THÉORÈME DU TKAYAIL VIRTUEL

moins, va que le frottement de ses tourillons et la résistance de Pair en absorbent toujours une partie.

THÉORÈME ou TRAVAU. VIRTUEL.

1615. Lorsque, sans avoir égard aux obstacles que des corps environnants peuvent opposer au mouvement d'un point matériel, on suppose par la pensée que ce point se déplace d'une quantité infiniment petite, sans cesser d'être accompagné par les forces réelles, extérieures ou mutuelles, le mouvement idéal qui en résulte est appelé mouvement virtuel.

1616. Le travail de chacune des forces, résultant de ce mouvement, est appelé travail virtuel de la force considérée,

1617. Lorsqv^un point matériel est en équilibre ou se meut uniforme^ ment suivant une droite, la somme des travaux virtuels des forces qui le sollicitent est égale à 0.

En effet, ce point étant en équilibre ou ayant im mouvement uniforme rectiligne, la résultante des forces qui le sollicitent doit être égale à zéro ainsi que son travail virtuel (1614). Mais le travail de la résultante F est égal à la somme des travaux des composantes F', F''... (1605); on a donc aussi, en accompagnant les forces qui sollicitent le point matériel de Tv pour désigner Le travail virtuel^

TvY = Vjr + 3P„F'' + ... = (►.

Considérant un système de pointa matériels en équilibre ou possédant un mouvement uniforme rectiligne; M', M''... étant les points matériels; F', F'^.. les résultantes des forces extérieures qui sollicitent respectivement les points M', M"...; /',, /*,... les actions mutuelles qui sollicitent M'; f\y /"i... celle» qui sollicitent M''', et de même pour tAUB les autres points du système, on a successivement pour les divers points du système :

ar,F + T,f\ + Tj\ + T./, + ... = 0,

ar„F"+ T^A+ ^«/"t+ ar./%+ ... =o,

et ainsi de suite.

Ajoutant toutes ces équations, on aura, en représentant par Î^ToF la somme des travaux de toutes les forces extérieures, et par 2^^/ la somme des travaux virtuels des actions mutuelles ,

Ce qui faii voir que fe sj/sième étant en équilibre o» ayant un motevetnent wmfotmedetrenratation, la somme des travaux virtuels de toutes les forces tmni exéêrieures qt^intérieures est égale à 0.

Toutes les fois que dans le mouvement virtuel les distances mutuelles des pointe du système restent constantes, ce qui, paFT exemple, a toujours

676 SErnÈSK paetie. — ■ÉCAmQCK.

liea pour tous les moDTements virtuels d*nn système d*une solidité parfaite, les travaux virtuels de toutes les actions mutuelles sont nub; pir suite, 2^i/= O9 et réquation d'équilibre précédente devient

2»VF = 0.

Ainsi^ dans tout mourement virtuel compatible avec la solidité parfaite du système j la somme algébrique des travaux virtuels des forces extérieures est nulle lorsqu*il y a équililfre. C*est la même condition que pour un point matériel.

1618. La réciproqtte rCest pas vraie pour des corps non ^une soliiOé parfaite^ c'est-à-dire susceptibles de changer de forme sous Faction des forces extérieures. Un corps élastique, par exemple, soumis à Faction de deux forces égales et contraires, n'est pas en équilibre quoique ces deux forces se fassent équilibre.

1619. Cette réciproque est toujours vraie pour les corps parfaitement solides.

En effet, si un tel corps supposé en repos ou en mouvement se mettait en mouvement ou modifiait celui qu'il possède, il acquerrait dans un temps très-court une puissance vive très-petite, mais réelle, ou la puissance vive qu'il possède serait augmentée ou diminuée, ce qui ne peut avoir lieu dans Fun et Fautre cas qu'autant que le travail des forces n'est pas nul (1644); or le travail des forces intérieures étant nul, puisque le système est solide, et celui des forces extérieures Fêtant par hypothèse, il est donc impossible que le système, d'abord en repos, se soit déplacé, ou que, d'aJ[>ord en mouvement, ce mouvement se soit modifié.

