Introduction à la théorie de l'énergie
Une des principales propriétés du mouvement des corps consiste dans Taptitude à vaincre ou à détruire des obstacles matériels.
Cette aptitude est une grandeur susceptible d^augmentation et de diminution, comme on dit en Mathématiques. A ce titre, elle doit pouvoir être mesurée, c'est-à-dire être rapportée à une autre grandeur déterminée et de même nature, de même qu'on rapporte les longueurs au mètre, les surfaces au mètre carré, etc.
Dans les pages qui suivent, on se propose de fixer les principes de Mécanique rationnelle sur lesquels repose cette mesure. On y trouvera l'occasion d'expliquer diverses notions ([u'il est indispensable d'avoir bien comprises et de posséder à fond, pour étudier avec fruit une branche quelconque de la Philosophie naturelle.
Les exemples qu'il faudra citer afin de donner un corps à
JucF/RET. — Énergie. i
des idées trop abstraites seront empruntés à ces diverses branches, et principalement à la science de l'Artillerie. Il est remarquable que celle-ci, obligée d'appeler à son aide quelques théories très élevées, leur est à son tour d'une précieuse utilité en les revêtant d'une forme concrète. C'est ainsi que tout le Calcul des probabilités prend une vie saisissante par la considération de l'arrivée du projectile, et la difficile question des Effets des forces sur un corps tournant, par celle de son trajet dans l'air.
'On verra ci-après que le tir du canon, en donnant de même un point d'appui concret aux principes fondamentaux de la Dynamique, en fournit l'exposition la plus claire.
La puissance de destruction dépend de deux choses qui se retrouvent au fond de tous les phénomènes naturels : la Vitesse et la Masse. Il faut d'abord considérer chacune d'elles séparément, et ensuite examiner comment elles se combinent ensemble pour produire leur effet commun.
La vitesse : notion d'une vitesse plus ou moins grande; notion d'une vitesse constante ou variable. — La masse. — Qu'est-ce que la matière? Qu'est-ce qu'un atome? — Les molécules; leur multitude; leurs intervalles; leurs mouvements; leur manière d'être dans les corps solides, liquides et gazeux. — Principe de l'indépendance de l'absolu. — Le temps et l'espace. — Loi de la conservation de la matière. — Mesure de la masse.
La notion de vitesse, laquelle en implique deux autres, celles d'espace et de temps, s'acquiert par la vue d'un objet quelconque en mouvement, par exemple, un corps qui tombe, un train de chemin de fer, un projectile, etc.
Du même coup, l'on acquiert aussi :
I® La notion d'une vitesse plus ou moins grande, -- Cette grandeur s'exprime par le nombre de mètres parcourus dans une seconde, et il ne faut pas nous en rap-
porter au sens de la vue pour sçn appréciation, surtout lorsqu'il s'agit d'objets éloignés. La plus grande vitesse de projectile constatée dans l'Univers est celle de la célèbre comète de i843, qui vint presque raser la surface du Soleil et, emportée à raison de 55oooo mètres par seconde, ne mit que deux heures pour en contourner tout un hémisphère.
2* La notion d'une vitesse constante ou variable, — Dans le premier cas, dont on ne voit jamais que des réalisations plus ou moins approchées, la vitesse s'obtient en divisant un trajet quelconque par le nombre de secondes employées à le parcourir. Dans le second cas, la vitesse augmente ou diminue d'une manière continue à mesure que le mobile s'avance : on peut en prendre comme exemple le train de chemin de fer approchant de la station où il doit s'arrêter. Le quotient que l'on vient d'indiquer ne donne alors que la vitesse moyenne relative au trajet pris pour diviseur, et change avec celui-ci. Si on le prend de plus en plus petit en maintenant toujours ses extrémités de part et d'autre d'un certain point M de la trajectoire, il tend généralement vers une limite déterminée, que l'Analyse infinitésimale nous apprend à calculer sous le nom de dérivée de l'espace par rapport au temps, quand le premier est connu en fonction du second. C'est cette dérivée qui est la vitesse au point M. Elle s'exprime encore en. mètres par seconde, étant sous-entendu que l'on n'a pas en vue le trajet fait réellement par le mobile pendant une seconde, mais celui qu'il ferait s'il continuait à marcher pendant cette seconde avec une vitesse demeurant constante et ayant la valeur en question. C'est une façon de parler qu'on emploie dans plusieurs autres circonstances (voir §§ 7, 15 et 27).
