SUCCESSIVES

281. De quelques propriétés des carrés des nombres entiers, Posaat, de manière que les termes se correspondent, tes trois suites: l"* celle des nombres impairs successift en commençant par l'unité, 2* celle des nombres entiers successifs, 3* celle des carrés de ces nombres entiers successifs :

13 5 7 9 li 13 15 17 19 21 23 25 .... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 .... 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 ....

r Le carré c, porté dans la 3* série, d'un nombre entier quelconque n, qui se trouve en regard dans la seconde, est égal à la somme des n premiers termes de la première série (3"). Ainsi, le carré c= 25 de n = 5 est égal à la somme des cinq premiers termes de la première série ; ce qu'il est facile de vérifier.

2* La première série formant une progression arithmétique commençant par l'unité, et dout la raison est 2, le n* ternie t donne

Ainsi le carré entier 49 ayant 7 pour racine carrée, il est la somme des 7 premiers termes de la première série, et ie 7* terme de cette série iist

3* La somme c, des n premiers termes de la première série considérer comme une progression arithmétique, étant égale à la moitié du produit de la somme du premier terme 1 et du 7i«*»>« t par le nombre n des

LIT. IV. — EXTRACTION DIS RACINES AU MOYEN d'aHOITIONS SUGGBSSnFES. 83

termes, on a

En remplaçant, dans eette expression, t par sa valeur du 2', il vient bien c = n*, comme on Fa annoncé au 1*.

La somme s des n premiers termes de la S* série donne, par la méHit raison,

,= (t^; pour«=5. , = li±^^ = i5.

La somme S des n premiers termes de la 3* série, c'est-à-dire des carrés des n premiers nombres entiers consécutifs, est é^ale au produit du double ^ de la racine n du plus grand carré, plus Funité, par te tiers de la somme s des racines de cette suite. Ainsi Fon a

On a encore, en remplaçant s par sa valeur précédente,

S = in(n + 1) (271+ 1).

Soit à calculer la somme S des carrés des n = 13 premiers nombres entiers consécutifs. Suivant qa*on aura ou non calculé la somme

s = ' — ^-^— = ' T-^ — = 91 des racmes, on fera usage de la l" ou

de la 2* expression de la valeur de S, et Fon aura

S = (2 X 13 + 1) X Y = 819, ou S = I X 13 x 14 x 27 = 819.

4* Lorsqu'une suite de carrés entiers consécutifs ne commence pas par Funité, que, par exemple, son premier carré est 7i'*=c' et son dernier n*=c, la somme s^ des racines correspondantes est égale à la diff<v rence c — & entre le plus grand et le plus petit carré, plus la somme n 4- n' de ces deux carrés, et le tout divisé par 2. Ainsi Fon a

En effet, la deuxième suite posée ci-dessus, considérée comme une progression arithmétique dont le !•• terme est n' et le dernier n, et àaniy par suite, le nombre des termes ^est n—n'-\-\^ donne comme au. 3*

ce que fournit bien Fexpression précédente, en effectuant les calculs, simplifiant et remplaçant n» par c et r# par <f.

84 FREMIÈRE PARTIE. — ARITHMÉTIQUE.

Si le premier carré de la suite est c' = 9 et le dernier c = 64, d'où n' = 3 et n = 8, la somme de la suite de racines est

Ce qu'il est facile de vérifier.

5" Pour avoir la somme des carrés des nombres entiers consécutifs dont le plus petit est n' et le plus grand n, on calcule, comme au 3*" ,ia somme S des carrés des n premiers nombres entiers consécutifs, k partir de i, et la somme S' des carrés des n' — 1 premiers nombres entiers consécutifs, aussi k partir de 1, et retranchant S' de S on a la somme cherchée.

282. De quelques propriétés des cubes des nombres entiers (281). Posant, de manière que les termes se correspondent, les quatre suites : i'* celle des nombres successifs formant une progression arithmétique dont le 1" terme est 3 et la raison 6, 2* celle des nombres entiers successifs, 3* celle des cubes de ces nombres entiers successifs, 4* celle des sommes des nombres entiers successifs :

r Le cube C, porté dans la 3* série, d'un nombre entier quelconque «, qui se trouve en regard dans la seconde, est égal au tiers de la somme des n premiers termes de la première série, multiplié par le nombre n des ternies (3*). Ainsi, le cube C = 125 de n = 5 est égal au tiers 25, de la somme *' = 75 des 5 premiers termes de la première série, multiplié par 5 ; c'est ce que Ton vérifie facilement.

