m»« — si mV= 2rF + 2^/; a

équation qui s'applique h un nombre quelconque de points matériels,

DYNAMIQUE b'UN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 673

et qui fait voir que V accroissement algébrique de la puissance vive du système est égal au travail des forces extérieures, plus celui des forces intérieures mutuelles.

Ce dernier travail, qui s'évalue en grandeur absolue et en signe comme il a été indiqué au n* 1604 pour deux forces égales et contraires, dépend uniquement du mouvement relatif des différentes parties du système.

Ordinairement dans la pratique les systèmes qu'on étudie peuvent être considérés comme entièrement solides ; alors les mouvements relatifs de leurs différents points matériels sont nuls, et le travail des actions mutuelles est aussi nul. Si ces mouvements ne sont pas nuls, ce qui arrive quand les solides sont soumis à de certains efforts, tant que ces efforts ne compromettent pas la solidité du système, ces déplacements sont négligeables, et Ton peut encore considérer comme nul le travail de ces actions mutuelles; de sorte que dans ces deux cas, qui se présentent généralement dans la pratique, on a

2Îmv«-2imV=2rF;

expression qui généralise celle du n* i474, donnée pour un point matériel.

Dans le cas où les vitesses v et v^ sont les mêmes pour tous les points du système, on a, en représentant la masse totale ^m du système par M,

|Mi;«-iMtV=2»'F. (6)

Remarque i. Lorsqu'un système est composé de deux ou d'un plus grand nombre de corps matériels qui se meuvent en glissant Tun sur Tautre, de ce glissement en contact naît un frottement qui est réellement une force mutuelle qui s'oppose au mouvement, et dont on évalue le travail d'après le mouvement relatif, comme il a été indiqué au n* 1604. L'existence de ce frottement oblige d'avoir recours à la formule (a); cependant comme cette résistance, qui joue un très-grand rôle dans toutes les machines, peut être évaluée d'après les grandeurs et directions des forces extérieures du système, on peut la considérer, pour la facilité des applications, comme étant une force extérieure, et Ton voit que la formule (h) s'applique encore dans ce cas, qui est le plus général de la mécanique.

Remarque 2. Lorsqu'un système quelconque (que les points ou corps matériels soient isolés ou composent une machine] est en mouvement, il peut être sollicité par des forces positives, que nous appellerons puissances, qui agissent dans le sens où le mouvement se produit ou doit se produire, et par des forces négatives, appelées résistances, qui s'opposent au mouvement. Appelant Tm le travail des forces motrices, et Tr le travail des résistances, on a le travail total des force»

SEPTlàMl PARTIE. -

- MÉCAKIQDE.

extérieures,

et la formule (6) devient

2Mo«-^MV=»w— a;. (c)

Si, k deux instante du mouvement, la vitesse estlamème, qu'elle ait ou non varié entre ces deux instants, la variation de puissance vive est nulle, et par suite la formule précédente donne

Si, à partir d'un instant déterminé, les forces motrices cessent leur effet, et que les résistances continuent d*agir, après un certain temps on aura

l Mr«— s Mro« = 0— ^r = - «V.

Ainsi le travail résistant fait décroître la vitesse. On conçoit alors qu'elle pourra décroître de manière à devenir nulle, et Ton aura

et par suite

^Mr« = 0,