La masse est une qualité inhérente à chaque corps, indépendamment de son état de repos ou de mouvement, et de sa position par rapport aux autres corps de l'Univers. Elle résulte de la quantité de matière, c'est-à-dire du nombre des atomes que le corps renferme.
Qu'est-ce qu'un atome? Qu'est-ce que la matière elle-même, cette chose que tout le monde croit connaître et que personne ne connaît, cette entité qui se cache sous les apparences phénoménales et en constitue le fond, et dont une Ecole fait le Dieu de l'Univers, tandis qu'une autre ne lui reconnaît même pas l'existence?
Il ne faudrait pas juger des atomes d'après les corps qui affectent nos sens, et dont on imagine quelquefois qu'ils ne diffèrent que par leurs dimensions. C'est une idée fausse, car aucun des éléments de la sensation que nous procure la présence d'un corps ne saurait être appliqué à l'atome, pas plus que la plupart des propriétés que nous reconnaissons dans les corps, telles que la dureté, la mollesse, l'éclat, la couleur, la densité, la flexibilité, l'élasticité, la sonorité, la dilatabilité, la ténacité, la fragilité, etc.
Il n'en reste qu'une : l'étendue, cette propriété que nous nous représentons au moyen de trois dimensions, sans qu'il nous soit possible de dire pourquoi notre esprit se refuse à en admettre un nombre plus grand ou plus petit.
Dans ses calculs, le mathématicien trouve souvent commode de réduire à zéro les trois dimensions de l'atome, c'est-à-dire de le considérer comme un simple point géométrique, siège des diverses activités qu'il est obligé de lui attribuer et dont la masse est une des résultantes.
Cette idée de V atome inétendu ^ à laquelle on s'est ainsi habitué peu à peu, a fini par s'imposer à la plupart des savants et des philosophes comme devant être l'expression de la réalité (* ), et par leur faire abandonner l'autre conception de l'atome, plus ordinaire, mais moins simple, savoir : un volume d'une figure déterminée^ impénétrable, incompressible, indilatable, indéformable, ayant une densité uniforme infinie, jouissant dans toutes ses parties d'un équilibre stable et absolu.
C'est que tous ces mots impliquent essentiellement la notion àe force, et, même avec le secours de celle-ci, on n'arrive guère à se représenter la différence qu'il peut y avoir entre le dedans et le dehors d'un pareil volume. Or la force, qui intervient également, mais seule, dans la perception que nous avons des corps à l'aide de nos sens, est suffisante pour l'explication des phénomènes. Lui adjoindre, en quelque sorte à litre de support, un volume dont le contenu n'est pas définissable et dont l'enveloppe présente tout à coup une résistance infinie, ce n'est pas seulement s'embarrasser d'une chose inutile : c'est encore supposer à l'élément dont on ne peut se passer une discontinuité qui n'est guère rationnelle.
(') L'idée de l'atome inétendu a été mise en ayant par le P. Boscowich, yers le milieu du siècle dernier. Dans le monde savant, elle a été hautement patronnée par Ampère, Faraday^ Cauchy, de Saint-Venant; dans le monde philosophique, elle a eu les adhésions de Dugald-Stewart, Victor Cousin, Vacherot, etc. ( Voir, par exemple, un article de ce dernier dans la Revue des Deux-Mondes du i5 août 1876, p. 55.)
