M'C + CF > M'F
il vient, en remplaçant CF par son égal CQ,
M'C + CQ. ou M'Q > M'F.
Corollaire, Les réciproques des 1" et 2* sont vraies.
1244. Uaxe de la parabole divise la courbe en deux parties égales et symétriques.
C étant un point quelconque de la courbe [fig. 312), menant la perpendiculaire CP à Ox, et prenant PB = PC, le point B, symétrique de C, appartient k la parabole. £n effet, joignant BF, on a CF=BF (584); comme de plus CF=CQ et CQ=BQ', on a BF = BQ'; ce qui ne peut être qu'autant que le point B appartient à la courbe (1243;; donc les deux parties de courbe sont symétriques par rapport à Taxe, et par suite égales entre elles (831). C'est ce qui avait déjà été établi au n** 1240.
l24o. La parabole n'ayant qu'une branche, qui se prolonge krinlini, elle n'a pas de centre, ou plutôt on peut supposer que son centre est situé à l'infini sur son axe ; d'où il résulte que tous les diamètres vont rencontrer l'axe à l'infini, c'est-à-dire lui sont parallèles.
Fig. 313.
xtf A 1
l/lt
1246. Comme pour Fellipse et pour Thyperbole (ii88, 1220), tout
diamètre''BB', qui divise une corde CC en deux parties égales, divise de la même manière' toute* corde, telle *que EET, parallèle à ce.
L'axe, qui est un diamètre, divise en deux parties égales les cordes, telles que EG, qui lus sont perpondioaMires fl244/. 1247. De IVquatïWi' 5^=^21» (ISliat; il résulte que toute demi-corcte EH, perpendiculaire à Taxe est moyenne proportiomielk -entiie» sa dfetaace Aff a« soDuneè, etie par««ièt>»'«/>-«=-20K»=~/a corde menée perpendiculaè'emeni ^ à rasée. pem> le f oif er ^ {i939), Ain»* Ton a
AH:Eirn=Elf:2iy.
De là il résulte que pour avoir le paramètre 2p, il suffit de mener une demi-corde EH perpendiculaire à Taxe, de joindre AE, d*élever El perpendiculaire à AB, et Ton a Hli=22>; Le triangle rectangle AEl donne bien en effet (675)
AH : EH =r EH : Hï. '
1248. Etant donrtèe une parabole, tnener son axe y trouver son foyer et tracer sa directrice, .
Menant deux cordes parallèles CC, EE' (fig. 313), la droite BB' qui Joint leurs milieux est un diamèti^e pamilèle è. Taxe (12%5>. Le miiTéa< H^ de la corde EG perpendiculaire à BB' appartient à Taxe, qu'on obtient en menant par H une parallèle à BB'. On détermine le paramètre 2p=HI par la construction du n** 1247, et portaat sur Taxfii à>dPoite età gaaobe du sommet, le quart du pavasuètre^ oarobtien>tiâ foycfr F^ et le* point .0 qui détermine la directrice OD. 1249.' Tracer, uns par^ole par jmnis. Fi étant i le ifofer,'' Ox Taxe, Fig. 31^. OD>la4bircetriee<*ct'pav0«itO'A^jqutdonBe'AO^AI\i«
le soiiunfii, élevaaé aji.<poin*>iV pris & drotteidu^ sommet A^ une porpendicutaiee -CC àTaifie. etidift> foyer commo centre, aveet lai distance' OB^powif^ rayons déerivaiièuftarc dece«ele, ilcoufœ'CC'enr denx^HMnite C etC qui B^artieaiiéiiAlL.la'papaMejf Eneff«t-, d'afipèstla^coastfoctèéay cb»c«in dflhces poiatsest ^également distant deia'idiMctriae et dU'^ foyer, et appartient «pas* conséqnansfrà la pasw^ bole (1243).
On conçoit que menant une série de perpendiculaires à Ai, on déterminera autant de points qu*on voudra de la parabole, et que raccordant tous ces points on obtiendra une courbe qu'on pourra prendre pour la parabole.
PAftAMNLje.
