EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIQUES. LECR USAGE

compris entre 0* et 90*, il contiendra aussi les valeurs absolues des expressions trigonomélriques d'un angle quelconque plus grand que 9(9*; ayant ces râleurs absolues, on leur donnera le signe qui convient à l'angle en consultant le tabïeau du n* 4094 ou la ûg. 243.

Veut-on avoir, par exemple, le srnus d'un angle MOa:= + 215"?* On remOTque que Ou feit avec Ox' un angle aigu de 215— 180 = 35'; on cherche dans Ta table {1\39J le sinus 0,5735S de Tangle de 35% et donnant k ce sinus le signtî —qui convient à Fangle de 215% on obtient --0,573i>î? pour le sinus de Fangîe + Slo*.

Étant donné un angle quelconque, on peut donc déterminer les v»^ leurs algébriques de ses expressions trigonométriques.

1096. De là on est conduit k se demander si, étant donnés la valeur et le signe d'une seule expression trigonométrique, l'angle est déterminé. D'après ce qni précède, l'angle aigu a ayant la valeur donnée +^ pour sinus, Tangle obtus supplémentaire ISO* — a a le même sinus; le sinus proposé ne détermino donc pas un angle, puisqu'il satisfait à deux angles supplémentaires formés avec Oa: par deux droites symétriques par rapport à Ta^e Oy. De m^mo, à une valeur riégative •— * du sinus correspondent les deux angles 180" + a et 360« — a, que font avec Ox deux droites symétriques par rapport k Oy' { fig, 242f).

Comme k l'angle aigu « correspond un cosinus positif, tandis qu'à son supplément 180" — a correspond un cosinus négatif, on voit qu'étant donné un sinus positif, si en outre on indique le signe du cosinus, Fangle sera déterminé. De plus, connnc k Fangle fST + « correspond un cosinus négatif, tandis qu'à Fangle 3150* — a correspond un cosinus positif, on voit donc qu'étant donné un sinus quelconque, positif ou négatif, et le signe du cosinus correspondant, Fangle est déterminé.

On ferait voir de la même manière quli une même valeur positive dit cosinus correspondent les deux angles a et 360*— a formés par deux droites symétriques par rapport k Ox; et qu'k une même valeur négative correspondent les deux angles 180* — « et 180" + a formés par deux droites symétriques par rapport k Oac'; mais que si en outre de la valeur algébrique du cosinus on donne le signe du sinus correspondant, Fangle est déterminé.

+ 1 étant la tangente d'un bjo^o a, on aura k la fois ^ = ^ et. ^ = -—^ ,

équations qui peuvent être satisfaites par deux droites Ou etOtt", directement opposées et faisant avec Ox les angles a et tSO" 4- «. Ainsi Fangle n'est pas déterminé par sa tangente; il le sera quand, on outre, on connaîtra le signe de l'une des coordonnées y et a:, ou, ce qui revient aa même, celui du sinus ou du cosinus.

Si la tangente donnée était — ^, on aurait k la fois --<.= --^ et — / = ~^, valeurs qui seraient, satisfaites par deux droites ùid et Cm'",

directement opposées et faisant arec Otr les angles 90* + « et ^75' + «. L'angle n'est donc pas déterminé par ces valeurs; mais, comme dan^

368 qcathième partie. — trigonométrie.

le cas précédent, il le sera dès qu'en outre on connaîtra le signe du sinus ou du cosinus correspondant.

En général, à une même valeur algébrique d'une des expressions trigonométrîques principales, sinus, cosinus et tangente, correspondent, pour chacune des deux autres, deux valeurs égales et de signes contraires; c'est ce que montre lafig. 243. 11 en résulte qu'ayant la valeur de l'une quelconque de ces expressions, il suffira de connaître le signe de l'une des deux autres pour que l'angle soit déterminé.

1097. Désignation d'un angle au moyen des mois fiuit^ base, pente. Quand, dans la pratique, on dit que le fruit d'un mur est de 0",01 par mètre, par exemple, on entend que la face que l'on considère s'écarte de la verticale de 0",01 par chaque mètre de hauteur verticale, et 0,01 est la tangente de l'angle que forme la face du mur avec la verticale. La base d'un talus par unité de hauteur a la même signification. La pente d'une route ou d'un chemin de fer est la hauteur dont il s'élève pour \ mètre mesuré sur l'horizontale ; ainsi, dire que la pente d'un chemin de fer est de 0'",003 par mètre, c'est indiquer que le chemin forme avec l'horizon un angle dont la tangente est égale à 0,003. Si le mèlre était mesuré sur le chemin même, 0,003 serait le sinus au lieu d'être la tangente. Du reste, dans les cas ordinaires de chemins de fer, et môme de routes, les angles formés avec l'horizon sont assez petits pour que la tangente ne diffère pas sensiblement du sinus.