2" La première série formant une progression arithmétique dont le !•' terme est 3 et la raison 6, le 7i'*»« terme i donne

Ainsi, le cube entier 343 ayant 7 pour racine cubique, il est le tiers de la somme des 7 premiers termes de la première série, multiplié par 7 ; et le 7* terme de cette série est

3* La somme s' des n premiers termes de la première série considérée comme une progression arithmétique, étant égale k la moitié du produit de la somme de son premier terme 3 et de son n**»» t par le nombre n des termes, on a

LIY. lY— EXTRACTION DES RACINES AU MOYEN D* ADDITIONS SUCCESSIVES. 85

En remplaçant, dans cette expression, t par sa valeur du 2% il vient j'=3n«, d'où ^'=v et, par suite, en multipliant les deux termes par n,

Résultat annoncé au 1**.

4" Un cube quelconque C d'un nombre entier n est encore égal à six fois la somme des {n — i) premiers termes de la quatrième série, plus le nombre n des termes. Aiilsi Ton a

n» = 8« = 6 (1 + 3 + 6 + 10 + 15 -h SI! + 28) -h 8 = 6 X 84 + 8 = 512.

5" La somme S des cubes des n nombres entiers consécutifs à partir de Funité, ou des n premiers termes de la troisième série est égale au carré de la demi-somme du carré n* et de n. Ainsi Ton a

Ce qui donne, pour n = 8,

6* Pour avoir la somme des cubes des nombres entiers consécutifs dont le plus petit est n' et le plus grand w, on calcule, comme au 5% la somme S des cubes des n premiers nombres entiers consécutifs à partir de 1 , et la somme S' des cubes des n' — 1 premiers nombres entiers consécutifs aussi à partir de 1, et retranchant S' de S, on a la somme cherchée.

283. Extraction de la racijie carrée par des additions successives. Cette manière d'opérer repose sur ce que le carré d'un nombre entier n, augmenté du double de ce nonibre et d'une unité, donne le carré du nombre entier (n + 1) immédiatement supérieur (244).

Nous allons déterminer les 3 premiers chiffres a gauche de la racine en faisant usage de la table, comme au n" 279, et nous suivrons la méthode par additions successives pour obtenir les chiffres suivants, ce qui suffira pour faire bien comprendre comment on opérerait pour extraire la racine uniquement par cette méthode.

Soit à extraire la racine carrée, a moins d'un centième, du nombre 787512,74. L'opération se ramène (279, 2" cas du 2") h extraire la racine carrée, à moins d'une unité, du nombre 78751274 00, et à séparer 2 chiffres décimaux sur la droite du résultat.

La table donne, pour les trois premiers chiffres à gauche de la racine, le nombre 887, dont le carré, qui est le plus grand carré entier contenu dans le nombre 787512 formé par les 3 premières tranches à gauche du nombre proposé, est 786769.

86 PRBIClillI PAItTIE. — AMnBMÈIlQXm.

Gela établi, posant :

Carré de 8870 78676900

Double de la racine 8870, plus 1 17741

La somme ou le carré de 8871 est 78694641

Double de la racine 8871, plus 1 17743

La somme ou le carré de 8872 est 78712384

Double de la racine 8872, plus 1 17745

La somme ou le carré de 8873 est 78730129

Double de la racine 8873, plus 1 17747

La somme ou le carré de 8874 est 78747876

Double de la racine 8874, plus 1 17749

La somme ou le carré de 8875 est 78765625

Ce dernier carré étant supérieur au nombre formé par les 4 premières trancbes k gauche du nombre proposé, c'est celui de 8874 qui c«t le plus grand carré entier contenu dans ce nombre; donc i est le 4* chiffre de la racine.

Pour calculer le 5* chiffre, on opère comme pour le précédent :

Carré de 88740 7874787600

Double de la racine 88740, plus 1 17Ttat

La sonune ou le carré de 88741 est 7874965081

Double de la racine 88741, plus 1 177483

La somme ou le carré de 88742 est 7875142564

Ce dernier carré étant supérieur au nombre proposé, c'est que 1 est le 5* chiffre de la racine, et que, par conséquent, la racine demandée est 887,41.

Quant au reste, on Tobtient en retranchant du nombre formé par toutes les tranches le plus grand carré trouvé qui y est contenu, et en séparant sur la droite de la différence deux fois plus de chiffres décimaux qu'il n'y en a à la racine; on trouve ainsi que, dans Fexemple choisi, ce reste est 16,2319.

Remarquant que les doubles de racines, plus 1, que Ton ajoute successivement, augmentent de deux unités, on voit que Textraction de la racine se réduit ainsi uniquement k une série d'additions fort simples; et comme, pour chaque chiffre de la racine, le nombre de ces additions est 5 en moyenne, sans jamais dépasser 9, il en résulte que Ton peut, en moins d'une heure, calculer la racine d'un nombre de plus de 60 chiffres, ce qu'on aurait de la peine k faire en une demi-journée en suivant la règle ordinaire (242).

