CUBES ET RACINES GUBIQCES
446. Le cube d'un nombre entier d'un seul chiffre n'ayant pas plus de trois chiffres; celui d'un nombre de deux chiffres n'en renfermant que 4, 5 ou 6, etc., il en résulte que pour avoir le nombre des chères de la racine cubique d'un nombre entier^ il suffit de diviser ce nombrt en tranches de trois chiffres, sauf à n'en laisser qu'un ou deux à la dernière tranche. Le nombre des tranches est celui des chiffres de la racine (239).
ËD général, pour avoir le nombre des chiffres de la racine m* d'un nombre entier^ on divise ce nombre en tranches de m chiffres, sauf k laisser moins de m chiffres à la dernière tranche, et le nombre des tranches est celui des chiffres de la racine.
247. Le cube d'une quantité formée de deux parties se compose : 1* du cube de la première partie; ^' du triple produit du carré do la première partie par la seconde; 3- du triple produit de la première partie par le carré de la seconde; 4* du cube de la seconde. Ainsi
Comme cas particulier, le cube d'un nombre renfermant des dizaines et des unités se compose des i' parties: V le cube des dizaines; T \e triple produit du carré des dizaines par les unités; 3" le triple produit des dizaines par le carré des unités; 4* le cube dos unités. Ainsi
248. La différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale au. triple carré du plus petit de ces nombres^ plus le triple de ce plus petit nombre^ plus 1 :
249. Pour extraire l(t racine cubique d'un nombre entier, 3 048 625 par exemple, on le sépare en tranches de trois chiffres à partir de la droite, sauf à ne laisser qu'un ou deux chiffres à la dernière tranche à gauche (le nombre des tranches indique le nombre des chiffres de Ja racine) (246).
On prend la racine cubique 1 du plus grand cube 1 contenu dans la première tranche à gauche 3; cette racine 1, qui ne peut avoir qu'un seul chiffre (246), est le premier chiffre il gauche de la racine. On re* tranche le cube du chiffre trouvé de la première tranche à gauche ; à la droite du reste 2 on écrit la tranche suivante 048; on sépare les deux chiffres à droite du nombre qui en résulte; on divise la partie à gauche 2 , considérée comme des unités simples, par le triple carré 3 x ^=i? 3 de la partie obtenue de la racine, ce qui donne pour quotient le chiffn» 6, qui est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort. Pour e vérifier, on forme les trois autres parties qui, outre le cube des
PREMtilUS PARTIE. — ARITHMÉTIQUE.
dizaines, qui a été retranché, entrent dans le cube 3048, c'est-k-dire le triple carré des dizaines par les unités 3 x 10' x 6 = 1800, le triple des
3xl0»x6 =1800
3xl40*x5=29400a
dizaines par le carré des unités 3x 10x6'= 1080, et le cube des unités 6't=216; on fait la somme 3096 de ces trois parties, et cette somme étant plus forte que 2048, c'est que le chifiFre 6 est trop fort. On verrait de même que le chiffre 5 est trop grand. Essayant 4, la somme 1744 des trois autres parties qui entrent dans 3048 étant moindre que 2048, c'est que ce chiffre est le suivant de la racine. On retranche la somme 1744 de 2048; à la droite du reste 304 on écrit la tranche suivante 625; on sépare deux chiffres sur la droite du nombre qui en résulte; on divise la partie à gauche 3046, considérée comme des unités simples, par le triple carré 3x14*= 588 de la partie obtenue de la racine, ce qui donne pour quotient le chiffre 5, qui est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop fort. Pour le vérifier, comme pour le précédent, on forme les trois autres parties qui, avec le cube des dizaines, qui a été retranché, entrent dans le cube 3048625, c'est-à-dire le triple carré des dizaines par les unités 3 x 1 40* x 5 = 294000, le triple des dizaines par le carré des unités 3x 140 x 5'= 10500, et le cube des unités 5'= 125; on fait la somme 304625 de ces trois parties, et cette somme n'étant pas supérieure au nombre 304625, duquel on doit la retrancher, c'est que le chiffre 5 est le suivant de la racine. On continuerait ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait opéré sur toutes les tranches.
2l>0. Le plus grand reste qu'il est possible d'obtenir dans l'extraction do la racine cubique ne peut atteindre le triple carré de la racine déjà obtenue, plus le triple de cette même racine, plus un. Si le reste atteignait ou dépassait cette limite, c'est que le chiffre de la racine serait trop faible ; il faudrait alors l'augmenter.
Î8I . Dans tout le cours des opérations relatives à l'extraction de la racine cubique, chaque reste, suivi de toutes les tranches sur lesquelles on n'a pas encore opéré, est égal au nombre dont on cherche la racine, diminué du cube de la partie de racine déjà obtenue.
