PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES

528. Une suite de nombres croissants ou décroissants, tels que le rapport arithmétique de chacun d'eux à celui qui le précède immédiatement est constant (292), forme une progression arithmétique ou par différence. Ces nombres sont les termes de la progression, et le rapport constant de chaque terme à celui qui le précède immédiatement en est' la rawon. Ainsi les nombres 4, 7, 10, 13, 16 forment une progression, arithmétique croissante dont la raison est 7 — 4 ou 3. On récrit :

et on rénonce : comme i est àl est à 10 est à 13, etc.

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110 FREUlftRE PARTIE. -^ idUTHVéTIQUE.

Bêtnaf^que. Les mômes nombres écrits dans un ordre inverse donnent la progression arithmétique décroissante

Tl6.i3.i0.7.4. {b}

320. On n*altèrc pas une progression arithmétique lorsqu*on augmente ou qu'on diminue tous ses termes d'une môme quantité (4% 27) ; on ne Faltère pas non plus quand on multiplie ou quand on divise tous ses termes par un môme nombre, mais la raison est multipliée ou divisée par ce nombre (33 et 60).

530. Suivant qu'une progression arithmétique est croissante ou décroissante, chaque terme est égal au premier plus ou moins la raison prise autant de fois qu'il y a de fermes avant celui que Von considère. Ainsi, dans la progression (a) le 5* terme est 4 + 3 x 4 = 16, et dans la progression (6) le 3* terme est 16 — 3 x 2 = 10.

331. La somme de deux termes également distants des extrêmes est égale à la somme des extrêmes dans une progression arithmétique Ainsi, T 4 . 7 . 10 . 13 . 16 donne

332. La somme s des termes d*une progression arithmétique est égaie au produit de la demi-somme des extrêmes par le nombre des termes de la progression. La progression ci-dessus donne

533. Pour insérer un certain nombre de moyens arithmétiques entre deux nombres donnés^ on détermine la raison de la progression qui doit en résulter, ce qui se fait en prenant la différence entre les deux nombres donnés et en divisant cette différence par le nombre de moyens augmenté de 1. Ajoutant successivement cette raison au petit nombre donné et aux sommes obtenues, on obtient les divers moyens.

Soit a insérer 3 moyens entre 4 et 28.

La raison est ., , ^ = -— = 6,

et ajoutant 6 à 4 et successivement aux sommes obtenues, on a f4. 10. 16. 22. 28.

On arriverait au même résultat en retranchant la raison 6 du grand nombre 28 et successivement des restes obtenus.

334. Quand le nombre des moyens arithmétiques à insérer est une puissance de 2 diminuée de 1, on peut trouver directement ces moyens arithmétiques en prenant une moyenne arithmétique entre les deux nombres donnés (309); puis une moyenne arithmétique entre chacun des nombres donnés et le terme trouvé, et ainsi de suite.