I.=:MX £-1 w y
/ mu' / t)' M""v*
Résultats qui s'énoncent comme ceux du numéro précédent, en remplaçant les accélérations par les vitesses. Cette dernière proportion et celle {Jf) montrent que, selon que la
IMPULSION »*I»B rOKCE. ftOAfTITÉ M HOCYKIIENT. 5H
masse du mobile est plus grande, la vitesse que lui communique une méYne force constante dans un temps donné est plus petite ; ce qui fait voir que la signification du mot masse en mécanique est la même que celle qu'on lui attribue dans le langage vulgaire; on dit en effet que la masse d'un corps est plus ou moins grande, que ce corps est plus ou moins massif, selon que pour le soulever ou le faire mouvoir on est obligé de produire un effort plus pu moins grand; mais ce qu'il y avait de vague dans cette définition ^ disparu, et la masse est une quantité qui peut être soumise au calcul, c'est-à-dire évaluée en nombre (1459). 1464. Dans un même lieu du globe ou dans tous les lieux où la valeur de g est la même, les poids étant proportionnels aux masses (1460), on peut remplacer le rapport des masses par celui des poids dans les proportions (6), (6') et [If) du n* 1462, qui détiennent respectivement
F^PJ ££ 2-1
Résultats qui s'énoncent comme ceux du n*" iA62 en remplaiçant les masses par les poids.
On peut encore dans ces dernières proportions, quand les mobiles partent du repos, remplacer le rapport des accélérations par celui des vitesses (1463); ce qui donne
]F PV £ V /""îw' P~tJ-
1465. La valeur de g ne variant pas sensiblement d'un lieu k un autre, il en résulte qu'en général les fcrmules précédentes peuvent être appliquées sans tenir compte de cette variation (1458).
IMPULSION d'une FOaCE. QUANTITÉ AE MOUVEMENT.
1466. Vimpulsion â'une force est le produit de son intensité par la durée de son action. Ainsi une force de 12* agissant sur un mobile pendant 8" produit une impulsion représentée par 12 x 8 = 96.
i467. Le produit mv de la masse m d'un mobile par la vitesse n qu'il possède prend le nom de quantité de mouvement. Le poids d'un corps
étant de 50', d'où il résulte que sa masse est (1469) - x P = 0,102 x
50 = 5,10, et la vitesse qu'il possède étant de 30", sa quantité de mouvement est représentée par
?7ir = 5,10X30 = 153.
1468. Égalité entre Vimpulsion d'une force et la quantité de mouvement du point matériel sollicité (1448). Lorsque le mouvement est uniformément accéléré, on a (1436), eu remarquant que l'acc^ération
592 SErriÈME PARTIE. — MÉCAlflQCE.
m d'où Ton tire
¥t=iTno — mv^. [a)
Yt est rimpulsion; elle a le signe de F.
TK^o et mv sont respectivement les quantités de n\ouvement que possède le mobile au commencement et à la fin du temps; elles prennent les signes de Vq et v.
L'équation (a) fait voir que rimpulsion est toujours égale à la différence des quantités de mouvement y et qu'elle a le même signe que cette différence. Ce que Ton peut énoncer en disant que Vimpulsion est ioun jours égale au gain ou à la perte de quantité de mouvement.
Considérant toujours la vitesse initiale v^ comme positive, C y aura gain lorsque la force F sera positive, c'est-à-dire lorsqu'elle agira dans le sens de Vq, et perte lorsqu'elle sera négative.
Trois quelconques des quatre quantités F, t, m et (tj—t?©) étant connues, réquation (a), mise sous la forme
donne la quatrième, et Ton voit qu'une perte de vitesse ou de quantité de mouvement est produite par une force égale et contraire h celle qui produit un gain égal dans le même temps.
Selon qu'on a ro = 0 ou r = 0, c'est-à-dire selon que le mobile part du repos ou doit se réduire au repos, la formule (a) devient
Ft=mv ou F^ = — mv^. (b)
Ce qui fait voir encore plus simplement que Vimpulsion Sune force est égale à la quantité de mouvement que cette force communique ou fait perdre au mobile qu'elle sollicite pendant la durée de son impulsion.
i" application. Trouver la force F capable de réduire au repos en^se* condes un mobile tout à fait libre dont le poids est de 50 kilogrammes et la vitesse de 15 mètres par seconde.