Comme pour la racine carrée (244), si la racine cubique d'un nombre entier tombe entre deux nombres entiers consécutifs, cette racine, quoiqu'elle existe, ne peut être exprimée par aucun nombre, entier, fractionnaire ou décimal ; elle est incommensurable.
2S2. Un nombre pair ne peut être un cube parfait que lorsqu'il est divisible par 2' = 8. Un nombre terminé par dos zéros ne peut être
LITRS lY. — PUISSANéBS ET RAGIKE8. 73
un cube parfait que quand le nombre de ces zéros est un multiple de 3 (245).
255. Preuve par 9. Une puissance d*un nombre étant le résultat de la multiplication de ce nombre pris plusieurs fois comme facteur, la preuve par 9 jde Télévation d'un nombre à une puissance se fait d'après la marche suivie pour la preuve par 9 de la multiplication (96).
Pour faire la preuve par 9 de l'extraction d'une racine, le nombre proposé étant égal h une puissance de la racine d'un degré égal à l'indice, plus le reste, on suivra une marche analogue à celle suivie pour la division (97). Ainsi pour faire la preuve par 9 de l'exemple du n* 249» on cherche le reste i de la racine 145 par 9, on prend le cube 1 de ce reste, et le reste i de ce cube par 9, ajouté au reste 0 par 9 du reste de l'extraction donne une somme 1, dont le reste 1 par 9 doit être égal au resté par 9 du nombre proposé 3048625.
Les preuves par il des puissances et des racines s'effectuent en sui* vant les mêmes marches que pour les preuves par 9 (98).
CARRÉS, COBSS, RACINES CARRÉES ET RACINES CUBIQUES DES FRACTIONS ET DES NOUBRES DÉCIMAUX.
284. Le carré d'une fraction étant le produit de cette fraction par elle-même, on l'obtient en élevant chacun de ses termes au carré (151 et 237).
258. De même, le cube d'une fraction étant le produit de cette frac* tion prise trois fois comme facteur, on l'obtient en élevant chacun de ses termes au cube (237).
256. De la manière dont se forment le carré et le cube d'une fraction (254, 255), il résulte que pour obtenir la racine carrée ou la racine cubique d'une fraction, il suffit d'extraire la racine carrée ou la racine cubique de ses deux termes (233). Ainsi
4 /Î6 v(Î6 4 VIT y/ 64 4
Vi»"' V^49""7' ^' Vl25-»/7^-5-
257. On peut ramener le calcul de V extraction de la racine carrée ou cubique dune fraction à VextractUm de la racine dun seul nombre. Pour cela, il suffit de multiplier les deux termes de la fraction proposée par le dénominateur de cette fraction, s'il s'agit d'extraire la racine carrée, ou par le carré de ce dénominateur, s'il s'agit d'extraire la racine cubique. En effet,
4 /4 4 /rx7 v^28 ___ v/28 V7~ V7x7"" ^'" 7 '
74 PMUfliRB PARTIE. — ARITHMÉTIQUI.
et
On voit que, par cette manière d'opérer, le dénominateur de la racine obtenue est égal au dénominateur de la fraction proposée (266)'.
288. Le carré d\in nombre décimal étant le produit de ce nombre par lui-même, et le cube d'un nombre décimal étant le produft ie cfe nombre pris trois fois comme facteur, on obtiendfa le carré et ïe cube d'un nombre décimal d'après la règle de la muHîpliCatron des nombre» décimaux {Îl9): . '
289. La règle de la formation du carré d'un nombre décimal revenant à multiplier ce nombre décimai par lui-môme, abstraction faite de la virgule, et à séparer sur la droite du produit deux fois autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le nombre proposé, on voit que le carré d'un nombre décimal contient toujours un nombre pair de chiffres décimaux, et que ce nombre est double de celui des chiffres décimaux du nombre proposé.
De la règle semblable de la formation du cube d'un nombre décimal, il résulte de même que ce cube contient trois fois autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le nombre proposé.
