Multiplication

r L'erreur absolue d'un produit de deux facteurs^ dont Vun est approché par dÀfoid ou par excès à moins d'une quantité^ est égale au pro-duit de Terreur absolue du facteur modifié par Tautre facteur. Quant à Terreur relative du produit^ elle est égale à Terreur relative du facteur modifié (197).

Soit à calculer à moins de Oi,01 le produit

L'erreur absolue du produit étant égale k Terreur absolue du multiplî-

UTllX Ul. — <• «IUAT10N8 &T MOI1BIU58 HÉOIHAUX. 17

caifeée multipliée par 271^8, il suffit de prendre le multiplicande avec une erreur absolue moindre que * et à plus forte raison plus petite

que r^ = 0,000 Oi ; ce qui donne 3,lil 59.

Cela revient à prendre le facteur modifié avec un nombre 2 + 3 = 5 de chiffres décimaux égal a celui 2 que Ton veut avoir au produit, plus celui 3 des chiffres de la partie entière du facteur non modifié.

Pcfur calculer le même prodmt cBoec une erreur relative moindre que 0,01, il suffit de prendre le facteur modifié avec une erreur relative moindre que 0,01, c'est-à-dire avec trois chiffres décimaux (197}, ce qui donne 3,141 x 291,8.

2* Lorsque les deux facéeÊgrs d'un produU sont remplacés par des valeurs approchées^ dont Vwie au moins par défaut^ Verreur absolue du produit est moindre que la somnae des produits de chacun des facteurs par Terreur absolue de Fautre facteur, d'une quantité égale au produit' des erreurs absolues des deux facteurs. L'erreur relative du prodmt est moindre que la somme des erreurs relatives des deux facteurs. Soit k calculer y avec une erreur absolue moindre que 0,01, le produit

L'errenr absolue du produit répondra à la question dès qu'elle sera moindre que

0,005 OjOqft

et à plus forte raison que

condition qui sera satisfaite en prenant le premier facteur avec 4 cbif^ 1res décimaux et le second avec &

Au lieu de diviser en deux parties égales Terreur absolue 0^01, oa peut la diviser d'une manière quelconque pourvu que la somme des deux parties soit égale à 0,01.

Four aeoir le produit précéUeni avec une erreur relaOee momdiv que 0,01, il suffit que l'ejrreur relative de chaque tasteur soÂt miiiuire que 0,005, et à plus forte raison: que 0,001; ce qui conduit là prendre lee i chiffîres àgaucJie deichacun d^ faeteura, et roa«

L erreur reiatiee d^wt produit de plusieurs fadewrt remplajcès par deê faUurs approcàées par défcait est moindre que la somme des erreurs relative» de tous les facteurs; et Verreur relaHee d'une puissance d^un nombre rempi^cépar une valeur appmchée par défaut est nreiiidre que le produit de Terreur relative de ce nombre par 1« de^é de la puis*-

Soit k calculer y avec une erreur relative moindre, que 0,01, le produit

Il suffit que la somme des erreurs relatives des facteurs soit moindre que 0,01 ; par conséquent, en prenant chacun des facteurs avec une

erreur relative moindre que —^ et surtout que 0,001, ce qui conduit

au produit

on est sûr de satisfaire k la question (197). Pour un produit de valeurs approchées,

les erreurs relatives des facteurs étant respectivement moindres que 0,0001, 0,001 et 0,01, dont la somme est 0,011 1, on en conclut que Terreur relative du produit est moindre que 0,1, et probablement même que 0,01.

Si Ton demandait, avec une erreur absolue moindre que 0,1, le produit

on remarquerait qu'il suffit que Terreur relative soit moindre que 0,1 divisé par un nombre 320 x 30 x 3 = 28 800 plus grand que le produit; ce qui fait pour chaque facteur une erreur relative moindre que

ce qui indique qu'il faut prendre chaque facteur avec ses 7 premiers chiffres k gauche :

Remarque, I^ erreur relative d'un produit de plusieurs facteurs remplacés par des valeurs approchées par excès est plus grande que la somme des erreurs relatives de tous les facteurs; et Terreur relative d^une puissance d*un nombre remplacé par une valeur approchée par excès est plus grande que le produit de Terreur relative de ce nombre par le degré de la puissance.

201. Multiplication abrégée d*Oughtred. Pour calculer, k moins d*une unité entière ou décimale, 0,1 par exemple, le produit de deux nombres entiers ou décimaux, 3,141 5926... x 32,186 42... (suivre sur Topération suivante) on écrit, dans un ordre inverse, les chiffres du multiplicateur sous le multiplicande, de manière que le chiffre 2 des unités simples corresponde k celui 1 du multiplicande, qui exprime des (0,001) unités cent fois plus petites que celles de Tordre énoncé (0,1); puis, k partir de la droite, on multiplie successivement le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en négligeant les chiffres du multiplicande qui se trouvent k la droite de celui qui sert de multiplicateur (Pour le chiffre 3, par exemple, on néglige 926...); ce qui conduit k ne pas employer les chiffres du multiplicateur qui se trouvent k gauche du der-

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nier chiffre 3 du multiplicande. On écrit les produits partiels sous le multiplicateur, en plaçant leurs premiers chiffres à droite dans une même colonne verticale, et on en fait la somme en les considérant comme exprimant des unités cent fois plus petites que celle de Tordre énoncé (0,1); enfin on supprime deux chiffres (07) sur la droite du résultat, et on augmente d*une unité le dernier chiffre conservé. On obtient ainsi 101,2 pour le produit cherché.

* Remarque. La règle précédente suppose le cas le plus général, celui où la somme des chiffres employés au multiplicateur, augmentée du premier chiffre négligé 4, est plus grande que 10 et moindre que 101. Dans le cas où cette somme ne dépasserait pas 10, et dans celui où elle serait comprise entre 100 et 1001, on opérerait encore de la même manière, mais en écrivant le chiffre des unités du multiplicateur respectivement sous le chiffre du multiplicande qui exprime des unités dix fois ou mille fois plus petites que celles de Tordre énoncé.