EUlK^tenidine équi^rr^ e^tECF. uarûl d'oiMkiAafueur ogale au côté EH eii&sé puriuMiexUénité aapgtatiJB et.par.ruitre au foyer F, si Ton faJUi^merà'équane le. loii§^. d'une rè^lc donà.rarète coïncide avec la dineeAnfle OA, ear.teniuit.'le.fiL.ËiâF conslaïament tendu à Faide d'une pointe ou d'un crayon G qi^one/aitmouvoittle long de Taréte EU.de réqutfre,; £6itfi«poinfte oui€e».crayMi décrirai* ia partie supérieure de la* pa»hola/;RetoHrnAntré((Menre^ oar^raeerafdeiiiéme la partie inférieure"
Uiie^poaition-i(iiekonfiw.€ du^crayon^aff^utient bien a la parabole; catiiiyaiiHA£ÛH-€Fx=.EH^MOBA GF. =£»;(! 9143^. ittU.'~i^€MW.ie&<nac«».«n.^i|lii»{|:qommoi^.piaihexem quand il s'agit PI 3fi,,. d'iin (ibalaneier de niiaGbine.à va-
peur, auijuel on doBoa la formo parabolfique^.quivest celie.d'uu.sa* lide d'égale résistance, ayant le sommet  de la parabole, AO son axe et B un de ses points (pourtur* balancier, la distance RO du point B à Taxe est la demi^auteurdtr balancier au -milicn de sa longueur), on a lé paramètre
QB^
AyiaUa paramètre,, on ^léleemine leJeyeret la directrice (1248); puift: ompent tracerila.pajrabol#coaiae aurB* 1249, ou en calculant, à l'aide de l'équation y*=z^px^ les ordoiiiiée& correspondant à des abscisses» coatwo rtteoieBt ; chaisies ; mai8K)nta Ic.pUis souvent recours au tracé gémétriqMt Indiqué^^. 31i>i.%.
Du point B OB abaisse surraxe ona perpendiculaire qu'on prolonge d'uae qiiaiBtilé OB' -égaie à eU&rittéinei;'.on divise BO.et AOen.un même noMbredé.paaiita^gaksyqttBtiift piar^excuifiile; paroles p6ints>de divisiOB'daOAMi mèaa des parallèles àraK&;.puis» joignant le point B' aux points de divisioBil, SU 3 de AOy et ^olongeant .ces. droites jusqu'à leur. reBOMiÉw av6e*lea parallèles respectives 1, 2, 3, lesrpointsdc reacontre appartiennent à la parabole. Opérant pour la partie OB' commet pour. celka^&B, on obtiesitiaoHlessous de l'axe des poÎBia symétriques de ceux détarnisaéS':au^es4U6..0n pourrait aussi avoir ces points sypiétriques . en menant des perpendiculaires à l'axe, eten.les>prokuigeantgu3q^*aux. pasuMjikibè. l'axe méfiées, par les points de division de OB'.. Raccordaoi tous les points obtenus, on obtient une parabole.
CnQUIÈHS rARTU. — QÈOmtniE DBS Gociais.
Fig. 3I«.
Kg' 317.
Dans la pratique, pour les tracés en grande et principalement pour raccorder sur le terrain deax alignements droits par on arc de parabole qui leur soit tangent, on a très-soaTent recours an procédé suivant, qui est simple et donne nne courbe suffisamment exacte.
AT et BT étant les deux alignements à raccorder par une parabole qui leur soit tangente en C et D, on divise CT et DT en un même nombre de parties liâtes; on joint les points de division de même rang, et traçant une courbe qui soit tangente à AC an point C, à BD
au point D, et aux droites H, 22, 33, elle est la parabole demandée. Ce même procédé permet de tracer un arc de parabole rencontrant
normalement deux droites CE, DF en deux points donnés C et D.
1252. Mener une tangente à la parabole par un point M pris sur la courbe (1198, 1229,.
On joint FQ, et la perpendiculaire HT, abaissée du point M sur FQ, est la tangente. Ainsi, un point quelconque M', pris sur HT, est hors de la courbe, c*est-à-dire donne M'û' < HT (1243).
En effet le triangle MFQ étant isocèle, MT est perpendiculaire sur le milieu de FQ, d'où il résulte qu'on a M'Q = 1IT; mais on a M'Q > M'Q' (583), et par suite M'Q' < M'F.
Remarque V. De ce que le triangle MFQ est isocèle, il résulte que la tangente MT divise Vangle FMQ des rayons vecteurs en deux parties égales.
Remarque 2*. L'angle ÛMT = MTF, comme alternes internes; or QMT=rTMF; donc TMF=MTF. Le triangle MTF étant isocèle, il en résulte que pour mener une tangente en un point M, il suffit simplement de prendre, à partir du foyer, FT = FM, et de joindre TM.
Ayant FT = FM = MQ = OP, et AO = AF, il en résulte qu'on a aussi AT = AP.
Remarque 3*. Prenant MB = MQ = MF = FT, la corde CD, qui passe par F et B est parallèle à la tangente MT; de plus, elle est divisée au point B en deux parties égales.
De là résulte le moyen de mener une corde divisée en deux parties égales par un diamètre donné (1246).
Menant par l'extrémité de ce diamètre une parallèle à la corde, elle sera tangente à la courbe; d'où résulte un troisième moyen pour mener une tangente à la parabole,
42tf3. Mener une normale à la parabole, La bissectrice MN de l'angle PMB, formé par un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre,
PARABOLE. i73
est la normale à la courbe au point M. On prouverait comme au n* 1199 que MN est en effet perpendiculaire à la tangente MT.
