R : P = AD : OD

comme ce dernier rapport est égal à celui des hauteurs des triangles ABC, OBG, ou à celui de ces triangles, puisque ces triangles ont même base BG, on a donc

r:p=abg:obg.

Opérant de même en partant des points B et C, on obtiendrait

R:û = ABG:OAG, R:S=ABG: OAB.

Ces trois dernières proportions se résument dans la suite de rapports égaux

JL - »-L. - -û ~ -Ë- ABC "■ OBG ~ OAG "" OAB '

qu'il est facile d'énoncer verbalement d'après la figure, et qui est indépendante de l'ordre suivi dans la décomposition.

Si le point 0 était hors du triangle ABC, la décomposition, que l'on effectuerait comme dans le cas précédent, n'aurait encore rien d'indéterminé; mais les triangles proportionnels aux composantes ne seraient plus intérieurs au triangle ABC, la somme de leur surface ne serait plus égale à celle de ce triangle, et l'on n'aurait plus R=P + Q+S.

il>21. Couple. Lorsque les deux forces P et Q sont égales, parallèles, de sens contraires, et non placées dans la même direction [Jig. 457) , elles constituent un couple.

Appelant R la résultante de deux telles forces, on a (1519)

R=Û— P=0, et AG = AB

= abS

= AB^ = AB§ = co.

Ce qui fait voir qu'à mesure que P diffère moins de Q, la résultante diminue, et son point d'application s'éloigne; et que quand P.= Q, la valeur de la résultante est nulle, et le point d'application est à l'infini.

cas SSPTIÈIIE MRTfS. -^ MAOUIKIOE.

Aiimi, qudUe que soit la grandeur d'une foroe et 90» point #ap|i(îeatioB, elle ne peut ^tra la Fésulianle d*uii eouple.

i^ft. f/ resfte à J6 demander si le* deta forces V et Q, n* ayant pas de risuUante,. desi^^àt^ânte rmpowiami être tenues en équilibre par une force tmàqua (tôl5}, elles ne sejw^pas équîMhre entre elles. Si ces deux forcer étaient en équilibre, on ne changerait rien k cet Fi 459 ^* ®° pendant ftxe un point 0 de AB, autour

duquel cette droite peut tourner librement; mais alors la force P tend à faire tourner la droite AB autour de 0, dans le sens de la flèche, et conme la force Q tend à produire le manvemenl dan» le même sens , il est évident que les deua fcMrces P et Q ne se font pas équilibre. Aiwi un couple n'est pas non plas en équilibre par lui-même.

1825. Quoique la résultante de deux forces parallèles soil située dans le plan de ces deux forces, dans le cas où nous avons reconnu que cette rétuitanie existe (iSiS^ i^5i9), on: peui se demunder si, dam le cas d» eom»ie, ia résniiante pourrait être siùméfi kar^de ce plan.

Si cela était, en appliquant cette résnltanie en sens contraire de sa direction, de C en r\ il y aurait équilibre entre les trois forces P, Q, r' (1515).

Menons une droite £F rencontrant les directioas BQ et Cr', sans être dans un même plan avec AP. On ne changera pas l'équilibre des, forces P, Q, r* en rendant fîxe la droite BF, de sorte que le système ne puisse plus que tourner autour de cette ligne comme axe. Cela établi, la force Q rencontrant Taxe au point E, on pent la supposer appliquée en ce point, et elle sera détruite par la fixité de cet axe; il en est de même de la force /; mais la force P n'étant pas située dans un même plan avec Taxe EF, elle ne rencontre pas cet axe et ne lui est pas non pl\is parallèle. On peut alors la décomposer en trois forces, l'une perpendiculaire à EF, Tautre parallèle k cette droite, et la troisième perpendiculaire aux deux premières. La première de ces composantes est détruife par Taxe qu'elle rencontre; la deuxième est également détruite par cet axe, puisque, lui étant parallèle, elle ne peut que faire glisser le système suivant la longueur de cet axe, mouvement qui est impossible; mais il reste la troisième composante, laquelle, sans rencontrer Taxe, agit dans un plan qui lui est normal , et fait évidemment tourner le système autour de cet axe; il est donc absurde de supposer que la force r' fait équilibre aux deux forces P et Q, c'est-à-dire que ces deux forces ont une résultante.

Remarque. On prouverait de la même manière que deux forces quelconques nxm sitkées dams le même plan n'ont pas de résuliomée r d^oit il résulte que trois forces non situées dans lemêmeplanne peteoenùsefonre équilibre (i5tô).

cou POSITION KT ftiCÛMPOSITlON MSS POKfil» PARALLÈLES. 6id

IttM. Résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles. Que les forces soient ou non situées dans un même plao, pour en déterminer la résultante, on prend la résultante des deux première» forces (1516, 1519); puis la résultante de cetter première résultante et da la. troisième force, ce qui donne la résultante des *trois pramièraa forces, et, continuant ainsi de suite, quand on a employé toutes Isa forces^ la dernière résultante obtenue est celle de toutes les forces» Il peut arriver qu'au lieu d'avoir une force unique pour dernière ré*sttltante,.on ait un couple; alors les forces données n'ont pas de résultante.