260. Des règles de la formation du carré et du cube d'un nombre décimal (258), on coïMîlut :
1* Que pour revenir du carré d'un nombre décimal à la racine^ on en extrait la racine carrée comme si c'était un nombre entier, abstraction faite de la virgule, et l'on sépare sur la droite de la racine trouvée moitié moins de chiffres décimaux qu'il n'y en a dans le nombre décimal proposé :
V^4J6 = )L^^ = 2i = 7,4 (170 et 256)
2* Que 'pour revenir du cube d'un nombre décimal à la racine cubique^ on extrait la racine cubique du nombre donné comme si c'était un nombre entier, abstraction faite de la virgule, et l'on sépare sur la droite de la racine trouvée trois fois moins de chiffres décimaux qu'il n'y en a dans le nombre proposé :
î/5:5Ii^=V304SJ25^m VI 000 000 *""
261. Pour obtenir la racine carrée d'un nombre quelconque à moins d\uie unité décimale d'un ordre déterminé (174), on prépare ce nombre de manière qu'il contienne deux fois autant de décimales qu'on en demande à la racine, en écrivant, si cela est nécessaire, des zéros k la
LlvaX IV. -— POISSANCBA ET 1ULC1HB8. 75
droite .du nombre proposé, réduit au besoin en décimales; ainsi lors* qu'on veutnbtenir la racine carrée à moins d'une unité, ou d*un dixième, ou d'un centiième, ou d'un millième, etc., on.préparele nombre proposé de manière qu'il contienne zéro, ou deux, ou quatre, ou six, etc.» chiffres décimaux. Puis^ faisant abstraction de la virgule, on calcule la partie entière de la racine du nombre qui en résulte (24â}, et l'oa sépara sur sa droite assez de chiffreapour que le dernier exprime des unités de Tiordre déterminé.
On trouve ainsi que la racine carrée de 247 à moins d'une unité est 15;
Que celle de Qe:méme nombre à moins d'un centième est fournie
par ^947^0000, et qu'elle eat 16,71 ; Que cellerde 2»5.à moinsd^un centième est fournie par
V^ = v/s»5000, ce qui donne i«58;
Que celle de r^ à moins d'un millième d'unité est
*y ^ = V0,4S4545..., ce qui donne 0,674.
%<n. £xjtraire la^racÂne carrée deD,46454fi... à moins de 0,001 revenant k extraire la racine carrée de 454545 à moins d'une unité (261), et à séparer trois chiffres décimaux sur ladroite du résultat, on peut appliquer la règle du n* 287; ainsi Ton calcule v/0,4o4500, ce qui donne 0,674 k la racine et 0,224 pour reste; et la racine cherchée, approchée à moins de 0,001 par excès, est 0,675.
•On ¥oit qu'il suffisait de calculer 4 cfaifibes décimaux du quotient dé 5 divisé par H.
265. Pour obtenir la racine cubique d'un nombre quelconque à mjonès d'une unité décimale d'un ordre déterminé, on opère comme pour la racine carrée (281); seulement, au lieu de préparer le nombre proposé de manière qu'il contienne deux fois plus de décimales qu'on n'en de^mande à la racine, on le prépare de manière qu'il en contienne trois fois autant. Ainsi la racine cîibique de 12,5ii moins d'un centième est donnée par
\/l8,500000, ce qui fournît -2,32; Celle de 0,000012755427 k moins d'un millième est donnée par
V/0,000012755, et l'on trouve 0,023;
Celle de 2ô ^ moins d'un centième est donnée par
— = V3,227272, ce qui fournit 1,47.
264. Comme pour la racine ^jarrée (262), la règle du n» 287 est encore
76 PRSMIÈRE PARTIE. — ARITHMÉTIQUE.
applicable aux nombres décimaux. Ainsi la racine cubique, approchée à moins de 0,004, du nombre 0,000012755, s'obtient en extrayant la racine cubique 0,023, approchée par excès à moins de 0,00i , du nombre 0,000012000.
De même, pour obtenir la racine cubique, à moins de 0,01, du nombre 3,227272..., il suffit d'extraire la racine cubique 1,48, approchée à moins de 0,01 par excès, du nombre 3,220000.
268. Bemarque. Les racines carrées et cubiques qu'on a obtenues aux numéros 261 et 263 pèchent par défaut; en augmentant d'un leur dernier chiffre à droite, on aurait encore, mais avec excès, les racines demandées à moins d'une unité décimale de Tordre déterminé.
Pour obtenir la racine la plus approchée^ carrée ou cubique^ Sun nombre quelconque en ne conservant qu'un nombre déterminé de chères décimaux^ on calcule une décimale de plus qu'on n'en veut conserver à la racine, et l'on supprime cette décimale d'après la règle du n* 175.
266. Pour déterminer la racine carrée ou la racine cubique d'un nombre entier à moins d'une fraction donnée dont le numérateur e^t Vunité^ on transforme ce nombre en une fraction équivalente ayant pour dénominateur le carré ou le cube du dénominateur de la fraction donnée, et on en extrait la racine (133 et 257).
Ainsi la racine carrée de 8 k moins de - s'obtient en observant que
La racine carrée de 392 étant comprise entre 19 et 20, celle de 8 tombe entre -=- ^* "7 > ®* chacune de ces fractions exprime v^ à moins
de - d'unité.
De même,' la racine cubique de 5 k moins de - d'unité s'obtient en
observant que
et que ^1715 étant comprise entre il et 12, celle de 5 k moins de
1 , 11 , 12 - est y et y.