1098. Nous avons vu comment, ayant une table des valeurs des expressions trigonométriques des angles de 0* k 90% on déterminait ces valeurs pour un angle quelconque (1095) Remarquant que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante d'un angle aigu sont respectivement égaux au cosinus, au sinus à la cotangente^ à la tangente, à la cosécante et à la sécante de son complément, il suffit donc de connaître les valeurs des expressions trigonométriques des angles de 0* à 45** pour pouvoir eh conclure cellesde tous les angles possibles. Veut-t-on avoir, par exemple, le sinus d'un angle de 70'? Il suffît de chercher dans la table le cosinus 0,93969 de l'angle de 90 — 70 = 20" (1109).

Le cosinus d'un angle de 425** a pour valeur absolue celle 0,57358 du cosinus de 180 — 125 = 55' (1138), qui est aussi celle de sin 35*; sa valeur algébrique est donc —0,57358 (n** 4094).

Règle génf^rale. Quand on a à déterminer la valeur d'une expression trigonométrique d'un angle comipris entre 90' et 480°, on prend cette valeur pour le supplément de l'angle, et en lui donnant le signe qui convient à l'angle proposé (4094) on a le résultat cherché. Dans la pratique on n'a guère à considérer que des angles moindres que deux droits; du reste, pour les angles supérieurs h cette limite, il n'y aurait pas plus de difficultés.

t099. Disposition des tables trigonométriques. Dans les applications on ne fait guère usage que des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes; aussi les tables dressées ne contiennent-elles que les valeurs de ces expressions trigonométriques.

EXPRESSIONS TRlGONOMÉTRIQUfiS. LEUR USAGE. 369

En donnant deux entrées à ces tables, comme dans celle du n*" il 38, qui contient les valeurs de ces expressions trigonométriques pour les angles successifs de minute en minute, on obtient directement les expressions trigonométriques de ces angles et de leurs compléments jusqu'à 90*; au lieu qu'avec une seule entrée on ne les aurait eus directement que jusqu'à 45**.

L'entrée par les premières lignes horizontales et verticales fournit les valeurs des expressions trigonométriques pour les angles de 0' à 45% et Ventrée par les dernières lignes horizontales et verticales les donne pour les angles de 90* à 45".

De cette double entrée, il résulte que chacun des nombres de la deuxième colonne verticale est à la fois le sinus de l'angle indiqué dans la première colonne verticale, et le cosinus de l'angle indiqué dans la dernière colonne verticale; ce qui devait être, ces deux angles étant complémentaires (1098). De môme, un nombre quelconque 0,80902 de la troisième colonne verticale est à la fois le cosinus de l'angle de 36% désigné à la première colonne verticale, et le sinus de l'angle complémentaire 53" 60' =54*, désigné à la dernière colonne verticale. Les colonnes verticales 4 et 5 fournissent des résultats analogues pour les tangentes et cotangentes.

Les tables ordinaires, au lieu de contenir les valeurs naturelles des expressions trigonométriques, contiennent les logarithmes de ces grandeurs. De plus, on a augmenté les logarithmes négatifs de 10 unités, afin de les rendre positifs; ce qui équivaut à multiplier les valeurs des expressions trigonométriques par l'unité suivie de 10 zéros (395, 397).

Pour avoir une expression trigonométrique dont le logarithme a été augmenté de 10 unités, on commence par diminuer la caractéristique do ce logarithme d'un nombre d'unités seulement suffisant pour que la nouvelle caractéristique se trouve dans les tables de logarithmes que l'on a à sa disposition; le nombre correspondant au nouveau logarithme, divisé par l'unité suivie d'un nombre de zéros égal à 10 moins le nombre des unités retranchées de la caractéristique, est la valeur de l'expression trigonométrique cherchée (401). On trouve ainsi que sin 65* = 0,906 31 et que cos 55* = 0,573 58.

Les tables de Lalande contiennent les logarithmes des expressions trigonométriques de minute en minute, ayec 5 décimales, et les différences de ces logarithmes.