Ayant FT = OP (1252, Remarque Sl«), on a FP = OT, et comme AF = AO, on a AP = AT = a:, et TP = %x.
Gela établi, le point M appartenant à la parabole, on a (1240)
y* =r 2|xr.
Le triangle rectangle TMN donne aussi (675), en représentant la sousnormale PN par j,
y»= jx TP=JX2rc.
Égalant ces deux valeurs de y*, il vient
%sx = 2pa:, d'où s = p.
Ainsi, pour la parabole, la sous-^normale est constante et égale au demi-paramètre p = OF. Cela fournit un moyen facile de mener la normale, et par suite la tangente en un point quelconque M de la courbe. 12M. Pour mener à la parabole une tangente parallèle à une droite quelconque CD {Jig. 317), on trace FQ perpendiculaire à CD par le foyer F, et la perpendiculaire TM élevée sur le milieu de FQ est la tangente demandée.
Pour avoir le point de contact, il suffit de mener QM parallèle h Taxe. On voit que pour mener la tangente et déterminer son point de contact, il n'est pas nécessaire que la courbe soit tracée ; il suffit d'avoir son axe, son foyer et sa directrice.
Le problème devient impossible quand CD est parallèle k Taxe, puisqu'alors la perpendiculaire FQ ne rencontre pas la directrice. 1266. Mener une tangente à la parabole par un point extérieur M. p. 3jg Du point M comme centre, avec la distance
MF pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupe la directrice aux points D et D'; on mène FD, FD', et les perpendiculaires MT, MT' abaissées du point M sur ces droites sont tangentes à la parabole aux points T et T', qui sont donnés directement en menant par D et D' des parallèles à Taxe. Si Ton voulait mener une tangente au point T, on abaisserait de ce point une perpendiculaire sur le milieu de FD (1252) ; or cette perpendiculaire se confondrait avec celle qui a été menée par le point M; car le triangle MDF étant isocèle, cette perpendiculaire passe aussi par le milieu de FD. On prouverait de même que MT' est tangente au point T'.
1286. Ainsi que pour l'ellipse et l'hyperbole, la géométrie élémentaire ne donne aucun moyen de déterminer exactement la longueur d'un arc de parabole ; pour en mesurer la longueur approchée, on a recours aux moyens indiqués au 1*' paragraphe du n* 1204.
CINQDIÈMK PIBTIE. G^MÉTBIE DES COURBES.
scMomet A et la corde "B^tvpenëiaakim à Taxe, estiesd^ du reetuglftËBO&iqiiiaillB^ AC pour base etpourfaavteiir; AiBsU'oii3»<ca0}r^
rig. au.
surf. ABCD=9aCxBD,
ou
surf. ABC c
;aG x.fiC.
De là on a évidemment
surf. ABE = ^ surf. ACBE = i AC X BC.
Bemarquant que le segment BIKÛ, con|p£l& . entre les deux cordes BD, IR perpencticulaires à l'axe, est la différence des deux segments AILK et ABGD, sa mesofe est la difl^reiHie des nMsefesdOfCeaideuxjieiv niér8vet*l\m a
surf. BIRB t= I XL x IK — ? AC x BI>!= § (AL x IK— AC x BBJ,
Mlgt&ntlè point de contact de la tangente ITT' parallèle ' à ID (129t^ rem. 3), la surface du segment AIQD est les 2/3 de la s«f»ee"du rec* tanglèlDTT; qui a même baselD'Ctmènic hairteur MPtiuele se^ment^ ainsi Ton a
surf. AIQD = |mP»xJD.
Le segment ë basi^parpeadieulaive à Taxe n est :qu'un cas>tpartîeiiiiar . de ce- 'cas général.
iW94 Lc'VotoiBe engendré parla révolntma: d'une parabole autour de'6on'ax«'prmd')e nom de paraiwWrfe*.
iK%.' Méettre de* la 9urfaeercounbe^d'tMe>calûHe de parabolcride engendtée'par la révolution de' farc'Al aiUour, d« Vaxe (fig. 319). g t)n prendllî=2AF et lSî=r3Ai^- on»jointSft'5 puis on prend IU=^R, et Ton mcme UV parallèle à SR^ d'où il résuHe.qu'on a
1S:IR = IU ou IR:IV.