1620. De ce qui précède, il résulte le théorème fondamental suivant :

Pour qu'un corps solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme algébrique des travaux virtuels des forces extérieures soit nulle pour tous les moutements compatibles avec la condition de solidité.

Lorsqu'il s'agit d'un corps ou système matériel susceptible de déformation, les mêmes conditions générales d'équilibre sont encore nécessaires, mais non suffisantes.

CONDITIONS d'Équilibre d'un système matériel déduites

DES mouvements VIRTUELS.

iOfil. Mouvements virtuels les plus simples d'un système matériel quelconque. Pour un système matériel, on peut supposer une infinité de mouvements virtuels plus ou moins définis, parmi lesquels il y en a de deux espèces parfaitement déterminées; la première comprend les mouvements virtuels de la translation, c'est-à-dire ceux dans lesquels tous les points se déplacent parallèlement à une même direction; la deuxième comprend les mouvements virtuels de rotation, c'estr-à-

CONDITIONS d'Équilibre d'un systèiie iiatéiiibl, etc. 677

dire ceux dans lesquels tous les points, restant à la môme distance d'un axe, ont même vitesse angulaire autour de cet axe (1586).

4622. Des trois équations d* équilibre â^un système déduites des mouvements virtuels de translation.

Supposant que le mouvement virtuel de translation a lieu parallèlement à un axe quelconque Ox, chacun des points d'application des forces décrit un chemin infiniment petit, égal à e^ parallèle à Ox, et qui se projette en véritable grandeur sur cet axe, soit e, cette projection. Les projections des forces sur la direction des chemins e sont égales aux projections de ces forces sur l'axe Ox. F' g, F''* étant ces projections, les travaux virtuels de ces forces sont respectivement c«F'„ e^F^g,,. Ajoutant tous ces travaux partiels, on a le travail virtuel de toutes les forces, qui est

eg¥'g + egF% + ... ou e.(F'ar + F". + ...), travail que l'on peut exprimer par

Sc.Fa: ou l?xSFar.

Cette somme algébrique devant être égale à 0 pour l'équilibre (1620), on doit avoir

e,(F'. + F"«+...) = 0 ou e,SFx = 0;

d'où l'on conclut, e^ n'étant pas nul,

F',-l-F"x + ... = 0 ou SFx=0.

Équation qui fait voir que, quand il y a équilibre, la somme algébrique des projections des forces sur un axe quelconque est nulle.

Cette propriété des forces en équilibre ne dépend, comme le fait voir la formule précédente, que des intensités absolues des forces et des angles qu'elles font avec l'axe, et non des positions de leurs points d'application.

En transportant toutes les forces parallèlement à elles-mêmes en un même point d'application, la somme de leurs projections ne changera pas, et elle sera encore égale à 0. Ces forces, ainsi transportées, ont une résultante unique appelée résultante de translation, laquelle ayant même projection sur un axe quelconque que toutes les forces (1528, 1529), il en résulte que la condition

F'a: + F"« + ... = 0 ou 2Fx = 0

signifie que la p7'qfection sur un axe quelconque de la résultante de translation Sun système de forces en équilibre est égale à zéro.

Lorsque cette condition est vérifiée pour trois axes Ox, Oy et Oz qui se rencontrent sans être situas dans un même plan, elle est satisfaite pour un autre axe quelconque.

En effet, ayant SF, = 0, la projection sur Ox de la résultante de

678 «EPTIÈME PARTIE. — VÉGAKIOUE.

translation est nulle, d'où il résulte que la résultante -de translation est nulle ou perpendiculaire à Ox,

Si Ton a en même temps 2^F^ = 0 et ^Fy = 0, les projections sur Ox et Oy de la résultante de translation sont nulles, ce qui ne peut avoir lien qu'autant que la résultante est nulle ou perpendiculaire k la fois à Ox et Oy, c'est-à-^ire au plan xOf/,

Enfin, si Ton a à la fois SF«, = 0, SFy = 0 et SF, = 0, les projections de la résultante de translation sur les trois axes sont nulles, oe qui ne peut avoir lieu qu'autant que cette résultante est nulle ou perpendiculaire à la fois aux trois axes; comme cette dernière condition est impossible, puisque les trois axes ne sont pas dans un inêTne plan, îl faut donc que cette résultante de translation soit nulle. Cette résultante étant nulle, sa projection sur un axe quelconque Test aussi, -et comme cette projection est égale k la somme des projections de toutes les forces sur le même axe, il en résulte bien que cette somme est aussi égale à 0.

