RAYONS DE GYRATION ET MOMENTS D INERTIE

1* Rayon de gyration âHun parallélipipède rectangle tournant autour de Vune de ses arêtes. L'arête c étant Taxe de rotation, et celles a et 6 se confondant avec les axes des x et des y^ d'abord les sections  et B sont constantes dans toute rétendue du corps, et comme on a

Fig. 601.

k = hc et B =^ ac.

on a donc

UR* = 6c\ xMx + ac\ y*dy = 6c~ + ac--\

d'où, en remarquant que U ou Su = abc^

abc{a^ + 6»)

abc

Fig. «02.

2* Rayon de gyration d'un cylindre droit à base demi-^rabolique ABC tournant autour d'un axe qui se projette en A. Comptant les coordonnées par rapport aux axes hx et By de la parabole BC, un élément situé à la distance rde Taxe de rotation A donnant, en désignant AB par a et AC par 6,

ou

il en résulte qu'on a

Sur» = Sw(a — X;* + S//;/-

UR* = ^k(a — x)n\x -f fByMy.

Jo Jo

Le rayon de gyration étant indépendant de la longueur du cylindre, supposons cette longueur égale à 1. Oii a alors pour une section quelconque A ou B, l'équation de BC étant y* = 2j>x,

kzrzyzz:: s/2px ct B = a — a: = a— ^

Hp

Par suite on a

rA(a — x)*dx = )/2p \ V (a* — 2fluc + x*)dx =

S68 KCITIÈMB PARTiE. — NOTIOKS DBi GAf^CUL INFINITÉSIMAL.

donc

Cormme d'aifleurs onr a

on conclut

iûô I& 15 \7 ^ ^ y •

ifleurs onr a

Si* ou U= \ Aclr= v^\"x«dx=^ V^a* = |a6', . Je Jo '^ 3

R«=gga' + 6») (160!)

Remarque. Quand les intégrales \ Ax*dx et \By*dy ne peuvent être

obtenues algébriquement ou quand cTTes sont trop compliquées, on a recours à la formule de Thomas Simpson (1782).

Ainsi pour calculer approximativement \ Âx'dx, on divise la plus grande valeur de x fournie par le corps en un nombre pair 7i de parties égales d=r -; par les points de division et aux extrémités ée l on

mène des plans perpendiculaires à Taxe des x; on' détermiae k» surfaces A«, Al;, A«,.. An, dea sections faites dans le corps par ces plans, et pesant

ifo = A^^o* = Ao X 0 =r a.

y, = AA*'=A,48«

yi«=A„XH' = A„n«ô«, on a approximativement

\xMx=^[y„ + 4(y, + y,+ ...+yn-,) + 2(y,-hy*+...fy»-,)] =

=.^[n«A,.+ 4(A, + 9A,+ 25A5-f ...)+2(AA»4-16A^ + 36A«+..,)].

On calcule do même \B2/'dy, et divisant la somnie de» ré9sltlrt8

obtenus par U = 2^^= \Adx, que Ton calcule ('paiement à Faide de la

formule de Thomas Simpson (1784), on a R' avec une approximation qui est suffisante dans la pratique.