LITRE !▼• — PUISSANCES ET RACINES

S59. Le carré d'un nombre entier d'un seul chiffre n'a qu'un ou deux chiffres; celui de deux en a trois ou quatre; celui de trois en a cinq ou six, etc. De là il résulte que pour avoir le nombre des chiffres de la racine carrée d'un nombre entier donné, il suflSt de séparer ce nombre en tranch'es de deux chiffres, sauf à n'en laisser qu'un à la dernière tranche. Le nombre des tranches indique le nombre des chiffres.

240. Le carré d'une quantité formée de deux parties se compose : l*du carré de la première partie; 2* du double produit de la première partie par la seconde ; 3* du carré de la seconde.

Ainsi (3 + 5)« = 3* + 2 X 3 X 5 + 5« = 9 + 30 + 25 = 64.

Comme cas particulier, le carré d'un nombre composé de dizaines et d'unités se compose: 4* du carré dès dizaines; 2* du double produit des dizaines par les unités ; 3* du carré des unités :

241 . La différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces nombres^ plus un,

842. Pour extraire la racine carrée dun nombre entier^ 74529 par exemple, on le sépare en tranches de deux chiffres à partir de la droite, sauf à ne laisser qu'un ou deux chiffres à la dernière tranche à gauche (le nombre des tranches est celui des chiffres de la racine) (239), et l'on tire un trait vertical à sa droite pour le séparer de la racine. On prend la racine carrée 2 du plus grand carré 4 contenu dans la première tranche à gauche 7; cette racine 2, qui ne peut avoir qu'un seul chiffre (239), est le premier chiffre à gauche de la racine. On retranche le carré du chiffre trouvé de là première tranche a gauche ; à la droite du reste 3 on écrit la tranche suivante 45; on sépare le premier chiffre 5 k droite

du nombre qui en résulte; on divise la partie k gauche 34, considérée comme exprimant des unités simples, par le double 4 de la partie obtenue de la racine, ce qui donne pour quotient le chiffre 8, qui est le chiffre suirant de la racine, ou un chiffre trop fort. Pour le vérifier, on l'écrit à la droite du double de la partie obtenue de la racine; on multiplie le nombre 48 qui en résulte par 8, et le produit 384 étant plus fort

70 PIUBRU^B PARTIE. — ARITHMÉTIQQE.

\ue le nombre 345, c'est qu^ le chiffre 8 est trop fort. Opérant sur le chiffre 7 comme sur te chiffre >8, le prodiiitâS9 du double de la partie de racine obtenue parlée chiffre étant moindre que 345, 7 est le chiffra suivjuiit de la racine. On retnanohe le double produit 329 de 345; à la droite du reste 16 on écrit la tranche suivante i^; on sépare. le chiffra 9 à droite'du nombre «qui en résulte; on divise la partie à gauche 162, considérée comme exprimant des unités simples, par le double 27 x 19 = 54 de la partie ^ racine ohienue, ce qui donne poin* quottent le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort; on le v«rifte conme dass le cas précédent, et Ton continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait opéré sur toutes les tranches.

En générai, on se dispense d'écrire 1^ produits par las chiffras de la racine, et Ton retranche ces produite au.ûir et à mesure qu'on en obtient les chiffres ; c'est ce.qui a été fait dans la seconde manière d'opérar ci-dessus.

245. Quand, pendant l'extraction de la racine carrée, le reste qui correspond à la partie de racine obtenue n'est pas moindre que le double plus 1 de cette partie de racine, la partie de racine obtenue est trop petite au moins d'une unité; etlnrsque.Ie reste est moindre qne le double plus i de la partie de racine obtenue, cette partie de racine ne peut être augmentée de.l.

Ainsi, le dernier reste doit toujours être moindre que le double de la racine plus!. Lorsqu'il est moindre que la racine, cette racine est approchée par défaut k moins d'une demi-unité. Dans le cas contraire, cette racine augmentée d'une unité est approchée par excès à moins â'une demi-unité (SK)4).

244. Si, comme dans l'exemple précédent, on obtient undernier reste nul, c'est que le nombre proposé est un carré parfaiL

Si au contraire le dernier reste n'est pas nul, c'est que Lr nombre proposé n'est pas un carré parfait. La racine obtenue est alors sa racine à moins d'une unité par défaut (243), c'cst-à-dijYî la. partie entière de la racine exacte (174). Elle est la racine exacte du plus grand carré parfait contenu dans le nombre proposé, et le reste est la différence entre le nombre proposé et ce plus grand carré. La racine exacte du nombre proposé, quoiqu'elle existp, ne peut être exprimée exactement par aucun nombre, entier, fractionnaire ou décimal; elle est incommensurable (211), et ne peut par conséquent non plus être exprimée par un nombre décimal périodique (193, 194 et 204).