La snrftce * ti© la calottP parabolique estégrieà la surface latéral» d'uncyifndrc droit ayant IRpourdiamètre et ÏV pour hauteur, moims les 8/3 de la surface d'un cercle ayant* AF pour-rayon; ainsi Ton a
.ç=zx IR X IV.
jîAK
Représentant i^ordonnéa^iL par^,ico«ime(onf*a LR:=2Al*^=p (4247)
cl IS = 3AF = 2 p, le triangle rectangle ILR donne
covmta''mi:sasoHWJoamà ou sBonom- comonts;.' 47S
de la proportion ci-dessaa oa conclut
.v^ÎR'^y+p'8(y'+p').
comme de plus on a AF = ^>
reportant ces expressions dans la valeur de^, il vient
exprcssion^'qui permet île tralcmlef 9 connaissant y efc'p, c^c8t^àHiire*san« fante ^a construttion géométrique précédente.
Gommr on a; en* représentant •AH)ar "ar, y*=±%pT'{iH'0)\ on peutdotiraussi exprimer s en fonction de x; cequidonna'
fSM. JLc volume de la calotte parabolique engendrée par le ' demisegment parabolique AIL, dont la base IL' est perpendiculaire à Taxe ( fig. 319), est égal'k celui d'un cylfndre droit ayant ' AL' pour rayoïrct 2AF' pour hauteur; de sorte qu*en le représentant par r, on a (9ÎÏ^
— ^x AL''x2AF.
Faisant AL =r
= xet2AF =
:p(1238), il vient
V £=lCt*X p.
Remplaçant
x'par-^^
(1240), on a aussi
COrRBBS Dr SECOND DBGRÉ OU SECTI0XS^ CO.VIQUBS.
iWM'. La parabole peut être considérée com«m-éfairt'la»4rmi*e verslaquelle tend une ellipse dont le grand axe crott' imiéfiniment, tandis qne'la distance de Tun des foyers au sommet le plus 'voisin reste con** stante.
Oft peut également considérer la parabole comme étant la limite d\inc hyperbole.
En transportant Torigine au sommcf de rellipsf, do Thyperbolo et delà pairiAole, ces trois courbes sont représentées par Téquation générale
476 CINQUIÈME PARTIE. — OéOlféTRIE DES COURBES.
dans laquelle
Selon qu'on a g < 0, ^ > 0 et g =0, Téquation devient :
!• y« = 2 — X 5 «• ellipse ;
2* y* =? 2 — a; + -î X* hyperbole ;
3" y* = 2 — X parabole.
En transportant Torigine au sommet dç gauche de rcllipse, et par suite en changeant x en x — a dans Féquation générale du n** 1174, on obtient en effet Téquation 1*. De même, en transportant Forigine au sommet de droite de Thyperbole, ce qui revient à changer x en i + a, réquation générale du n" 1215 fournit celle 2'.
1262. Les équations de Tellipse, de Thyperbole et de la parabole étant du second degré (1174, 1215, 1240), et toute équation du second degré entre deux variables représentant Tune de ces courbes, c'est pourquoi ces courbes sont dites de second degré.
1263. Tout plan sécant qui ne passe pas par le sommet d'un cône de révolution (835) coupe sa surface latérale suivant une courbe du second degré.
La section est une ellipse si le plan sécant coupe toutes les génératrices, ce qui ne peut avoir lieu que du même côté du sommet, c'est-àdire sur une même nappe du cône. Si le plan est perpendiculaire à l'axe du cône, l'ellipse devient une circonférence (837).
La section est une hyperbole quand le plan sécant est parallèle a deux génératrices; l'une des branches de l'hyperbole est sur une nappe du cône et l'autre branche sur l'autre nappe.
Lorsque le plan sécant est parallèle à une seule génératrice, il ne coupe qu'une nappe, et il détermine une parabole.
Tout plan qui coupe les génératrices d'un cylindre de révolution détermine une ellipse; ce qui devait être, le cylindre pouvant être considéré comme étant un cône dont le sommet est à Finiini. Comme le plan qui pourrait déterminer la parabole ou l'hyperbole est parallèle à une ou a deux génératrices, et par suite à l'axe, il ne peut couper la surface latérale du cylindre que suivant des génératrices (836), et non suivant pes courbes.
Une ellipse ou une parabole quelconque peut toujours s'appliquer sur la surface latérale d'un cône de révolution donné. Il en est de même pour l'hyperbole quand l'angle des asymptotes, celui qui contient la courbe, est moindre que l'angle formé par les génératrices opposées du cône.
La propriété des courbes du second degré d'être déterminées par
8PI1IALB D'ARCHIMÈDE.
des plans sécants du cône leur a fait donner le nom de sections co» niques.
SPIRALE D^ARCHIMÊDE.
Pig. MO.
/ ^SIK
SfZêAssjUix œ
Vh
1264. La spirale d^Archimède est une courbe plane ouverte que
décrit (un point qui se meut autour d'un autre 0 qui est fixe, en s'en éloignant de quantités proportionnelles aux angles qu'il décrit autour de ce dernier.
