HOMOGÉNÉITÉ

néité du polynôme. Si Ton multiplie chaque lettre d'un polynôme homogène par un même facteur k affecté de Texposant de chaque lettre, le polynôme est multiplié par k^ (416, 437, 438).

On dit en g(^néral qu'une fonction (464) est homogène et du degré m, quand chacune des lettres qui y entrent étant multipliée par k affecté de Texposantde chaque lettre, elle se trouve multipliée par A*. Telles gontles fonctions

dont le degré est respectivement 2, 4,0, — 2.

Un monôme est toujours une fonction homogène d'un degré égal à celui du monôme.

Si dans une fonction il entre des lettres qui représentent des coefficients numériques, ces lettres se négligent dans la formation du degré de rhomogénéité de la fonction. Ainsi, n étant un coefficient numérique, la fonction suivante est homogène et du degré i :

a*+ (y + wj)* ^â6— («y-ha:?'

On considère également comme des coefficients numériques les fonctions transcendantes sîn, COS.. , log, de fonctions homogènes du degré 0, ainsi qu'une quantité telle que e^, dans laquelle a est aussi une fonction homogène du degré 0. Telles sont :

ab , ^ + v^a*— 6« -^^ «^"5iT6i' ^"g ai-b - ' '

Cest qu'en effet, en multipliant par k chaque lettre de la fonction du degré 0, on ne change pas la valeur de la fonction, et l'on peut alors y supprimer A; ce qui n'aurait évidemment pas lieu si le degré de la fonction n'était pas 0.

Ainsi la fonction suivante est homogène et du degré - :

as/b-\-b Je sina

1447. De ce qui précède et des opérations sur les polynômes il résulte :

1* Que la somme ou la différence de deux fonctions homogènes du même degré est une fonction homogène du même degré que les premières (421, 422);

S' Que le produit de plusieurs fonctions homogènes de degrés quel* conques est une fonction homogène d*un degré égal à la somme des degrés des fonctions proposées (429);

iBO CINQUIÈME PARTIE. — OÉGFatTUlE DES COURBES.

S* Qrre l« quotient (fnire fbactîon homogène par vote l&ttc/fkon h«Nm^ gène est anc fonction himiogène d'«n degré égal aa degré ^ la première moins le degré de ta seconde (451) ;

i" Qu'une puissance â*nne fonction homogène ert ime Mncfioii homogène d'nE degré égal ftn degré de la fonction proposée ^MMphéfiÊt T*exposant de la paissante (*•) ;

5* Qu'une racine d'une fonction homogène est une fonction homogène d'un degré égal au degré de la fonction proposée divisé par Tindice de la racâne (i*).

i 1 48. Une équation est dite homogène ^XoTSC^Me ses deux membres sont homogènes et du même degré, ou quand l'im de ses menitoies est «»1 et ^lÊt ravtre 60t howogène (i *M).

Il résulte de cette définition :

«I* Qa'ttne éqaatîwi hMiogèiia oreste hronogèaie quand «n «mttiplie tin^s tes lottnes qu'elle nenfeme pmr \m jnânie facteur k affecté de Fesposant de ohaqne lettre (1:14«).;

V Qu'une équation hooMigène eBére des qiuuitiléscotioràtesde aaéne espèce (12j [les autres quantités étant considérées comme des coefficients (1146)] est indépendante de Tunité à laquelle ces quantités concrètes sont rapportées. C'est qu'en effet, en changeant d'unité on ne fait que multiplier toutes les quantités concrètes par un même facteur entier ou fractionnaire.

Réciproquement, si une équation algébrique entière [cas senl ntfle k considérer (408)] entre des quantités concrètes de mènm espèce alleu quelle que soit l'unité à laquelle ces quantités sont rapportées, cette équation est homogène, ou provient de l'addition de plusieurs équations homogènes de degrés différents (1151).

1149. Toute équation algébrique peut être changée en une autre dont l'un des membres est 0, et l'autne une quantité rationnelle entière (408}. Si l'éf uation est homogène et du degré m, chacun de ses termes renfermera m iacteurs littéraux, non compris les coefficients littéraux {1146}.

Ainsi, en général une équation peut s'écrire sous la forme de la fonction

/(a, ft, ar, y,...) ±=0.

