MOYENS D* ABRÉGER L'BXTR ACTION DES RACINES
Cube de 45950 97018944875000
Triple carré de la racine 45950 6334907500
8 fois la racine 45950 137850
L'unité 1
Ck^ i2e 45951 97 0S5 279 820 351
Différence entre ce cnbe et le précédent 6 834845351
6 fois la racine 45951 875706
Cu^^e 45958 97031613841408
Différence 6334681057
6 lois la racine 875718
Cube de 45953 - 97037948738177
Différence 6334896769
6 fois la racine 875718
Cube de 45954 97044883910664
Différence 6335178487
6 fois la racine 875784
CttÂerfe 45955 97050619358875
Différence 6335448311
6 fois la racine 875780
Cube de 45956 97056955088816
En continuant, on trouverait que le cube de 45 957 est plus grand que le nombre 97062586 890 000 formé par les 5 premières tranches; donc 6 est le 6* chiffre cherché, et, par suite, la racine demandée est 45,956. Quant au reste, on l'obtient en retranchant du nombre formé par toutes les tranches le plus grand cube trouvé qui y est contenu, et en séparant sur la droite de la différence trois fois plus de chiffres décimaux qu'il y en a à la racine. On trouve ainsi que, dans l'exemple qui nous occupe, le reste est 5,571 807184.
Quel que soit le nombre des chiffres, on les calculerait comme les chiffres 5 et 6 de l'exemple précédent.
Il est k remarquer que les opérations précédentes se réduisent à des additions; en effet, la différence de deux cubes consécutifs est égale et la somme des deux nombres écrits entre ces cubes, et 6 fois la racine s'obtient en ajoutant simplement 6 au dernier de ces deux nombres.
MOYENS d'ABRÉOER LES CALCULS RELATIFS A l'EXTRAGTION DE LA RACINE CARRÉE ET DE LA RACINE CUBIQUE.
287. Pour extraire la racine m»*»« d'un nombre entier A avec une erreur moindre que l'unité, il suffit de connaître plus de la m**»« partie du nombre des chiffres de A, à partir de la gauche; c'est plus de la moitié pour la racine carrée, et plus du tiers pour la racine cubique.
Comme l'erreur tend à diminuer la racine, puisqu'on a diminué le nombre dont on l'extrait, il en résulte que pour extraire la racine wi»*»*, k moins d'une unité, d'un nombre entier composé de n chiffres,
il suffit de prendre sur la gauche de ce nombre au moins chiffres,
et de remplacer tous les autres par des zéros; puis* d'extraire du nom-
B6 PREMIÈRE PAAUE. — ARITaHÉTlQliE.
bre qai*en résulte la racine m»^"»«, approchée par excès .ù mobue d'une unité. Ainsi :
1* La racine carrée 274, approchée par excès k nroins d'une unité, du nombre 74600, est la racine carrée, k moins d'une unité, du nombre 7 46 73, et en général de tous les nombres entiers de 5 chiffres 4ont les 3 premiers k gauche forment le nombre 746. De même, la racine carrée 8 874^ approchée par excès k moins d'uhe unité» du nombre 7875!a*000 est la racine carrée, k moins d'une unité, 4u «nombre 78751^7400 (279).
2** Ija racine cu^bique 460, approchée par excès k inoitts d'nme unité, du nombre 97 000 000, est la racine cubique, k moins «d'une unhé, du nombre 97062526. De même, la racine cubique 45957, approchée par excès k jnoins d'une unité, du nombre 97062000000000, est la racine cubique, k moins d'une unité, du nombre 97062526^93127 (280).
Bemarque 1". Ce qui précède est encore applicable k l'extraction de la racine carrée, de la racine cubique et en général d'une racine m»*»« d'un nombre, k moins d'une unité décimale d'un ordre déterminée (264, 263, 279 et 280). Ainsi :
i* La racine carrée 2,74, approchée par excès k moins d'un centième, du nombre 7,4600, est la racine carrée, k moins d'un centième, flu nombre 7,4673 42.
2* La racine cubique 45,957, approchée par' excès k moins d'un milïîème, du nombre 97062,0000f00'000, est la rticine tubique, k moms d*un millième, du nombre 970e2;526'89.
Bemarque 2. De ce quî précède, il i-ésulte <ïue (fuanfl on srra bbfigé de calculer le nombre dont on aura k eltraSrt une racine, commp, par exemple, lorsqu'il s'agira d'extraire une racine ^*une fraction f261 et Î63), on pourra ne calculer que le nombre con-venable des premiers chiffres k gauche de ce nombre.