Ainsi déjà les trois équations distinctes

S^^* = 0, SFy = 0 et SF,=:0

étant satisfaites, on est sûr que le système ne prendra ancun mouvement de translation.

1625. Ces équations renferment comme cas particulier celles du n** \ 304 relatives à un point matériel sollicité par un nombre quelconque de forces. Dans ce cas, le mouvement virtuel ne pouvant qu'être de translation, on est sûr que les équations précédentes étant satisfaites, il y a équilibre; c'est ce que nous avons établi au n" 1504 sans avoir recours aux mouvements virtuels.

1624. Des trois équations d'équilibre d'wi système déduites des mouvements virtuels de rotation.

Dans le mouvement de rotation autour d'un axe, tous les points conservant la même position relative, ils ont même vitesse angulaire (4586). Supposant un mouvement virtuel de rotation, et désignant par a le déplacement angulaire virtuel^ le travail virtuel de chacune des forces du système étant égal au déplacement a multiplié par le moment pris par rapport à l'axe (1606), pour une force F', dont le bras de levier est l, on a

Tr, = aP7'.

Chacune des autres forces donnera une expression analogue, et en faisant la somme de toutes ces expressions on aura le travail virtuel total

jTt, = a[rr + P'7" +.,.)=: a2P?, ou (1606)

3rv = aSMoF.

Ce travail total devant &tve nul pour qu'il y ait équîlîlbre (4€20), on

CONDITIONS D'éQUIUBBE d'ON SYSTÈME MATÉRIEL, ETC. 679

doit avoir ,

d'où, a n'étant pas nul,

2MoF = 0.

Ce qui fait voir que dans le cas d'équilibre la somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport à un axe quelconque est égale à 0. C*est ce qui a été établi au n" 1551 aans le secours des mou^ vements virtuels.

Considérant trois axes Ox, Oy et Oz, se rencontrant sans être dans un noéme plan, on aura pour ces axes respectifs :

2Mo,F=:0, 2Mo,rF = 0 et 2Mo,F=0.

Les moments dépendant des distances des forces à Taxe, ces équations sont distinctes de celles du n" 1622, qui ne dépendent nullement de ces distances. De plus, elles sont distinctes entre elles ; car si, par exemple, toutes les forces étaient situées dans le plan xOy, les deux premières équations seraient satisfaites, puisque toutes les forces étant ou parallèles aux axes Oa;, Oy, ou les rencontrant, leurs moments seraient nuls, et cependant Téquation SMo»F = 0 pourrait ne pas être satisfaite.

1628. Prouvons maintenant que toutes les conditions d'équilibre d'un système solide quelconque se réduisent aux six équations distinctes des n- 1622 et 1624.

Soient F', F", F"'... les forces qui sollicitent le système, et soient S et T les équivalents de ce système (1527). Considérant trois axes Ox, Oy et Oz non situés dans le même plan :

1* Les forces F', F", F"'.... satisfaisant aux conditions

SFar = 0, Sf,=o, Sf, = o,

leur résultante de translation est nulle (1622); la résultante de translation des équivalents S et T est aussi null« ; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que les deux forces S et T sont égales, parallèles et de sens contraires, c'est-à-dire forment un couple (15Slj. Ainsi les sommes des protections des forces sur chacun des trois aaes non situés dans un même plan étant nulles^ les forces pewoent se réduire à un couple équivalent. ^ Les forces F\ F'' ... satisfaisant à Téquation