Ainsi la spirale se définit par son équation en coordonnées polaires (1142); équation qui est, en désignant par a et p ces coordonnées,
p = as + 6.
p distance variable du point générateur au pôle 0 ;
a angle variable que fait le rayon vecteur avec Taxe Ox ;
a coefficient constant exprimant Taugmentation de p par chaque augmentation d'une unité, d'un degré par exemple, de a;
b quantité constante qui exprime la valeur de p quand a=0; ainsi b est la distance au pôle 0, du point de l'axe Ox, duquel part le point générateur. Dans la figure, le point générateur partant du pôle, on a 6 =r 0, et l'équation de la courbe est
p=: aOL,
Il est à remarquer que de même que le point générateur s'éloigne du pôle 0 de quantités égales pour des angles égaux quand il tourne dans un sens, il s'en approche de quantités égales pour les mêmes angles quand il revient dans l'autre sens.
1265. Chacun des arcs de courbe décrits pendant une révolution complète du point générateur autour du pôle prend le nom de spire,
1266. La distance de deux spires consécutives quelconques, mesurée suivant le rayon vecteur p, est une quantité constante qu'on peut appeler le pas. C'est la quantité dont le point générateur s'éloigne ou s'approche du pôle pour chaque spire. Ainsi pour «=360*, a correspondant à 1*, si l'on représente le pas par p, on a
p=ax360, ou « = 3^-
1267. Tracer une spirale d'Archimède (fig. 320). Ox étant Taxe, 0 le pôle, supposant 6=0, c'est-à-dire que le point générateur part de 0, on porte le pas donné p de 0 en A; on divise OA en un certain nombre de pariiee égales, 8 par exemple; du point 0 comme centre, avec le
GIMQVIÈME PAE»£« — • •GifcOKÉniK» DBS COURBES.
pa»OA.>.poiir rayon, on< décrit aine cirooaMrence,- qa.'os' dnise eooun même nombre 8 de parties égales. Menant alors les rayons par easipaÎBts de division^ et prenant sur le rayon 4 , la partie 04 du pas ; sur le rayon 2, la partie 02 ; sur le rayon<3,.ia4p«rtie €â,4)t Ainsi de suite, tous les points déterminés sur les rayons appartiennent à la spirale. En effet, Tun quel- . '«CLO^fUô il .doi aes, ^oiftts/dookae. bien
^OB : t)A =î: BOA 1 360*, d'où OB = ^ x BOA, ou p = ^ x « = a«. (1 264)
Fig. m.
Pouvant divdsev ÛA^etia oirfOBférence de rayon OA en autant de par- A^ieségdes que Itovaut»: oik^eut donc déterminer autant de points qu^on )le 4é8ÎMiid6ila>8ptvale,.etf>rftcoondant ces points on obtient une courbe .quioo r|i«ut)pi!BRér« pounla^^HÉele.
'BMtr iiacer.une secondb spire v on portera le pas sur le prolongement de OA ; on le divisera de la même manière que OA, et prenant sur les rayons 01, 02, etc., prolongés suffisamment, des distances égales aux distances du pôle 0 aux points de division 4, 2, 3, etc. de ce même pas, on obtiendra des points de la seconde spire, qu'on tracera alarsxomme la première.
Si la courbe partait d'un point de Ox autre, que le point 0, on trace* rait la première spire et les suivantes en opérant comme pour, la seconde spire dans le cas précédent.
1268. Mener une tangente à la spirale ^r. un point. }i. fris svar. la
courbe.
Le tracé suivant est fondé sur ce principe général : Quelle que soit la . courbe engendrée par t/w point animé de deux mouvements, la tangente en un point de cette courbe est toujours la diagonale du parallélogramme formé sur les directions dies deux mouvements au point considéré^ aeec des côtés égaux aux deux espaces parcourus ou qui pourraient être parcourus dans le même temps en vertu de la génération.
Pour la spirale d'Archimède , le mouvement du point générateur se compose, à une position quelconque M, de deux mouvements : Fun roctilignc, qui a lieu suivant le rayon vecteur OM, et l'autre circulaire, qui a lieu suivant la circonférence du rayon OM, c'est-à-dire suivant la perpendiculaire MC au rayon OM. Portant alors sur MO, à partir du point M, une longueur MD égale au pas p de la spir/ïle, et sur la perpendiculaire MC une longueur 'MC-égale à la circonférence 2jtxt>M qui aOM pour rayon; termnuiAfle parallélogramme MÎ)TC, qui dans ce i*ns est iin rectangle, (^t a p et
"OTfRftlR D'AltCBMÉML. 479
2)cxOM pour côtés, la diagonale MT de ce parallélogramme est la tangente au pofntfM.