Les tables de Callet contiennent, avec 7 décimales, dans une première partie les logarithmes des^ expressions trigonométriques des angles de seconde en seconde de 0* à 5*, et par conséquent de 85* à 90* à cause de la double entrée; et dans une seconde partie, ces logarithmes des angles de dix secondes en dix secondes de 0* à 90*. Les tables contiennent également les différences des logarithmes.

Les sinus et cosinus étant tous plus petits que l'unité, ainsi que les tangentes des angles de moins de 45* et les cotangentes des angles di^ 45* à 90* (tang 45* = cot 45* = 1 , et log tang 46* = log cot 45<» = 0), leurs logarithmes sont négatifs. Pour les rendre positifs, on loa a augmentés

de 10 nnités ; mais pour Is facktlfé d^s.calôuis, il comvkmt ée rétoUff le^ vfai logaTlthme à «ar&eféri«#qoe ^nk fiég«tiv«« €3» Tp«i lofujlbim « pour partie décimale pDsith c c^lle ûe ta taliie^ «t pour «sraelérislifMft, h ctfffërence, prise^ ayoc le signe moins, oMenue eo retnmckaAI ia en* ractéristiqtte de la table de 10 unités. Ainsi la table donnant, par exemple :

log sin 48-a4/W= 9,501 9795, on a Jog sin 18*àl'20''=î^01 9795;

ki|g€05» ir31Woi=9,97©900a, OA a log cos 18*31'îîr ="î;916 9002;

log tang 18''31'20"= 9,525 0794, on a log tang W31'80''î=T,5250794;

lèg cqj irtl'gO" = M74 920«, on » log cot W3rai0" = 0,474 9206 .

Ce 9o»t ces secondes valeurs qu'il faut employer dans la pratique (roir résolution des triangles). Les tangentes des angles de 45- à 90* €t krs cotangentos des angles de 0" à 45'* étant supérieures k Tunilé, leurs logarithmes sont positifs; aussi a-t-on inscrit ces logarithmes dans les tailles svns les augmenter de 10 unités; c'est ce qui fait quTI n'y a pas mi de changement dans la dernière ligne du tableau précéiTent. Il 00. Fix^ la position é^une droite dans l'espace. Nous venons de voir comment, à Taide des cxpressioi^s trigonomé- Pig. Î44. triques, on fixe la direction et le sens, c'est-à-dire

la position d'une droite dans un des plans coordonnés. Examiinoas maintenant le cas où la droite est située hors de ces plans.

Supposons toujours les plans rectangulaires entre eux, et ayant pour origine l'extrémité 0 de la droite Ou, dont le sens est Ou. La position de la droite sera déterminée quand on cojuiaîtra les valeurs / algébriques des coordonnées c, y» a d'un point H

/y situe à la distance quelconque + OM = r de l'ori*

gi»e (10^)« GeUe position sera donc déterminée

quand on connaîtra les rapports î, ^, j;, ^tiî pfeKfieitt lei «ignos df

X, y et 2, car r étant toujours positif, on lui donnant une valenr queli^ofique, on en déduira k» valeu4*8 a^ébriques corrospondantes de aî, y et «.

Désignons par a, p et y les angles que fait Ou avoc les axes respectifs Ode, Oy, Ot. Mp étant pcrp^itdtculaire k 0;^ (747}, Op est 1 abscisse x du portit M, etf «dans le ftlaii «Os « on a

Op X OM r

On a de même dans les plans «Oy «*iiO«

3^ ï=!rC0«P Ot *=ttOOgt-

Ce qui fait voir que cotitiaissatit U^ coskiua doa 4tAgl(l8 q«e fiait la

NOTIONS SUA JJ&S PHOJËCJIO^S u\iilL LIGNE. 371

droite avec les axes, on connaît les rapports algébriques -, ^, î, et

par suite la direction et le sem delà droite.

1 toi. On a X* + y* + 2* = Ol* = r»; (|086,

par suite -, + ^^ + -. =: i,

c'est-à-dire cos' a -f cos* ? + cos' y = I . (a)

Ce qui fait voir la propriété peniarqiiable, que la scnnme des cayrés des cosiiîtùs des angles que fait une droite avec trois axes rectangulaires est égale à Vunité,

Remarque \, Cette relation montre qu*on ne peut pas choisrr arbitrairement les cosinus des angles, et par suijte les angles que doit faire une droite avec trois axes rectangulaires ; mais qu'en se donnatit, avec lours signes, les cosinus des angles que doit faire la droite «ve<; deux des axes, etlesignedu cosinus de Tangle qu'elle doit faireavec le troisième, on peut de Téquation (a) déduire ce troisième cosimis, et par suite fixer la position de la droite.

