MOYENS DE FIXER LA POSITION D'UNE DROITE
Fig. 241.
par rapport à des axes coordonnés ayant pour origine une extrémité de la drot/tf(555, 556).
Considérons d'abord le cas le plus simple, celui où la droite est dans Tun des plans coordonnés, celui des xy, par exemple (1086).
vSoit Ou cette droite, dont le sens est indiqué par Tordre Ou de ses extrémités; la direction de cette droite sera déterminée quand on connaîtra Tangle uOx que fait la droite avec la partie Oj de Taxe des abscisses, et que, de plus, on indiquera que cet angle est -compté en desjl" q /a X S"s ^^ ^^^ dessous de Ox, car on peut mener
par 0 deux droites faisant des angles égaux avec la partie Ox.
Afin de se dispenser de désigner si Tangle doit être compté en dessus ou en dessous de Ox, on a fait une convention analogue à celle mise en usage au n« 1083 pour fixer la position d*un point. Ainsi Ton est convenu de considérer comme positifs tous les angles que décrit la droite Ou en tournant autour du point 0 dans le sens de la flèche AB, et comme négatifs ceux qu'elle décrit en tournant dans le sens do la flèche AG.
L'angle positif est nul quand Ou se confond avec Ox; puis il prend toutes les valeurs positives comprises entre O"" et 90", peni^mt que Ou passe de Ox à Oy; quand elle se confond avec Oy, elle fait un angle positif de 90" avec Ox. Ou continuant à tourner, elle décrit tous les angles positifs de 90" à 180* ; elle fait ce dernier angle avec Ox quand elle se confond avec Ox'. Continuant à tourner, les angles positifs prennent toutes les valeurs de 180^ à 270*; à cette dernière valeur, elle se confond avec Oy'. Tournant encore, elle vient se confondre avec Ox après avoir décrit tous les angles positifs de 270" à 360". Dans une nouvelle révolution Ou décrirait tous les angles positifs de 360" à 720", et continuant son mouvement, elle décrirait tous les angles positifs supérieurs k 720".
Si Ou avait tourné dans le sens de la flèche AC, elle aurait successivement décrit tous les angles négatifs, comme elle a décrit toug les angles positifs en tournant dans le sens de la flèche AB. 11 est k remarquer que les angles +«, +(360* + a), 4- (720" + a), etc.; — (360"— a), — (720* ~ a), etc., désignent tous la même droite, en direction et sens. Remarque, Pendant que la droite Ou décrit les angles autour du point 0, chacun do ses points décrit les arcs correspondants k ces angles (631)» fit suivant que les angles sont positifs ou négatifs, cVst-k-dire selon le mouvement de Ou, ces arcs sont positifs ou négatifs. Ainsi un angle est déterminé quand on a l'arc correspondant, ot réciproquement.
3fiS
QDATIUÈME PARTIE. — TAI&OHOUÉTjaX.
expressions trig0n0mêtr1qle6. leth l'sage pour exprimer la valeur d'cn angle ou d'un arc quelconque, positif ou négatif.
1089. DasfeS'le cas où ia droite considérée Ow a une de ses oxtréiiîités
située à Torigine 0, la droite est déteriTTÎnée quand on connaît les valeurs al^briques des coordonnées y = Mp et « = M7'de son autre extrémité M (1083).
Les rapports entre les quantités y, i: et OM sont constants, quelle que soit }a position du point M sur la droite Ow, c'est-à-dire quelle que soit la vaèeuT de OU = r, quantité toujours positive, puisqu'elle tndique ta distance dtt point M à Forigiae O, -et q«i>41e est cMDfftée dans le sens positif 4e' Ou. 91 «nréenhe alors que si Fon n*a besoin que ée connaître la directîMi et *)e eens de 4a droite, il suiHt d'avoir les vale«re alg^ébriques de<leax ties rapports constants qui existent entre les quantités x, y et r; car atlri- 'iMmnt une Talemr qveiconque à r, ces rapports donnent les valeurs cor- 'vespondanles «de a; et y (476).
40M. Les quantirtés x^ 17, r louroîs^enrt entre elles 6 rapports, ou €Xfr»sn9W trigionomMriqiiêeê^ qui prennent les iioms particuliers suivants :
^-^ nq){)ort de rordonaée Jlpau rayon de l'arc AB passant j»ar le point M,
estle vmus de l'angle wOx = a, et de l'arc AU, que nous -dési^rne- Tons aussi parax. Uost de noéofie signe que rordonnée j/ (1065).