Prenant sur MC une longueur MC égale h l'arc MB décrit avec OM pour r«yon, cn'temrifnHit le -papAHétognrnnne^TflClmgte MOT'CVtt dia-
'^cmèiO'MT'-e$t aussi lB*taBgeme^i«^»^à*Jdtre^ue MT' se. confond avor
"HTrd'dù'TéstfltelapFêportien
iaMtMC':qrilû^tfC, nou <i01i4<BraJW=p:2irxOM.
* I1t09. Pour mener une rhortnale àJcusfiralû au poiniM [fig, 321 ), on .icace*laiapgeateJtfT, ctia^perpendiculaircANmcnéc au< point M à cettr tangente est la normale dcuiianéée.
:i270. JjOL Jvrjace d'un $e§ment de spiiale OBB'O , compris entre le
rayon vecteur OB ei l'arc.BWO qu'il. sous-tend (Jig, 320), a pour mesure
..le. tiers du^ produit de. la superficie du .cercle qui a le rayon .vecteur
OB=p pour rayon, par le rapport de ce rayon au pjis OA=p. Ainsi,
. X élaat la .surface, on a (728)
.,= ^xx.ô5'.xg|.=.|nrp»xe^^'. (a)
De là il résulte que Vespace spiral OACBWO, Tenfermé dans la^premîère spire, est le tiers de la surfiice du cercle- qui a le pas OA=rp peur rayon. Faisant p=p dans la valeur précédente de^y, il vient bien
iéa surface iderdmm-prennères'sjnreresi les 8/3. du cercle iqui a le ipas ' pvpour rayon.iEn effet, si Ton lait p =?âpdan& F^xpressioo générale(a), on a
Retranchant la surface de la premère spire de la surface des deux prttiitèrestspiivs, oo a po«r la^suFfaee de la-aeconde «pire
Enfin pour obtenir la/ surface spirale S comprise enlre deux rayons vecteurs OB = p et OB' = p'^ il suffit de prendre la différence des surfaces des segments qui se terminent à ces rayons vecteurs, ce qui donne
480 CINQDIÈHE PARTIE. — GÉOMAtRIE DES COURBES.
DÉVELOPPANTE. DÉVELOPPÉE. RATON DE GOCRBURE.
La développante d'une courbe quelconque est la courbe CG'C'G'^... engendrée par un point G qui reste fixe sur une tangente CA, dont le point de contact G change continuellement, mais de manière que la distance du point fixe au point de contact soit constamment égale à Tespace parcouru par le point de contact sur la courbe: ainsi B'G', B''G'^.. étant des positions de la tangente, on a B'G' = B'G, B"C" = B"G...
1272. La courbe GB'B'^.., sur laquelle roule la tangente, est la développée de GG'C"...
1273. Le point G, où la développée rencontre sa développante, est ïorigine,
1274. Construire par points la développante de la circonférence ifig. 322). G étant Torigine, si en différents points B', B'^.. on mène des tangentes au cercle, et que sur ces tangentes on prenne respectivement B'G' = arc B'G, B"G" = arc B"C..., les différents point G, G', G"... qu*on obtiendra appartiendront k la développante. On conçoit alors qu*on pourra ainsi obtenir autant de points aussi rapprochés que Ton voudra, et qu'en raccordant tous ces points, la courbe obtenue sera à très-peu près la développante.
i27)S. Tiracé de la dévelojtpante à Paide du rayon de courbure. Lorsque les points G, B', B"... sont très-rapprochés {Jig. 322), on peut considérer les petits arcs GB', B'B"... comme des droites, et l'on aB'G'=B'C. D'où il résulte que GG' peut être considéré comme étant un arc de cercle ayant B' pour centre et B'G pour rayon; on peut, par la même raison, supposer que B"G" = B"G' = B"B' + B'G, et par suite que G'G" est un arc de cercle ayant B" pour centre et B"G' = B"G pour rayon, et .ainsi de suite. De sorte qu'on peut considérer la développante comme formée d'une série d'arcs de cercle dont les centres et les rayons sont déterminés, et qu'il est par conséquent facile de tracer.
On conçoit que ce tracé ne peut être parfaitement rigoureux qu'autant que le rayon, appelé rayon de courbure (c'est le rayon de la circonférence qui a deux éléments consécutifs infiniment petits communs avec la courbe au point que l'on considère), varie en chaque point de la courbe. Dans la pratique, quoiqu'il soit impossible, avec les instruments ordinaires h dessiner, de faire varier d'une manière continue le rayon de courbure, on a cependant fréquemment recours à ce mode de tracé.
On rapproche de l'exactitude le tracé d'une courbe h l'aide du rayon de courbure, en prenant la première distance GB' moitié des suivantes B'B", B"B*..., et en prolongeant l'arc décrit de B' comme centre avec Bfe pour rayon jusqu'au milieu de G'G" en un point c'; l'arc décrit de B^ comme centre s'étendrait alors de c' jusqu'en c/^ situé au milieu
CYCLOÎDE. 481
de G'^G", et ainsi de suite. De cette manière^ la portion décrite avec le même rayon de courbure s'étend également de chaque côté de la position qui correspond à la valeur de ce rayon.