Ce problème rentre dans le cas de la seconde formule (6), qui devient, en remplaçant les lettres par leurs valeurs,
F X 5= -^0,102x50x15, d'où ^^^^02x50x15 ^^^,^^^
Si le mobile partait du repos, la force qui lui communiquerait en 5 secondes la vitesse de 15 mètres par seconde serait donnée par la première formule (6), et Ton aurait
2* application. Trouver le temps que mettra une force de 15',30 pour réduire au repos un mobile du poids de 50 kilogrammes animé d'une vitesse de 15 mètres par seconde.
TRAVAIL D*OIIE FORCE. &93
La force étant nécessairement négative, la seconde formule (6) devient
- ^^ ^ .V -/v« ^n *M j» * ^ 0,102x50x15 ^,, — 15,30 X< = — 0,102x50x15, d'où t = ^ j—j = 5".
Si le mobile partait du repos, le temps que mettrait une force de 15^,30 pour lui communiquer une vitesse de 15 mètres par seconde serait donnée par la première formule (6), et Ton aurait
15,30 X t = 0,102 X 50 X 15, d'où encorç t = 5''.
1469. Si la force F, au lieu de rester constante, prenait successivement les valeurs F^ pendant le premier instant 6^, F, pendant Tinstant suivant O,.... Fn pendant Tinstant On; pour les instants successifs oh aurait (1468)
F164 = 7wi?| — inv^j F,0,=mt?, — wr„
Fn6n=WÎ?— Wt?n^,
et pour le temps total on aurait, en ajoutant membre à membre toutes ces égalités et en supprimant les quantités qui se détruisent,
FA + FA + - + FnOn = m© — mi7o. (a') .
Selon qu'on a Vq = 0 ou t? = 0, cette équation devient
FA + FA+- + Wh=»»« ou FA + FA+- + FnO„=— mv (b')
Les équations (a') et {b') sont analogues k celles (a) et (b) du numéro précédent, qu'elles ne font que généraliser.
TRAVAIL d'une FORCE.
1470. Le travail produit par utw force constante en grandeur et en direction $e représente par le produit de V intensité de la force par la projection^ sur la direction de laforce^ de V espace parcouru par le point ^application,
V Quand la projection de l'espace parcouru est dirigée dans le sens de la force, à partir du point d'application, elle a le même signe que la force, et le travail est positifs c'est-à-dire inoteur,
2* Si la projection de l'espace parcouru est nulle, ce qui a lieu quand le point extrême de l'espace parcouru se projette au point de départ, le travail est nul.
3' Lorsque la projection de l'espace parcouru n'est pas dirigée dans le même sens que la force, elle n'a pas le même signe que cette force, et le travail est négatif y c'est-knlire résistant,
lA^ \
1471 . La force restant constante en grandeur et en direction^ Vespace parcouru peut être droit, polygonal ou courbe,
!• La droite MM' étant Fespace parcouru E, MF *^' la force F en intensité et en direction, MN la pro-
jection de E sur F, et a Fangle de E avec F, représentant le travail produit par T, on a d*une manière générale, quelle que soit la valeur de a (li06),
T= MF X ± MN = F X Ecosa. (a)
i' Pour a = 0** on a cosa=: 1, et V, qui est moteur, est égal à FxE, produit de la force par l'espace parcouru ;
Sr Pour a > 0* et < 90% cosa est positif, et Ife travail aP= F x Ecosa est moteur; 3' Pour a= 90% cosa = 0, et ar= F X E cosa = 0;
Fig. 43^ i" Pour a > 90* et < 180* {Jlg, 431), cosa est
«. négatif, et V=¥ xE cos a est résistant;
[\^;5 ^" ^^^^ a = 180% cosa = — 1, et le travail
^ "\ / ^ ar = — F X E est résistant et égal au produit
de la force par Tespace parcouru ;
6* Pour a > 180* et < 270% cosa est négatif, et ar= F X E cosa est résistant; T Pour a = 270% cosa = 0 et 5r=0;
8« Pour a > 270' et < 360', cosa est positif, et STest moteur. Intervertissant Tordre des facteurs dans la formule (a), on a
ar=ExFcosa.
Ce qui montre que le travail est aussi représenté par le produit de l'espace parcouru E par la projection F cos a de la force sur la direction de E. Ainsi Ton a encore ST— MM' x ± MS.
Cela peut encore se démontrer géométriquement h Taide des Jig. 430 et 431, dans lesquelles, menant FS perpendiculaire à MM', MS est la projection de la force sur la direction de l'espace parcouru, et les deux triangles rectangles semblables MFS et MM'N donnent la proportion