288 Lorsqu'en extrayant la racine carrée, k moins d'une unité, d'un nombre entier, on a obtenu plus de la moitié des chiffres de cette racine, on peut obtenir tous les autres en divisant sitnplement le nombre proposé moins le carré de la partie de racine obtenue, c^est-k^ire le nombre formé par le dernier reste obtenu suivi des tranches sur Icsquoiles on n'a p«8 encore opéré, iparle double de. la jpartie de racine obtenue.
Ainsi dans l'exemple de la page 79, ayant calculé, soit par la règle 'génèmYe, soit au moyen de la table,1e6 trois premiers chiffres à gaodie de la racine, Hes deux chiffres suivants 'de la Tacine seront donnés, «»omme le montre l'opération suivante, par le quotient de la dmsioo du nombre 7 43 74 37, obtenu en écrivsoit.k la «droite du dernier reste 743 les tranches sur lesquelles on n'a pas encori^ opéré, «par le double 'Î77400 de la partie de racine obtenue 8«700 :
LITRE IV. — MOTtW D'iBRÉGSR L^iXTRACTlON DES RACINES. 91
La raciiie carrée, à moîiis d*ane unité, ainsi obtenne, est exacte, ou pèche par défaut ou par excès, selon que le carré du quotient ki est ivaipectivenient égal au mste 16 4ê37 de la division, ou qu*il est plus .j^t ou plus grand que ce reste. Ainsi, dans rexon^|)le qui nous oc- 4mpcw ayant 41< uni 16 «I < 16 4037, la racine 6 87 41 pècbe par défaut.
fin appliquant siiniâtanément cette rè^e et c^le du numéno précédait, «in est amené à laîre la •division suivante :
qui donne encore, pour la racine carrée, k moins d'une unité par excès, 88742.
289. Lorsqu en extrayant la racine cubique, k moins d*une unité, d'un nombre entier, on a obtenu au moins la moitié plus un des chiffres de cette racine, on peut obtenir tous les autres en divisant simplement le nombre proposé moins le cube de la partie de racine obtenue, c'est-k-dirc le nombre formé par le dernier reste obtenu suivi des tranches sur lesquelles on n'a pas encore opéré, par le triple carré de la partie de racine obtenue.
Ainsi, dans Fexemple de la page 81, ayant calculé, soit par la règle générale, soit au moyen de la table, les 4 premiers chiffres k gauche de la racine, le chiffre suivant (ce serait les 2 chiffres suivants si la racine devait avoir 6 chiffres) de la racine s'obtiendra, comme le montre l'opération suivante, en divisant le nombre 43582018127 par le triple carré 6334207500 de la partie de racine obtenue 45950
La racine cubique, k moins d'une unité, ainsi obtenue, est exacte, ou pèche par défaut ou par excès, selon que le produit de la somme de 3 fois la partie de racine obtenue 45 950, et du quotient 6, par le carré de ce quotient, est respectivement égal au reste 5 576 773 127 de la division, ou qu'il est plus petit ou plus grand que ce reste. Ainsi, dans l'exemple qui nous occupe, ayant
la racine 45956 pèche par défaut, k moins d'une unité.
En appliquant simultanément cette règle et celle du n" 287, on est amené d'abord k déterminer, soit par la règle générale, soit en s'aidant de la table, les 4 premiers chiffres 4595 k gauche de la racine du nombre 97062000000000, ce qui donne le reste 43 055125 000; puis k faire la division suivante :
n PREMIÈRE PARTIE. ^ ARITHIIÉTIQIIS.
Ce qui donne encore, pour la racine cubique, à moins d'une unité par excès, 45957.
Si la racine devait avoir 6 chiffres, après avoir déterminé les 4 premiers 4595, on aurait obtenu les deux autres par la marche précédente.
290. Remarque, Les règles des deux numéros précédents [s^appliqneni encore à Fextraction de la racine carrée et de la racine cubique, à moins d'une unité décimale d'un ordre déterminé, d'un nombre quelconque, préparé de manière qu'il contienne 2 ou 3 fois plus de chiffres décimaux qu'on n'en demande à la racine (287. Remarques),
891 . Table des carrés et des^cubes des nojnbres entiers consécutifs de \ à 1000, et des longueurs des circonférences et des surfaces des cercles dont les diamètres sont exprimés par les mêmes nombres entiers consécutifs de 1 à 4000.
ClKftés, GITBSS, CIRGONFÉRBNCBS BT CERCLES.
ItM 15SI
«109 l&OO
^/ Cubtm.
Gireon- Hronco»
Gnelee.
Canéi.
Gnboi.
Circonffirencfis.
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\ 125 OOO
CARRÉS, C0BE8 ClRCeVfVi^ftENGES ET CERCLES.
Gaixés.
Ctùm.
GircoBfénnces.
GerdM.
Gaixte.
GulM.
QinMttférencet.
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