Au reste, la nature des atomes importe peu au savant, car il n'a jamais affaire directement à eux, les corps que nous connaissons ayant pour éléments constitutifs, non pas les atomes eux-mêmes, mais des agglomérations d'atomes qui ont reçu le nom de Molécules,
Au contraire des atomes, celles-ci sont quelque chose de semblable aux corps, dont elles partagent les propriétés physiques et dont elles ne diffèrent que par l'échelle. A leur tour, elles doivent être conçues comme formées d'une manière analogue par des agglomérations plus petites, et ainsi de suite.
Le savant, mieux partagé à cet égard que le métaphysicien, n'a nul besoin d'aller jusqu'au bout. Il lui suffit de pouvoir appliquer aux corps, aux molécules ou agglomérations du premier ordre, aux agglomérations du second ordre, etc., ce principe qui rend de si grands services en Analyse et qui consiste à négliger toute valeur appartenant à un certain ordre en présence de valeurs de même nature appartenant à l'ordre immédiatement supérieur.
En tout cela, la valeur absolue du terme le plus bas de la hiérarchie, par exemple la grosseur de l'agglomération du dernier ordre considéré par lui (ou de l'atome, si l'on veut) lui est complètement indifférente. Cette grosseur deviendraitelle tout à coup des milliards de fois plus grande ou plus petite, il n'en résulterait aucun changement dans ses formules, car le coefficient d'amplification ou de réduction serait toujours commun, avec le même exposant, aux deux membres de toutes les équations, et s'éliminerait de lui-même.
■8 CHAPITRE r.
D'autre part, rien, absolument rien, ne nous avertirait du changement survenu dans Téchelle de l'Univers, et c'est un bon exercice de raisonnement que de chercher à vérifier cette assertion pour les distances, les masses, les forces, les sons, les couleurs, les phénomènes des saisons, etc.
C'est ce qu'on appelle le principe de V indépendance de Vabsolu, principe qui est un utile critérium dans la recherche des lois de la nature. Il avait été très bien vu par Laplace qui dit, au sujet de la loi de l'attraction en raison inverse du carré de la distance : a Une de ses propriétés remarquables » est que, si les dimensions de tous les corps de l'Univers, leurs » distances mutuelles et leurs vitesses venaient à croître ou » à décroître proportionnellement, ils décriraient des courbes » entièrement semblables à celles qu'ils décrivent, en sorte Si que l'Univers offrirait toujours la même apparence à ses » observateurs. Ces apparences sont par conséquent indépen- » dantes des dimensions de l'Univers, comme, en vertu de la j) loi de proportionnalité de la force à la vitesse, elles sont » indépendantes du mouvement absolu qu'il peut avoir dans » l'espace. La simplicité des lois ^e la nature ne nous permet » donc d'observer et de connaître que des rapports. » {Exposition du système du monde, )
Cette agglomération qu'on assimile à un point sans dimensions, siège d'une masse plus ou moins considérable, varie d'ailleurs avec le théâtre sur lequel on opère. Dans la Mécanique chimique et dans beaucoup de théories physiques, par exemple VElasticité, c'est, ou la molécule, ou un élément encore plus infime; dans la Mécanique céleste, c'est, ou une planète, ou un système encore plus grandiose. Dans tous ces cas, les procédés de raisonnement et de calcul sont les mêmes; il n'y a guère de changé que les noms des choses et le but des recherches. Notre esprit peut bien éprouver quelque étonnement quand il passe d'un terrain à un autre; mais il s'habitue
vite, et aucun obstacle ne lui paraît infranchissable tant qu'il n'a affaire qu'à des rapports. Au contraire, il se dérobe obstinément en présence de l'absolu : c'est pourquoi nous ne concevons, ni le néant, ni l'infini, qui en sont des cas particuliers, et nous ne concevons pas davantage un terme intermédiaire quand nous voulons nous affranchir de tout moyen de comparaison.