1 1 80. Dans les recherches géométriques, les longueurs sont les seules quatités concrètes qu'on ait k considérer; car les aires et les volumes dépendent essentiellement de leurs dimensions linéaires. Pour exprimer algébriquement une relation entre plusieurs longueurs, on rapporte ces longueurs aune môme unfté, le pins souvent arbitraire (If S2) , et ce sont les rapports qui en résultent qu'on écrit dans les équtffîoiis, d'après les règles de Talgèbrc.

1151. Tontes les équations auxquelles conduisent fes recherehes géamétriques (mises en équations, transformations et résultais) «ont hamogènes lorsque Tunilé est indéterminée. €ette considènttfon tsat ^ la plus haute importance en géométrie aniiïytiqtie; ella sert de mfoym ie vérification pendant tout le cours des eatculs; elle sail de moyen tnnë-

MHOOÉNélTé. 434

Monrique pour retenir les ftHrmuïes; eUe étaUit de Tanak^ <enfr« les egcpremions, et elle peut suggérer des méthodes de calcul plus simpleti et pins ëlëgantes.

Remarque i . Lorsqu'on combine p«r vO'ie d'«ddiitian «u de soustr^action plusieurs équations homogènes, elles doivent être du même degré; car s'il n'en était pas ainsi, Féquation résultante, quoique exacte, ne serait pas honu^fène, et fen doit rejeter «vec soin âne teUe coiUibiDai> son dans toute analyse bien conduite.

Bemarque 2. Le théorème de rhemogénétté s'applique à toutes les équations de géométrie; mais en se rappelant que les aires sont représentées pir )e produit de éeux loagneursset les voiumee par le produit de trois longueurs ou celo» d'vne suHàce par une longueur, et que» par SfUite, suivant qu'une lettre A ou V représentera une aire ou un volume, il faudra la considérer comme «tant du deuxième ou du troisième degré. Ainsi, h, h', 6, 6'exprimîintdes longueurs. A, A' des aires, ^ V, T' des volumes, les deux foram^es suiviuites sonrt tetno^èaes :

A--A'= J (A-/0 (6+6% V-V'^i (à-/0 (A + A + v^ÂF)-

En général, sel^n que l'inconnue d'un problème est une aire A ou un volume V, l'expression qu'on obtient est homogène et du second ou du troisième degré. Ainsi l'on a :

A = a6 ou V = abc.

11^2. Dans tout ce qui précède, l'unité est supposée arbitraire. C'est dans cette h^^thèse ^u'il ftmt soumettre ancikiti toutes tes questions de géométrie ; car s'il en était autrement, si, par exemple, on prenait pour «mité «me des longueurs oonMdérées ou toute autre «mité caatemre un ne»ibf« déterminé «te fois dans cette longueur^ on pourcttlt arriver à des équHtMMiB lionmgènes au fond, mais qui «'«a aurateat,pas fi^pareace; Bxsmi ftoMi éviter ce<CBSJparitealier. Du restera une équAtiofi de «cette «espèce, on peut toiirjxi«rs rawdve l'aspect de l'homogéiiéité ; pour cein, il soÊ^ de re«di« l\un«é orbitraîne, «n tm^^rimJi chaque longueur k <;ette unité; ee qni 9e Mt en rapponantla Im^ueur prise pour unité k l'uiifte arbitraire, en muifspiiaiit ch^qw lettre par le rapport ou nombre abstrait qui en résulte élevé à la mette i^uiasonce que la lettre, et en exprimant chaque produit partiel par une nouvelle lettre élevée à la même puissance que la première.

En prenant une unité de longueur arbitraire, on a pour l'aire du cercle

Si, au contraire, on prend le rayon pour unité, on a

A'=1CXi» = R.

Équation dont le premier membre est du degré 2, et le second du

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degré apparent 0, car k est un nombre abstrait. Pour donner à Téqualion son aspect homogène habituel, on exprime le rayon pris pour unité en unités arbitraires; ce qui donne r pour rapport; alors i* du gecond membre de Téquation devient r*, et l'on a

A'r* ou A = :tr'.

Eii prenant le rayon pour unité, le volume de la sphère est

V'=*«xl»=|7:. (947)

Rapportant le rayon pris pour unité à une unité arbitraire, ce qui donne r au lieu de i , Téquation précédente devient

V'r» ou V = |«r».

Le demi grand axe a de Tellipse étant pris pour unité, Taire de Tel* lipse est

A'=27:Xlx6'. (1487)

Rapportant le demi grand axe 4 à une unité arbitraire, il devient a, et rapportant toutes les longueurs à cette même unité arbitraire, il vient

A' X a* = 2iu X a X ab' ou A = 2jca6.