DYNAMIQUE B'DN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE

Considérons un système composé de deax éléments matériels M' et M'' sollicités respectivement par les actions mutuelles, variables ou non, /' et/". Soient F' la résultante des forces extérieures qui sollicitent M' et F^ celle des forces extérieures qui sollicitent M"; soient, de plus, v'« et i/'o9 ^' 6^ ^' 1®^ vitesses initiales et les vitesses des points matériels M' et M" après le temps ^ = 0 + B'... En ajoutant Tindice x pour désigner les projections de ces forces et de ces vitesses sur un axe quelconque Oo;, la relation entre la quantité de mouvement et Fimpulsion suivant cet axe devient respectivement pour chacun des points matériels considérés séparément (1611)

mV.— mV,. = SF'.e + S/'a*,

Faisant la somme de ces deux équations on a, en remarquant que les forces /as et/"x étant toujours égales et de signes contraires, les impulsions 2/'«0 et S/",6 sont égales, de signes contraires et se détruisent,

(m'r'« -f- 7nV,) — {m'v'ç,^ + ?nVV) = 2F'.0 + SF".e.

Ce qui fait voir que r accroissement de la somme des quantités de moU' vement projetées suivant un axe quelconque est égal à la somme des imrpulsions des forces extérieures projetées sur le même axe^ et indépendant des actions mutuelles.

Dans le cas où F' et F" seraient constantes en grandeur et en direction, F', et F"« seraient constantes, et Téquation précédente deviendrait

(m V« + mV^.) — {m'v'om + wi Vp.) = F'.^ + F'V.

Ce qui vient d'être dit pour un système de deux points matériels s'applique à un système composé d'un nombre quelconque de points. Ainsi Ton a

Smr« — Smt?oa: = SF,e.

1615. Mouvement du centre de gravité d'un système matériel, La somme des moments de différents points matériels par rapport à un plan quelconque étant égale au moment de tout le système concentré à son centre de gravité (1562), on a, en désignant par a/, a:"... les distances des points matériels au plan, par X celle du centre de gravité au même plan, et par m', m"... les masses de ces points,

wiVH-?n"a:"+...=XSm,

Soit Ox un axe parallèle aux distances x', x''...X. Projetant tous les points matériels et le centre de gravité du système sur cet axe, les longueurs x', x"...X se projetteront en véritable grandeur, et l'on aura encore pour ces projections

wV + m'V'+... = XSm. (1)

Ce fui faU v&èr ^que la pr^eMm du^cBUtre de gnsmié d^wt^ygièÊm et pmAsma^MeU sur vn caoê qimUnmifug eat ie ceabede gfwnié det projectim» appoint» maéériei^ nw ^ mêmt euoêi Cest égalenfiBl vrai pour les pnajiecfîoiis sur un pl»i.

Sapf ocmÉ nutin^eiraiiit qm les ponaCs msléntia m dépistent d'une qwHwiii<6 iaÉnimeat petîta, «t q^ fours ordomiéeB suiTant le même ne Ox devkmieDt «'4-€», «" -f^« + ♦..; X+*, étant TwdMiBée 4ai cent» à& gra^tév on<« pour cette iimnwiieiynitioa

m'(x' + ^',) + m"(x" +V'.) + ... = (X + eJS^^

Retranchant membre' à membre Féquation (1) de cette dernière, il vien! m'e'x + mV» + ... = ««Jm.

I^msant les lèrox: inerabn» de cette éqiiaÉMNi par 6, iastant pendant lequel le systèaoM s'est déplacé, on a

Remarquamt qœ —^ =:i?«, -^ =^«*" sont les vitesses des projections

de m', m*... sur Taxe-Oar (1431'), et que -~ =«« est edle de la projectîM

du centre de gravité, on a

m't?'» + m'ViB 4- ... = M,2wt.

Ce qui montre que la somme des quantités de mouvement projetées sur un <me est égale à la quantité de mouvementée tout le système concentré an œntre de ffrcmêé projetée sfvsr le même axe; ce qu^en abrégé en ped écrire ainsi :

De cette formule on pourra tirer Ux,

Menant trois axes coordonniées, on aura une expression semblable pour chacun d'yeux, et l'on pourra déterminer la vitesse de la projectioa, c^est-à-dire la projection de la ^Ttesse m du centre de gravité sur chacun d'eux, et par suite la valeur et la direction de cette vitesse (448S, ISW).