-, rapport 4o Tabscissc Op hu rayon, est le cosimcs de Taille ot de
l'arc «. i>ens^e «st celai ^e x;
-, rapport de l'ordonnéo à l'abscisse, est la tan génie do l'angle cl de
l'arc a. Elle est positive ou négative selon que y et x sont.âe nriMo «igné ou de signes contraires;
-, rapport inverse du sinus, ot de niômc signe, est la cosécante de
l'angle et de l'arc a ; -, rapport inverse du cosinus, et de même signe, est la sécante de l'angle
et de l'arc a.
-, rapport inverse de la tangente, est la cofangentc de l'angle et de
l'arc a. Elle est positive ou négative selon que xoty ont le même signe ou des signes contraires; elle est par conséquent de même signe que la tangente.
EXPUSSIDNS JJUGONOMÉTlUaCES. U&OH UBAGB. 363
En.abcégi^» en icrit :
sina=:2-, cosa=-, tanga— ^,
C08eca= -, seca=-, cota=— .
1091. Remarques. Dans le cas oà le rayon r est égal h Tunité, les expressions précédentes deviennent :
i* Siiaa=:y. Ctest'iamioiUé'deAa cmrde^MtS'ieMJdant Xijuic^^Qm'^^ dont à V angle dmihle <de a.;
2* Cos 0L=:x. Le cosinus et le sivus de a sont respectivement égaux au sinus et au cosinus du complément de jx. C'est ce qu'on peut vérifier sur lujïg. 242.
3*" Menanl la tangente AT {Ji^, il42), ies deux triangles &enihla)9lej& QAT et OpM donnent (670, 10j9i)}.
AT y ,
— =r ^ = tanff a.
Ainsi la tangente d^un angle a est aussi représentée par le rapport y à un rayon quelconque t^ de la tangente positive au négative AT menée à Torigine A de Varc décrit avec le rayon r , et prolongée jusqu'à la rencontre
de rauire côté de Vangle a. C'est ce qui a fait donner k l'expression - le
nom de tangente. Dans le cas où r= i, on a algébriquement
ianga=:AT;
4* Les mêmes triangles semblables OAT et OpM donnent
ÛT ^ ^
— = ^ = séc a.
JHnsi'la sécante est aussi représentée parole rapport au rayon de tapor» iion de sécante OT, comptée sur le deuxième côté de Vangle et comprise enttfe le oenire et la éangxnte. C'est, oe qui lui^ Xait dennerie nom de sécante. Dans le cas où r = 1, on a
séca = OT;
' 5« Menant au point B la tangente BS jusqu'il .Jla feaocoiUre >^e Qu^ ks ^etu-tEiaagleft^âniblablefi OJtS, O9M dasAeMt
— = - z=: cota.
€e qui fait voir -qœ ta cotangente âNtn angie est aussi reprèsenfêée par le rapport de la tangente DS au rayon. Dans le cas où r = 1 , on a
cot a = BS.
Ces formules et la figure font voir que la cotangente d^un angle n'est autre chose que la tangente de son complément. Cest ce qui lui a fait donner le nom de cotangente;
6" Les deux triangles semblables OBS et OgM donnent aussi
OS r .
— = - = coséc a.
AvMX la cosécante d^un angle est aussi représentée par le rapport de la parfie de sécante OS au rayon. Dans le cas où r = 1, on a
coséc a = OS.
Ces formules, ainsi que la figure, font voir que la cosécante dun angle n'est autre chose que la sécante de son complément.
1092. De ces remarques il résulte qu*on a :
y X ^ Al
sina=^, cos«=-, tanga=— ,
OS . OT , BS
coseca = — , séca=: — , cota= — ; r r r
ei que dans les cas où r = i, il vient
8ina = y, cosa = a:, tanga = ÂT« coséc a = OS, séc a = OT, cot a = BS.
Ces dernières valeurs des expressions trigonométriques sont représentées par de simples lignes, qui prennent le nom de lignes trigonométriques.
1093. Il y a encore deux autres expressions trigonométriques, que nous nous contenterons de définir, vu leur usage peu fréquent.
