DÉTERMINATION D*UNE LIGNE

1141. Nous avons vu que la position d'un point dans un plan ou dansTespace est fixée quand on connaît ses coordonnées (1085, 1086). Pour qu*une ligne soit détarniinée» il suffit qu£ ses divers points soient fixés, et que par conséquent on connaisse les coordonnées de ces pointa.

Lorsqu'une même relation algél}rique existe entre les coordonnées de chacun des points d'une ligne, il est de la plus grande facilité de déterminer autant de point» qu'on veut de la ligne, et,, par suite, de tracer ceUe ligne, en raccordant, aussi exactement que possible, les points obtenus. S'il s'agit, par exemple, d^une courbe plane, donnant une var leur à l'une des coordonnées, la relation sert à déterminer Tautre coor^ donnée du point correspondant de la courbe (464).

Supposant, pour fixer les idées, que les coordonnées de cbacun des points d'une ligne sont liées par la relation y = 3j: + 2", sF Ton fait X = 4", par exemple, le point de la ligne qui correspondra à cette valeur de X aura pour ordonnée y=3x4+2 = i4*. Donnant à x une nouvelle valeur, on aurait une autre valeur correspondante de 2^, et par suite un second point de la ligne.

Lorsque la courbe n'est pas plane, comme on ne peut prendre arbitrairement qu'une de ses coordonnées, les deux autres, qui en dépendent, restent inconnues et ne peuvent être déterminées que par deux relations ou équations (476).

1142. Coordojtnéf's polaires. Un point M est aussi déterminé dans un

plan MOj-, quand on connaît Tangle MOx = a, que fait avec Taxe Ox la droite OM qui joint le pôle 0 ^ et le point M, et la distance OM = p, qui prend le

\(t nom de rayon vevlfur.

0 ^ X Les deux quantités a et p sont appelées coordonnées polaires.

Lorsqu'une même relation existe entre les coordonnées polaires de chacun des points d'une ligne, on peut, comme dans le cas précédent, déterminer autant de points que l'on veut, et par suite tracer la ligne.

1143. Coordonnées focales. La position d'un point M est aussi fixée

dans un plan, quand on connaît ses distances MF = p, MK'= p' à deux points fixes F, F', pris dans ce plan et appelés foyers ; seulement, les longueurs p et p', que l'on nomme rayons vec leurs ou coordonnées focales^ déterminent un second point M', symétrique de M par rapport à FF'; et une équation entre les rayons vecteurs p et p', considérés comme variables, détermine une ligne formée de deux parties symétriques par rapport à Vaxe FF' (464).

Un point M est encore déterminé dans un plan *^' * par ses distances MF = p et MP = p', aussi appelées

p, rayons vecleurs, à un point fixe F et a une droite

"7IK fixe 0.y, qu'on nomme respectivement fjyer et

/p I directrice. Comme dans le cas précédent, deux lon-

Y^ U — ^ gueurs absolues des rayons vecteurs déterminent

\ I deux points M et M' symétriques par rapport à

\j Vaxe Ox mené perpendic:ilai renient à Oy par le

foyer F. Ainsi une équation entre les deux rayons vecteurs p et p', considérés comme variables, détermine un ligne symétrique par rapport à Ox.

1144. Les courbes se définissent ou par la relation de leurs coordonnées rapportées à des axes (1141), ou par celle de leurs coordonnées polaires (il4î), ou encore par celle de leurs coordonnées focales (1143). C'est ce que fera voir l'étude des courbes les plus usitées dans la pratique.

il4o. L'équation exprimant la relation qui existe entre les coordonnées d'une courbe est appelée V équation de la courbe.