284. Étant donné le cube d'un nombre entier n, trouver celui de (n-f 4). Ona (247)

Comme 3n' est éi^l k la somme s dos n premiers termes de la première série 'T n* 282;, pour obtenir, par exemple, le cube de 21, con-

LIV. IT.— EXTRACTION DKS RAClKgS AD MOï*!* D'AiM)U10WS SUCCESSIVES. &7

Baissant celui de 20, on posera :

Cube de n = aO SOOO

Somme des termes *' = 3«« ou — =3x«0* ou —rr— . . . . lîOO n «u

• feis la FacÎDe n=iO • • • • <S0

Lufliti i

Faisant la somme^ elle sera le cube de 31, qui est bien 926t

28i$. Étant donnés les cubes de deux nombres «ntiers «onsécutifs n et n + 4, irouver celui du nombre entier immédiatement supérieur

On a d^ord (SS4), en désignant par d la diffërenee des cubes (ti + 1)' et n»,

Posant ensuite (284)

(n + 2)» = (n + 4)» + 3 (n + 1)« + 3 (71 + 1) + i ; d'où, en effectuant les calculs,

(n + 2)» = (n + 4)* + 3n« + 6n + 3 + 3n + 3 tjhd, et, par «aite.

r^près cela, ayant, :par exemple, 20>=:8(Me [et âi'^i)iS164^ pour détarniiner le <mbe de âS,, puis aeiui de id, .elc, on poaara.:

Cube de 31 (*»4) 9201

TMflôronce <£=1Ï>— K)« IMl

•S (m +1), «« • <oiB la ranM'tl liS

Faisant la sonmie, elle donne le cube de 2S, qui est lOSiS

Différence de ce cube au précédent i 387

6 fois la racine JIS. . ^ • .. ^ - « . • ... . « US

n «ubo'fc «3 19167

286. Extraction de la racine cubique par des additions successives. En s*iqipD3aBnt sur ce .qui a. été éA an >dbuK nnnwros précédents, on peut, cvHnnie pour la racine carrée (288), extraire la racine cubique au moyen d'additions successives.

ïfioit, par exemple, à extraire la racine cubrqtic, \ moins d'un millième, te membre 97002,1^1669. LV»pératron se ramène (280, 2% 2* cas) à extraire hi*«a«ne calHqiie, à moins d'une nnité, du nombre 97062526^90000, ét>k sépiarcr 3 chiffres •décimauKSur la droite du rcsuttat.

tba table donne, pour les 3 premiers diiffires it-gattche de la racine, le nombre 459, dont le *eube, qui est le plus grand cube entier contenu ans %e nombre 97 062 526 formé par les '3 premières' tranches k gauche du nombre dont on a été amené à extraire la racine, est 96702579.

88 FREHIÈRE PARTIE. — ARITHMÉTIQUE.

Cela établi, on pose, en remarquant que la table donnant 210681 pour le carré de 459, trois fois le carré de 4590, c'est-a-dire la somme *' des termes de la progression, est 21 068 100 x 3 = 63 204 300.

Cube de iSOO 96702579000

Triple carré de la racioe 4590 63104300

3 fois la racine 4590 13770

L'unité 1

Somme ou cube de 4591 (S84) 96765797071

Différence entre ce cube et le précédent 63218071

6 fois la racine 4591 27546

Somme ou cube de 4592 (285) 96829042688

Différence entre ce cube et le précédent 63245617

6 fois la racine 4592 27552

Cube de 4593 96892315857

Différence entre ce cube et le précédent 63273169

6 fois la racine 4593 27558

Cube de 4594 96955616584

Différence entre ce cube et le précédent 63300727

6 fois la racine 4594 27564

Cube de 4595 970189U875

Différence entre ce cube et le précédent 63328291

6 fois la racine 4595 27570

Cube de 4596 97082300736

Ce dernier cube étant supérieur au nombre formé par les 4 premières tranches à gauche du nombre proposé, c'est celui de 4 595 qui est le plus grand cube entier contenu dans ce nombre; donc 5 est le 4" chiffre.

Pour calculer le 5* chiffre, on opère comme pour le précédent; mais on remarque d'abord que, pour obtenir le triple carré de 45950, on pourra simplifier les calculs en décomposant ce nombre en 45 900 et 50, et en posant (240) :

Carré de 45 900, qui s'obtient en écriyant 4 léros à la

droite du carré de 459, que donne directement la table. 2106810000

Carré de 50 2500

Somme de ces trois parties ou carré de 45950 2111402500

Multipliant par 3, on a pour le triple carré 6334207500

Cette manière de calculer le carré ou le triple carré d'un nombre formé en écrivant un et même plusieurs chiffres à la droite d'un autre nombre, dont on connaît le carré, peut souvent permettre d'abréger des calculs pénibles ; c'est ce qui arrive, par exemple, dans l'extraction de la racine cubique, où l'on a besoin de calculer successivement le triple carré de la partie de racine obtenue {%k% et 280).

Cela établi, on calculera le 5* chiffre cherché en formant le tableau, suivant d'opérations :