L'impossibilité de concevoir l'absolu s'applique au temps lui-même, que nous ne connaissons et qui ne figure dans nos formules que par sa valeur relative, mesurée au moyen d'un certain mouvement pris pour type et considéré comme uniforme.
Ce mouvement n'est autre que celui de la Terre sur ellemême; il a pour unité principale le jour sidéral, dont les multiples sont les années et les siècles, et les sous-multiples les heures, minutes et secondes. Celles-ci sont mesurées par un autre mouvement qu'on cherche à régler autant que possible sur le premier, celui d'une aiguille sur un cadran.
Ce que nous appelons l'unité de temps est tout simplement une unité linéaire conventionnelle prise pour mesurer le mouvement type. En prenant la seconde pour unité de temps, et en ramenant au mètre cette unité linéaire conventionnelle, on voit que le temps n'est pas autre chose que la longueur parcourue par une aiguille d'horloge sur un cadran où l'arc correspondant à une seconde aurait un mètre de développement, cadran dont la circonférence mesurerait un nombre de mètres égal au produit 12 X 60 x 60, ou à 4^200, et dont le diamètre serait égal au quotient de ce nombre par 3, i4i6, ou à iSySS mètres.
Par les rapports de position qu'elles ont entre elles, les molécules déterminent ce que nous appelons le volume et la
lO CHAPITRE I.
forme, et difFérentient les corps au point de vue physique, tandis que les rapports de position qu'ont entre elles les agglomérations plus petites dont elles sont formées difFérentient ces mêmes corps au point de vue chimique. Nous pouvons écarter les molécules par Faction de la chaleur, et, en continuant cette action jusqu'à ce que Févaporation s'ensuive, les lancer à d'immenses distances les unes des autres. Nous pouvons aussi dissocier les molécules elles-mêmes par les opérations chimiques, mais cette dissociation n'est jamais que partielle ; l'analyse spectrale montre qu'elle est plus près d'être complète dans les astres qui sont plus incandescents que dans ceux dont le refroidissement est plus avancé (Logkter).
La continuité que paraît avoir la surface des corps, et dont l'idée nous est donnée par les sens de la vue et du tact, est donc une pure illusion. Nous sommes le jouet de la même illusion quand nous regardons une grande armée située à une distance très considérable : les intervalles entre les éléments de la troupe disparaissent, ainsi que les variations incessantes apportées dans ces intervalles par les mouvements que font les hommes, les compagnies ou les bataillons, et nous ne voyons qu'une tache sombre d'une seule pièce. Dans les deux cas, l'illusion vient de ce que les angles visuels soustendus par les éléments sont trop petits pour affecter individuellement notre œil; nous amplifions ces angles avec le microscope dans un cas et le télescope dans l'autre, mais seulement jusqu'à une certaine limite, au delà de laquelle la confusion persiste.
Comment ces petites actions, qui, individuellement, ne produiraient aucune impression sur notre œil, en produisentelles une par leur ensemble €t éveillent-elles en nous l'idée d'étendue? — On pourrait faire la même question pour le sens du toucher. On pourrait demander aussi pourquoi nous entendons le mugissement de la mer dans la tempête, alors qu'il n'est
autre chose que le résultat d'une multitude de petits chocs dont chacun n'existerait pas pour nous s'il était seul, etc. Ce sont des faits physiologiques dont l'étude est en dehors de ce travail (*).
Les molécules ont peut-être une constitution très complexe. En tous cas elles sont, relativement à nous, d'une petitesse qui confond notre imagination et dont on a pu récemment se faire une idée par des considérations empruntées :
A la séparation des couleurs dans la réfraction du rayon lumineux (Gauchy);
Au développement de l'électricité par le contact de métaux différents (Thomson);
A la tension que supporte la pellicule d'une bulle de savon (Thomson) ;
Au travail que représente la désagrégation d'un corps
( AtH AN ASE DUPRÉ ) ;
Aux phénomènes capillaires (Gaudin);
Enfin, à la limite de visibilité obtenue avec le microscope (Gaudin).