On a (1612)

Hemiplaçant 2]mv« et Smo^c par leurs valeurs en .fonction de la vitesse 9 d« centre de gravité, on a

ou

DYNAUIQUS Dira SfSTÈME MATénnPL QI^BUCONQUE. 671

Cette ëqvaMon £ait voir qme ia yariation ée la ps^ojection de la vitesse du centre de gravité d'un syslèœe mt un ave dépêad mn^psieinenÉ en

grandeur et en direction des forces extérieures, et nullement des actions mutuelles et du rapprochement ou écartement des points matériels du système.

Cette vérité étaat indépendante de Taxe, eUe s'applique à trois axes coordonnes, et il en résulte que ce qui vient d'être dit pour les variations des projections peut se répéter pour la vitesse elle-même; ce qui prouve le théorème remarquable connu sous le nom de princvpe de la conservation du mouvement du centre de gravité^ et qui consiste en ce que le centre de graviié se meut comme un point matériel réuntssani à hd setU la masse totale 2m de tons les feints ait systhne, et fui sérail sollicité par les forces extérieures transportées en ce point paralièlement à eUes-mêmee,

La résultante de toutes ces forces extériewres transportées paraDèie* ment k elles-mêmes en un même point a été appelée par M. Bella^ger résultante de translation.

Comme cas particulier, qoel que soit le nombre des forces qui sollicitent un corps solide entièrement libre, si ce corps est en équilibre, en appliquant toutes les forces, parallèlement à elles-mêmes, à un même point quelconque, ces forces se feront encore équilibre, et leur polygone se fermera de lui-même, c'est-k-dire donnera une résultante nulle (1492). Comme les relations entre les forces ainsi transportées ne changent pas, cette considération peut souvent être très-utile dans la pratique pour déterminer les conditions d'équilihre d'un corps solide soumis k Faction de plusieurs forces.

Exemples où le théorème du mouvement du centre de fframié se réalise,

!• Un projectile lancé faisant explosion, tant que les éclats ne rencontrent pas d'obstacles, sauf la modification due k la résistance de Pair, le centre de gravité continue son mouvement de la même manière que si Texplosion n'avait pas eu lieu.

T Si un homme en tombant d'une certaine hauteur s'agite, son centre de gravité peut changer de position dans son corps, mais il continue son mouvement comme si l'agitation n'avait pas eu lieu.

Si en tomhant l'homme lance un projectile qui raccompagnait, il modifie son'mouvement ainsi que celui du projectile, mais il ne modifie en rien celui du centre de gravité de l'ensemble de son corps et du projectile.

1614. Extension du théorème des puissances vives à un système quelconque de points matériels. Cas des machines. Effets des volants,

{" Pour le seul point M décrivant une courbe quelconque, animé de la vitesse initiale v^ et sollicité par la résultante constante F, la formtile 3* du n" 1611 devient, en prenant l'axe parallèle k la direction de F,

i mr,* - 1 771 V = FS^« = FEc

ffl% SEPTIÈME PAETIB. — HiCAHIQEE.

Pour deux-autres axes rectangulaires entre eux et au premier, la même formule donne, en remarquant que F, = 0 et F, = 0,

-mr/—. -mr^* = 0 et ^mc»"^-^ ^7ov^* = 0.

Ajoutant ces trois équations, U vient, en remarquant que rs*+Cy'+ V* = tî« et t?ox* + r,y* + fox* = V»

lmc« — imro«=FE,= aPF.

Formule qui fait voir que, quelle que soit la courbe décrite par le mobile, raccraissement de puissance vice est égal au iracail de la résultante des forces (Hn).

Dans le cas où F varie en intensité ou en direction, on peut la considérer comme constante pendant des temps infiniment petits, et Ton a - pou;* ces instants successifs

* t * « «il'

-mV--mV=3rF,,

- m»* — - mc*«j=:«Tn.

Faisant la somme de toutes ces équations, on a, en supprimant les quantités qui se détruisent, et en représentant par T¥ la somme des travaux élémentaires,

* • * t /-fP - mtj'— - m^o* = TF.

Ainsi, daris tous les cas^ P accroissement de puissance vive est égal à la somme des travaux des forces,

2' Système composé d'un nombre quelconque de points matériels liés entre eux par des actions mutuelles.

Pour deux points, en conservant les mômes notations qu*au n" 1612, on a successivement pour les points matériels M' et M" considérés séparément (!•)

i 7n V* — i m"v\^ = arF" + Tf", Ajoutant ces deux équations, on a pour tout le système