Prenant B'B" = B"B"'= ..., les rayons de courbure font des angles égaux lorsque la développée est une circonférence; c'est cette égalité d'angles qu'il convient ordinairement de réaliser, sauf à n'avoir pas B'B" = B'^B'" = ... quand la développée n'est pas une circonférence.
1276. Tracer une développante â^un mouvement continu. Supposant un fil enroulé sur la courbe CB"' (fig, 322), et une pointe ou un crayon fixé a l'extrémité C de ce fil, si l'on déroule ce fil en le tenant toujours tendu à l'aide de la pointe ou crayon C, cette pointe ou ce crayon décrira la développante de la courbe qui passe par l'axe du fil, qui est à peu près la courbe développée quand le fil est très-mince.
1277. Mener une normale^ puis une tangente^ à la développante. Menant par le point quelconque N une tangente à la développée, elle est normale a la développante. Menant alors par le point M, où la normale rencontre la développante, une perpendiculaire MT à cette normale, elle est tangente à la développante.
Il est à remarquer que toute tangente à la développée est normale à la développante, et réciproquement. De plus, la tangente MT à la développante et la normale NO à la développée, menées aux extrémités de chaque rayon de courbure, sont parallèles.
1278. Étant donnée une courbe CM (fig, 322), tracer sa développée. On prend une série de points C, C, C"... sur CM, et les normales à CM menées par ces points étant tangentes à la développée (1277), inscrivant une courbe au polygone CB'B''..., dont les sommets sont les points de rencontre des normales consécutives, cette courbe pourra être prise pour la développée de CM.
CYCLOIDE.
1279. Si au lieu que ce soit la droite qui en quelque sorte roule autour du cercle comme
^*8- "^- dans la génération de
la développante de la circonférence ( 1274 ) , c'est le cercle qui roule sur la droite AA', chaque point de la circonférence de ce cercle décrit, entre deux de ses contacts consécutifs avec la droite, une courbe appelée cyclotde, La fig. 323 représente la cycloïde ABA' décrite par le point A pour un tour du cercle sur AA'.
1280. La droite AA', comprise entre deux contacts consécutifs A, A' d'un même point A, est la base de la cycloïde ABA' décrite par le point A.
Cette base est (^galc h la circonférence du cercle générateur; de sorte que d étant le diamètre de cette circonférence, on a AA' = T.d.
La perpendiculaire B4, sur le milieu de la base, est Vaxe de la cycloïde; elle est égale au diamètre d; par conséquent on a (726, 727)
AA' vd OJI-* 22 .
^ = ^=7; = 3,14t6 = y environ ;
d'où AA' = 3,1416 xd= y d, et <*= 3 ^Vè = é ^''
1281 . Décrire par poinis la cyclcnde engendrée par le point \dela circonférence dun cercle de diamètre d (Jlg. 323).
On trace une droite AA' égale à la base 3,1416 x d de la cyeloîde; on décrit le cercle 0, de diamètre d, tangent à AA' au point A; on divise la base AA' et la circonférence génératrice en un même nombre de parties égales, buit par exemple, qu'on numérote comme l'indique la figure. Par les points de division de la circonférence 0 on trace des parallèles k la base AA', et par les points de division 1, 2, 3... de AA', menant des parallèles aux droites Al', A2'..., qui joignent le point A aux différents points de division de la circonférence 0, ces parallèles rencontrent respectivement les parallèles à la base AA' en des points 1", 2"... qui appartiennent à la cyeloîde. En effet, considérant Tun quelconque 1" de ces points, lorsque le point de contact sera en 1, le diamètre 13' sera vertical, et le point générateur A occupera, par rapport à ce diamètre, la même position que le point 1' par rapport à A4 dans la figure; or comme cette position est bien V\ ce point appartient donc à la cycloide. On démontrerait de même que les points 2'^ 3''... appartiennent à la cyeloîde. Comme l'on peut diviser AA' en un nombre quelconque de parties égales, on peut donc déterminer autant de points qu'on le désire de la cyeloîde, et si l'on raccorde tous ces points, la courbe qu'on obtiendra pourra être considérée comme étant sensiblement la cyeloîde.
Si, au lieu de donner le diamètre d du cercle générateur, on donnait la base AA' de la cyeloîde, on déterminerait
et Ton opérerait comme dans lo cas précédent.
1282. TYacé de la cyeloîde par wi mouvement continu. On conçoit que le cercle 0 étant un plateau circulaire, dans la circonférence duquel est fixé une pointe ou un crayon A (Jig. 323), si l'on fait tourner sans glisser ce plateau le long d'une règle dont l'arête coïncide avec AA', la pointe on le crayon A décrira la cyeloîde ABA' d'un mouvement continu.