Remarque 2. Donner le cosinus de Tangle que fait la droite avec un axe, revient à faire connaître une nappe conique de révolution ayant pour axe Taxe donné, et sur laquelle se trouve la droite; Donnant deux oosmus, c'est que la droite est Tune des deux iifénératricos iiit6r86Ctioa3 de deux nappes coniques; comme Tune de ces génératrices £ût msk angle aigu avec le troisième axe, tandis que l'autre fait un angle obtus, donner le signe du cosinus de l'angle que fait la droite avec le troisième axe, c'est désigner celle des deux génératrices qui satisfait à l'énoncé. Remarqua 3. Si la droite était dans le plan de deux axes, la formule'fa) deviendrait

cas«a + cos»p = i. (1085)

^KOTIONS SVR LCS PROJECTIOffS DUNE tlGKB.

1102. Une droite ayant deux sens (656), la longueur d'une droite finie prendra le signe + ou le signe —, suivant qu'il s'agira de l'un ou .de l'autre sens de la droite.

Quand on considère une droite indépendamment d'aucun axe, on peut indifféremment adopter comme positif l'un quelconque de ses sens» l'autre sens est négatif. Mais lorsque la droite est considérée par rapport à un système d'axes, le signe à donner à chaque sens de la droite est ÛMliqué par les signes des sens correspondftnts des ai^es.

Le sens de la profection d*Mne droite sur v» axe esi, AoniBie pour .la droite, indiqué par l'ordre des lettres de deux de «es points^ et le signe 4e chacan des sens de cette prcjeciton est indi4|ué par ceux des inèmes de l'fljLe (4083).

Pour fixer les idées, la longueur absolue de la droite M'H"*" ou WW

VVATRIÈUE PARTIE* — TRICOKOUÉTRIE.

Fi^. 245.

étant de 30", la valeur algébrique de M'M'' est 4- 30-, et celle de M"M' est — 30-. De même, la valeur absolue de la projection 'PY ou p"p' de M'M'' sur Taxe Oz étant de 22-, la valeur algébrique de p'p" est + 22", et colle de j/y est — 22».

i 105. Expressioji algébrique de la prqjeoiion (Tune droite sur un axe. Ayant Op"^=x'\ abscisse du point M", et Op' = a:', abscisse du point M', il en résulte qu'on a

p'|,"= + (a:"'— «'), et p'y = — (a:"~a:').

On aurait des expressions analogues pour les projections sur chacun des autres axes Oy et Oz.

Ces expressions s'appliquent aux cas où les valeurs de x' et de x" sont de signes conti'aires, comme à ceux où elles ont même signe; seulement il faut affecter x' et x" des signes qui leur conviennent : ainsi les valeurs do x' ot de x" étant négatives, ce qui a lieu quand M' ol M" sont à gaucho du plan dos yz, on a

py = + [- X"- (^ X'}] ^ + Hx-" + X'), et

PY = — [ — x"— (— x')l = — (—X" + x'). (422)

Si x' est négatif et x" positif, les formules établies comme précédemment

donnent

py = 4. [4- ar/'- (-X', ] = -i- [x" + x'), et

py=-.[+x"-(-x')]=-(x"-f-x').

1104. Relation entre une droite et ses projections (H06). Si par le point M' [fig, 245) on menait des axes parallèles aux premiers, les projections de M'M" sur ces nouveaux axes seraient respectivement égales aux projections sur les premiers; de plus, ces projections seraient les coordonnées du point M". Alors, les axes étant rectangulaires, appelant u la longueur de M'M", on pourra appliquer la formule du n* 1086, et poser

2^«= (x"-xr + (/'- y')^ + (2:"-2:')«.

Dans le cas où Tune dos projections est nulle, co qui «irrivo quîind la droite est située dans Tun des plans coordonnés ou parallôlo k v.o plan, la formule précédente devient, en supposant que c'est par rapport an plan dos xy que la droite jouit de ces propriétés,

ttî= (x"— x'/-f (y'^— y)?.

Formule identique k celle du n* 1085, et qu'on peut établir comme la formule générale précédente, en supposant la droite située dans le plan de deux axes déterminés.

Si la droite était k la fois dans deux plans coordonnés, xy et x r par exemple, ou parallèle k ces plans, elle so confondrait avec Taxe des x ou lui serait parallèle. Alors elle se projetterait en véritable grandeur