et dont
les deux dimensions fassent une somme donnée AB. Fig .Î07. gj^j. ^g comme diamètre on décrit une demi-cir-
^ ^ conférence; on prend la perpendiculaire CD égale
-^~* ---1^"^ au côté cdu carré donné, et menant DE parallèle
et EF perpendiculaire à AB, les deux segments AF et BF sont les dimensions du rectangle cherché. On a en effet (676)
kP ou c»=AFxBF.
