PARABOLE

1257, hs^ parabole est une courbe à uno branche ZKUi feraiée [fig*. 31 1;, .dont tous les .points sont ôgalemant distants d'un point ûxù.ovl foyer F, et d'une droite fixe ou directrice OD.

La; parabole se défiait donc, encore, comme l'ellipse et rhyperJI»ole, par son équation en coordonnées focales (1170, 1211), équation qui est; en désignant par les variables p et p' les rayons vecteurs des différents points de la. courbe,

1253. La perpendiculaire ¥x menée par le foyer à la directrice «^st Vaxe de la parabole.

Le point A, où l'axe rencontre la courbe, est le sommet de la parabolo.

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ClNQUliME PARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COURBES.

Plg.

Le double de la distance constante FO du foyer k la directrice est le paramètre de la parabole ; on le représente par 2p. Le sommet appartenant h la courbe, il divise en deux parties égales la distance du foyer k la directrice; on aOA = AF= 5p.

1259. La corde BB' menée par le foyer, perpen^ diculairement à Taxe, est égale au paramètre 2p. En effet, chacune de ses parties FB, FB' étant égale au demi-paramètre OF=p, on a bien BB' = 2p. 1240. Équation de la parabole en prenant pour axes coordonnés Vaxe Aude la courbe et la parallèle Ay m£née par le sommet kà la directrice OD. Le triangle rectangle MFP donne (704)

P« = MP' + FP' = y« + (x-ipy.

On a aussi

Égalant ces deux valeurs de p', on a, en développant (701, 702

y* + X* + tP* — pa: =x« + «r p* -I- px.

Simplifiant, on tire, pour Téquation de la courbe,

y« = 2px;

d'où (525)

y = =tv2px.

A une même valeur de x correspondant deux valeurs égales et de signes contraires pour y, la courbe est symétrique par rapport k Taxe desx.

Résolvant Téquation par rapport k x, on a

y^ étant nécessairement positif (494), on voit que x est toujours positif, et que par suite la courbe est tout entière située d'un même côté de Taxe des y.

Suivant que x varie de 0 k oo, y varie de 0 k ± oo; par conséquent la courbe est k une branche qui se prolonge indéfiniment du côté des y positifs et des y négatifs.

1241. Les carrés des ordonnées de la parabole sont entre eux comme les abscisses correspondantes (1185, 1233). En effet, Téquation de la parabole (1240) donne pour deux points

y* = 2px et

/'* = 2px',