LIVRE III. — • FRACTIONS RT NOMBRES DÉCIMAUX. U

184. Une quantité constante est limite d'une quantité variable^ lorsque la différence de ces quantités peut devenir aussi petite que Ton veut sans être nulle. Ainsi Funîté est la limite du nombre décimal 0,999... Car on peut prendre assez de chiffres 9 pour que Texcès de Tunité sur le nombre qui en résulte soit moindre qu^une partie altquote ou sous-multiple de Tunité aussi petit que Ton veut (37 et 136).

Remarque. Une quantité variable 0,999... ne peut avoir qu'une limite; ou, autrement, deux quantités variables dont les valeurs sont constamment égales entre eOes ont la même limite.

185. Réduire une fraction en décimales^ c'est mettre cette fraction sous la forme d'un nombre décimal.

186. Pour réduire une fraction en décimales) on divise son numéra* teur par son dénominateur, en opérant comme dans la division d'un nombre décimal par un nombre entier (180).

187. Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible (159) ne contient que les facteurs premiers 2 et 5, la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient exact, dans lequel le nombre des chiffres décimaux est égal au plus grand des exposants des facteurs 2 et 5 au dénominateur.

488. Toute fraction irréductible dont le dénominateur contient un ou plusieurs facteurs premiers autres que 2 et 5 ne peut pas se réduire exactement en décimales, et la division de son numérateur par son dénominateur conduit à un quotient périodique (182).

189. Toute fraction — est la limite (184) du quotient périodique

4,2333. . . auquel conduit sa réduction en décimales (185).

190. Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible - ne con-

tient aucun des facteurs 2 et 5, la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique simple (183).

191. Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible contient un ou plusieurs des facteurs 2 et 5 avec d'autres facteurs premiers, la réduction de cette fraction en décimales conduit à un quotient périodique mixte, dans lequel le nombre des chiffres décimaux non périodiques est

42 'PKBmftHS PARTIE. — ARÏTinfÉTIQIIE.

é^al au plus g^nd des exposaats des facteurs ^ et 5 au dënomiiMiteiir. Ainsi la fraction irréductible ^r = , — « conduira à deux chiffres

décimaux nmi périodiques.

492. Le Tiombre des chiffres contenus dans la période ne peut excéder le produit moins un des facteurs premiers autres que 8 et 5 qui entrent au dénominateur de la fraction proposée; ainsi dans Texemple précédent il ne peut excéder 3x7 — 1 ou 20.

195. Tout nombre décimal 0,9727..., ^^éfioâiique svmrpîe^ moindre que

Punitéy et dont la période n'est pas 9, a pwar génératrice la fraction j- ,

qui a pour numérateur la période et pour dénominateur le nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période. Ainsi,

— =0,2727... [i%k, Bemarque.)

194. Tout nombre décimal 4,2727..., périodique simple, plus grand que l'unité, et dont îa période n'est pas 9, provient de la réduction d*une fraction en décimales. Il en est de même de toute fraction périodique mixte 4,342727. . . dont la période n'est pas 9.

Pour obtenir la fraction génératrice d*un nombre décimal 4,2727..., périodique simple et plus grand que F unité, il suffit de prendre pour numérateur la partie entière suivie de la période, moins la partie entière, et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période. Elle est donc

Pour obtenir la fraction génératrice d'un nombre décimal 15,273434. . ., périodique mixte, il suffit de prendre pour numérateur la partie entière suivie de la partie décimale non périodique et de la première période, moins la partie entière suivie de la partie décimale non périodique, et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qui! y a do chiffres dans la période et suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie décimale non périodique. Elle est par conséquent.

Bemarque. Lorsque la période est le chiffre 9, le nombre décimal n'a pas de génératrice ; on obtient sa limite en supprimant les périodes et en augmentant d'une unité le dernier chiffre à droite du nombre qui en résulte. 'Ob a en effet

« «wt«> 9 .,«*«. 49—4 .^ ,.»,**.* 4349 — 434 , ^^ 0,999... = j=:l; 4,999...=— ^='5; 4,34999...= — = 4,3Î5,

LITRI IIK -^ TCUCTIOlfS ET NOHMIBB «ICtMAUX. 43

OPÉBATIONS SUR lES NOMBRES rRACTlOIlHAlABS ET AÉCIMAUX GOMBiNÉS.

i9^. Ptmr additionner des nombres fractionnaires et décimaux ^ on met chaque nombre décimal sous la forme d'une fraction (170); ce qui ramène Fopératîon à une addition de fractions (142).

Remarque, Lorsque les nombres décimaux proposés ont un nombre limité de chiffres et que les fractions sont exactement réductibles en décimales (1S6), on peut, en effectuant cette réduction, ramener l'opération h une addition de nombres décimaux.

On trouvera de même la différence de deux nombres^ Tun fractionnaire et T autre décimal.