1283. Mener tme normale^ puis une tangente à la cycloide. Lorsque le point générateur A de la cyeloîde occupe une position quelconque 3" [fig. 323), le point de contact étant 3, on peut considérer l'élément 3" de la courbe comme se confondant avec un élément d'arc de cercle dont
ÉPICYCLOÏDE. 483
le pointa est le centre et S3'' le rayon; par conséquent 33'', qui est normal à Tare de cercle, est aussi normal à la courbe. La perpendiculaire 3''T menée à 33" est tangente à la cycloïde. De ce qui vient d'être dit« il résulte que pour mener une normale et par suite une tangente en un point M d'une ^«- ^**- cycloïde ou d'un arc de cycloïde, il suffit de
déterminer le point de contact du cerde générateur et de la base correspondant au point M. Or menant une parallèle EE' à la base AA' de la cycloïde, à une distance de cette base égale à la moitié du diamètre d du cercle générateur, elle contiendra toutes les positions qu'occupe le centre de ce cercle dans son mouvement. Lorsque le point générateur A est en M, le centre dn cercle se trouve à une distance de M
\ égale à -d; par conséquent, décrivant du point M comme centre, avec
2 d pour rayon, un arc de cercle, il coupe la parallèle EE' en un pointO
ftti ^si le centre cherché, et abaissant la perpendiculaire OP, le point P est celui de contact. Alors, qu'on décrive ou non le cercle générateur, la droite HP est la normale à la cycloïde au point M, et la perpendiculaire MT est la tangente.
1264. En menant les normales aux différents points de la cycloïde, on décrirait la développée de cette courbe (1278).
Le rayon de courbvare en un point quelconque ^ de la cycloïde {fig. 324) eii double de la portion MP de la normalcy comprise entre la courbe et sa base; d'où il résulte qu'on peut tracer la développée par points.
La développée de la demi-^doïde AB (Jig. 323) est une demi-cyclcïde égale a AB; d'où il résulte que la d^ni-cycloïde AB est aussi égale à sa développante (1271, 1272).
18BS. La longueur de la cycloïde est égale k quatre fois son axe ou diamètre d du cercle générateur (1280). Ainsi l étant cette longueur,
en a
l = kd.
1286. La surface S comprise entre la cycloïde et sa base est le triple du cercle générateur. Ainsi d étant le diamètre de ce cercle, on a (728)
ÉPÏCYCLOÏDi;.
1267. Si le cercle générateur 0, au lieu de tourner sur une droite, comme au n" 1279, tourne sur un cercle C [fig. 325), l'un qu<»lconque A de ses points décrit, entre ses deux contacts consécutifs A, A', une eourbe ABA' appelée épicycMde»
Lorsque le cercle 0 tourne à Tintérieur du cercle C, chacun de ses points décrit encore une épicycIoTde; mais qui est interne, et à laquelle il est facile d'appliquer tout ce qui suit sur Tépicycloïde externe.
1288. L'arc AA', du cercle C, compris entre les deux contacts A et A', est la base de l'épicycloïde {Jlg, 325). Cette base est égale à la circonférence r.d du cercle générateur 0.
La droite CB, n^enée par le centre C et le milieu de la base, est Vaxe de répicycloïde, et Ton a B4 = d. Ainsi, comme pour la cycloïde (1280), on a
Tu = -5- = '^ = -J>1416= y environ;
d'Où AA' = 3,1416xd=^d, et ^=3^=^AA'.
Le point B, où Taxe rencontre la courbe, est le sommet.
1289. Tracer une épicycloïd^ par points. Ce tracé est analogue k celui de la cycloïde (1284). Ainsi, prenant la base AA' = 3,1416 xd, et décrivant le cercle 0, de diamètre d, tangent en A au cercle C, on divise la base AA' et la circonférence 0 en un même nombre de parties égales, 8 par exemple, numérotées comme l'indique la Jig. 325. Du point C comme centre, avec les distances de C aux points de division de la circonférence 0 pour rayons, on décrit des arcs de cercle concentriques a AA', et des points de division 1,2, 3... de AA', comme centres, avec des rayons respectivement égaux aux distances du point A aux points de division
1', 2', 3'... de la circonférence 0, décrivant des arcs de cercle, ils coupent
les arcs concentriques à AA' en des points appartenant à l'épicycloïde.
Des considérations analogues k celles du n*" 1281 feraient voir qu'en
eflTet un point quelconque 3" appartient à l'épicycloïde, et que l'on peut
déterminer autant de points que l'on veut de cette courbe, et par suite la
tracer.
Remarque. Si, au lieu de donner le diamètre d, on donnait la base AA',