= -^ est le sii^is verse de Fangle ot de l'arc a. Pour r = 1 le sinus verse est égal k Xp.
" = — est le cosinus verse de Tangle et de Tare a. Pour /■ = 1 ,
le cosinus verse est égal à Bq.
1094. Signes des expressions trigonométriques. Comme dans les six expressions trigonométriques du n® 1090, il n'entre que les coordonnées X et y de variaoles, et qu'il est de la plus grande facilité de reconnaître les signes de ces variables quelle qu« soit la valeur de a, la détermination des signes de ces expressions n'offre aucune difiiculté (447, 1085).
Pour les valeurs de a comprises entre 0" et 90", X et y restent positifs, et x varie de r k 0, tandis que y varie de 0 à r ; donc (1090) :
EXPRESSIONS TRIGONO.MÉTRIQDES. LEUR USAGE. 36$
sin a = + ?^, el varie de 0 à + 1 ;
cosa = + -, et varie de + 1 à 0 ; langa= + î^, et varie de 0 à + oo; coséc a = + - , et varie de + Q^ à 1 ;
séca = 4- -, et varie de i à + oo; cot a = H- - , et varie de + oo à 0.
Pour les valeurs de a comprises entre + 90* et -h 180", y est positif et varie de r à 0, au lieu que x est négatif et varie de 0 k — r, donc :
sin a = -f -, et varie de -f 1 à 0 ; r
cos a = = , et varie de 0 a — 1 ;
tang a = — ^ = — ^ , et varie de — c» à 0 ;
r cosec a = H — , et varie de 4 k + oo;
séc a = = , el varie de — oo à — 1 ;
cota= = , et varie de 0 à— oo.
Pour les valeurs de a comprises entre + i80" et + 270*, y est négatif et varie de 0 à — r, tandis que x est négatif et varie d^ — r à 0; donc :
sin a = ^^ H ^, et varie de 0 k — 4 ;
cos a ±= = , et varie de — I a 0 ;
tang ce = ^^ = 4- 4, et varie de 0 k + co;
cosec a = = , et varie de — oo a — 1 ;
r r séc a = = , el varie de — i ii — oo ;
cota = = H — , et varie de + co k 0.
Pour les valeurs de a variant de 4- i^O* à +360", y est négatif et varie de — r a 0, tandis que x est positif el varie de 0 à + r ; donc :
366 QtJATnrtÎME PAUTIK. — TTnCOKOMÉTttTK."
gin a = — ^ = — '^, et varie de — là 0';
cos a = 4- -, et varie de 0 a + i ;
tang a = -— ^ = — i , et varie de — oo à 0 ;
coséc a = = , et varie de — i à — oo ;
séc a = - , et varie de + oo à + 1 ;
"4" 5C ce cot a = — = , et varie dte 0 à — do.
Poun le& valeurs de x supérieiuresi à^^O^^, les ex^oseions tuigeiiAinétriques reprennent successivement les mêmes valeurs et les mâmes si^ ^nes que pour les angles de 0° à 360'; ainsi les expressions trigonométriques sont les mêmes pour tes angles de (360 -h 30)*, (360 xSf H- 30)% etc., que pour un angle de 30*.
L'inspection de la Jlg, 2i2 fait voir que pour un angle négatif quelconque — a (n* 1088), les expressions trigonométriques ont les mêmes valeurs et les mêmes signes que pour Pcmgle positif 360- — or, I>'6Ù il résulte qu'en formant pour les angles négatifs le tableau précédent, on retrouverait les mômes valeurs, mais dans un ordre inverse. Airasi, pour les angles de 0* à — 90% on aurait les mêmes valeurs que pour les angles positifs de 360' à STTOV
La figure suivante indique les signes des expressions trigonométriques pour les diverses valeurs de Tangie ou de Tare «.
Sinus et cosécanie.
Cosinus et sécante.
Tangente et cotangente.
I091S. Il est à remarquer que les valeurs absolues des coordonnées y et X (1089), et par suite celles des expressions trigonométriques d'un angle quelconque uOx (1090), sont égales à celles de l'angle aigu que fait la droite Ou avec Oxou avec son prolongement Ox' (fig 242), cet angle aigu étant dans tous les cas considéré comme positif.
Il résulte donc qu'en formant le tableau (ri* 1138) des valeurs des expressions trigonométriques correspondant, à tous les angles positifs