Remarque, Comme pour deux for^^es (4416), le point d'application dft la résultante d*un nombre quelconque de forces parallèles ne cbaag» pas quand toutes ces force» varient dans un même rapport; mais.]», résultante varie dans le même rapport.

I^fiâ. En suivant la même marche que dans le cas précédent, Isa B*** 1488, 1492, 1516 et 1519 donnent les moyen»: de déterminer la résudrtante d'un nombre quelconqite de forces situées dans un même plan, eé ayant des directions et des points ^application quelconques.

Par les mêmes moyens, on peut encore déterminer, dans les cas possîblbs (1522, 1523), la résultante de forces dont les directions sont parallèles ou non et situés ou non dans un même plan, et dont les points d'application sont quelconques.

t526. La projection de la résultante de deux fbrces concourantes ou de deux forces parallèles, sur un axe quelconque, étant égale à la somme algébrique des projections des composantes sur le même axe, on étend fkcilemait cette propriété à un nombre indéterminé de forces quelconques (1502).

i W7. Aidant de forées que Von veui^ ¥\ f'\ F^..^ peuvent se réduire

d^une infinité de manières à deux force» '^' équisfalenies dont Vwae au moins paeee

parvn point donné 0.

Par chacune des deux forces quelooniques F^ F'^ et le point 0 faisons passer J^f ^y^ — \Vm'\^ * ^^ plan; ces deux plans se coupent suif i^i^Lj^ V^ \ vant la ligne droite OU. Cela fait, dé-

composons la force F', appliquée en M^, en deux autres P et Q, que Ton peut transporter Tune en 0 et Faatre en un point quelconque A de l'intersection 0&; la figure explique convenablement cette décomposition (1488).

La force F'^ iq)pliquée en M', peut être appliquée au point m de' l'intersection OK; puis être décomposée en deux forces, l'une P' apjdiquée en G, et l'autre Q' appliquée en A (1519). P et F, appliquées* en 0, ont pour résultante unique S'; les forces Q et Q' ont pour résuâtante uni<{ue T'; ainsiv dans le système proposé, on peut remplacer les deux forces F' et F" par deux équivalentes S' et T'. •

Le nouveau système contient autant de forces que le premier; mais

comme il y en a une qui passe par le point 0, le nombre de celles qui n'y passent pas est diminué de un. Combinant T' avec la troisième force F^, on les remplacera par deux autres, dont Tune, passant par 0, se combinera avec S' et donnera une force unique S'' qui passera par 0; de sorte que le nombre des forces ne passant pas par 0 sera encore diminué de un. En continuant ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait em* ployé toutes les forces, on voit qu'on aura remplacé toutes les forces données par deux forces uniques, dont l'une S passera par le point 0, et dont l'autre T sera ou ne sera pas située dans un même plan avec S. Si ces deux forces sont situées dans un même plan, à moins qu'elles ne constituent un couple, on pourra trouver leur résultante, qui sera la résultante des forces données. Si elles ne sont pas situées dans le même plan, elles n'ont pas de résultante unique, et U en est de même des forces données (i523). Si l'une des forces S ou T était nulle, l'autre serait la résultante unique des forces données, et si elles étaient nulles l'une et l'autre ou encore égales et directement opposées, c'est que les forces données se feraient équilibre.

i828. La projection de la résultante de deux forces quelconques sur un axe étant égale à la somme des projections des composantes sur le même axe (1526), il en résulte que la somme des projections des deux forces résultantes S et T du numéro précédent est égale à la somme des projections de toutes les forces F', F"... sur le même axe, et si les forces F', F"... ou leurs équivalentes S et T ont une résultante unique, la projection de cette résultante sur un axe quelconque est encore^ dans ce cas général, égale à la somme algébrique des projections des composantes sur le même axe,

iS29. Transportant parallèlement à elles-mêmes toutes les forces F', F'^.. d'un système (1527), de manière à les appliquer à un même point quelconque de l'espace en leur conservant leurs intensités et leurs sens, et considérant trois axes rectangulaires issus d'un même point, sur chacun de ces axes, la somme des projections des forces transportées est égale k la somme des projections des forces données F', F"..., puisque deux droites égales et parallèles ont des projections égales sur une même droite; par conséquent, si les forces données ont une résultante, ses projections sur les trois axes seiont respectivement égales aux projections sur les mêmes axes de la résultante des forées transportées, et ces deux résultantes ayant des projections égales sur trois axes non situé:» dans le même plan, elles sont égales et parailèles. Ainsi, lorsqu'un système de forces quelconques a une résultante^ on peut obtenir cette récitante en grandeur, direction et sens, en transportant toutes les forces données parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque, et en composant toutes les forces transportées (1492, 1503). Si les forces données se font équilibre, la résultante qu'on obtient ainsi est nulle.

Dans la pratique, on s'appuie journellement sur cette propriété reftiarquable, soit pour vérifier l'équilibre des constructions ou parties de constructions, soit pour en établir les conditions d'équiljbre.

CENTRE DES FORCES PARALLÈLES. SiOMEKT W POSITION DTNK PGRCB. 6M