Quant à'ia multiplication et à la division d^une fraction par un nombre décimal, elles se ramènent aux mêmes opérations sur des fractions, en mettant chaque nombre décimal sous la forme d'une fraction (f70), sauf il convertir ensuite la fraction résultante en décimales (186).

▲PPROXiHATIONa KCHARIQUBS. 0»ilUTiONS ABIIÉ6ÉBA*

*l W. Lorsqu'on remplace une quantité par une valeur approchée par défaut ou par excès (173), la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée se nomme erreur absolue^ et le quotient de Terreur absolue par la valeur exacte est appelée erreur relative.

Ainsi la distance de deux points étant de 40 mètres, si on la sup^

pose égale à 42 mètres on k 38 mètres. Terreur absolue sera de 42 — 40

OU 40 — S8 = 2 mètres, et Terreur relative sera Tq = sa-

L'erreur relative exprime quelle fraction Terreur absolue. commise est de la quantité considérée, ou encore le rapport de Terreur absolue à cette quantité (205).

497. Lorsqu'on remplace un nombre entier 314 loO par 314 100, ou un nombre décimal 3,14159 par 3,141, ou encore 0,031415 9 par 0,03141, c'est-à-dire lorsqu'on supprime des chiffres sur la droite du nombre, en les remplaçant par des zéros si le nombre est entier ou s'ils se trouvent k gauche de la virgule dans le nombre décimal. Terreur absolue est respeetivement 59, 0,00059, 0^0000059, nombres formés par les chiffres supprimés ; et Terreur relative est

Ces exemples font voir que, pour des nombres qui ne dîff&rent que par la position de la virgule. Terreur relative ne dépend que des chiffres supprimés, et non de la position de la virgule; mais que quant k Terreur absolue, elle dépend k la fois des chiffres supprimés et de la position de la virgule.

Verreur absolue est respectivement moindre que 100, 0,001 et 0,000 t)l>

44 PREHiènB PARTIE. — ARITHMÉTIÛDE.

c'est-à-dire qu'une unité de Vordre du dernier chiffre conservé^ et Ter-

reur relative est mmndre que ^^^^ = 3-^^ = ^^^^3^^^^^, et a plua

forte raison que 5^ = 3^ ^t surtout que -±^ =0,001, c'est-k-dire

qu'une unité décimale d'un ordre marqué par le nombre moins un des chijfres conservés^ ce nombre ne comprenant pas les zéros qui peuvent se trouver à gauche du premier chiffre significatif conservé.

II en résulte que pour avoir une valeur approchée par défaut ^un nombre entier ou décimal avec une erreur relative moindre que 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001... il suffit de conserver respectivement sur la gauche du nombre 2, 3, 4, 5. . . chiffres, à partir du premier chiffre significatif. Ainsi la valeur approchée par défaut des nombres 314159, 31415,9, 3,14159 et 0,031 4159, avec une erreur relative moindre que 0,001 est respectivement 314 100, 31 410, 3,141 et 0,031 41.

Remarque 1. Lorsque le premier chiffre significatif à gauche du nombre est plus grand que 1, Terreur relative fournie par la règle précédente est moindre qu'une demi-unité décimale de l'ordre marqué par le nombre moins un des chiffres conservés. En effet, pour le nombre 0,031 4159

remplacé par 0,031 41, Terreur relative étant moindre que -^rr^, elle est

k plus forte raison moindre que ^rr^rz: ou qu'un demi-millième.

Bemarque 2. Lorsque le premier chiffre significatif k gauche de la partie conservée est 1, et que le premier chiffre k gauche de la partie supprimée est plus petit que 5 ou 5 non suivi d'autres chiffres significatifs, Terreur relative est encore moindre qu'une demi-unité de Tordre marqué par le nombre moins un des chiffres conservés. En effet, le nombre 1,141 37 étant remplacé par 1,141, Terreur absolue 0,000 37 est moindre qu'un demi-millième, et le nombre proposé excédant 1000 millièmes. Terreur relative est moindre qu'un demi-millième divisé par 1000 millièmes ou par 1, c'est-k-dire que un demi-millième.

Bemarque 3. Des deux remarques précédentes, il résulte que dans la plupart des cas (17 environ sur 18), la valeur relative d'un nombre entier ou décimal, k la droite duquel on supprime un ou plusieurs chiffres, est moindre qu'une demi-unité décimale de Tordre marqué par le nombre moins 1 des chiffres conservés k partir du premier chiffre significatif k gauche.

Remarque 4, Lorsqu'on prend une valeur approchée par excès d'un nombre entier ou décimal, en supprimant des chiffres k sa droite et en augmentant d'une unité le dernier conservé, tout ce qui précède est encore applicable. Ainsi pour approcher par excès du nombre 1,141 59 avec une erreur relative moindre que 0,001, on le remplacera par 1,142. Le nombre 3,141 59 étant remplacé par 3,142, Terreur relative sera moindre que un demi-millième [Remarque 1).

Remarque 5. En ne conservant qu'un nombre déterminé de chiffres, il est évident que Terreur relative sera d'autant plus petite que Terreur