Ces procédés si variés s'accordent à montrer la distance moyenne des molécules comme étant, au plus, de l'ordre des dix-millionièmes de millimètre dans les corps solides et liquides. Un cube de un millimètre de côté ou, si l'on veut, une tête d'épingle, contiendrait donc, au moins, un nombre de molécules égal au cube de dix millions, c'est-à-dire à l'unité suivie de 21 zéros. Si l'on devait les compter, et qu'on
(*) Voir y dans V Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1842, comment Arago explique pourquoi une étoile au-dessous de la septième grandeur ne s'aperçoit pas à l'œil nu quand elle est isolée, tandis qu'une agglomération d'étoiles de grandeur beaucoup moindre est parfaitement yisible, comme le prouvent les nébuleuses; voir aussi l'article de F. Papillon, dans la Revue des Deux-Mondes du i" juin 1873, p. 700.
en détachât par la pensée un million à chaque seconde, on en aurait pour plus de deux cent cinquante millions d'années : l'être qui aurait commencé cette tâche à l'époque où notre système solaire n'était qu'une informe nébuleuse ne serait pas encore au bout.
Cette multitude inconcevable des molécules qui occupent un volume donné est un fait ayant plusieurs conséquences intéressantes au point de vue de l'économie de la nature.
Si leur nombre était faible, on pourrait, voir, par exemple, malgré le brassage continuel qui se produit dans l'atmosphère, certaines régions occupées exclusivement par des molécules d'oxygène et d'autres par des molécules d'azote. Mais qu'on calcule, chose facile, la probabilité qu'une pareille séparation se fasse pour un volume donné, par exemple un millimètre cube; on la trouvera tellement petite, à raison précisément du nombre immense des molécules, qu'on peut pratiquement considérer cette probabilité comme nulle, c'est-à-dire l'événement dont il s'agit comme impossible.
S'il nous est à jamais interdit de connaître l'essence des atomes, nous avons pu obtenir des données un peu plus nettes sur l'organisation et le mode d'activité de leur agglomération en molécules.
Nous savons que celles-ci sont dans un état incessant d'agitations, de chocs violents, de déformations, de luttes énergiques, dont on se fera une idée par ce fait que, dans le gaz
LA VITESSE ET LA MASSE. l3
hydrogène, à la température et à la pression ordinaires, chaque molécule est animée d'une vitesse de translation d'environ 2000 mètres par seconde (Joule), qu'elle est choquée par les autres et déviée de sa direction environ 17 milliards de fois par seconde (Clausius, Maxwell, Boltzmann), et que c'est le bombardement opéré par cette multitude de petits projectiles contre la' paroi enveloppante qui constitue la tension des gaz.
Ces vitesses qui animent les molécules du gaz ne tendent nullement à s'égaliser, comme on le croirait au premier abord. Elles sont et demeurent échelonnées au-dessus et au-dessous d'une certaine valeur moyenne suivant la loi générale des écarts, représentée par la courbe en forme de cloche, si connue des artilleurs (*).
Mais il y a une chose qui, dans une masse gazeuse parvenue à l'état de régime permanent, s'est égalisée en vertu du raisonnement présenté à la fin du paragraphe précédent (') et dans la mesure indiquée : c'est le nombre des vitesses de chaque grandeur qui traversent un millimètre carré ou un millimètre cube, en quelque région de la masse gazeuse qu'on prenne cette surface ou ce volume. Comme on en peut dire autant pour le nombre de molécules de chaque espèce ou de chaque poids, on en conclut qu'il se trouve dans les diverses régions, non seulement la même composition, mais encore :
i<* La même pression par millimètre carré;
1^ La même quantité de matière par millimètre cube (densité);
3* La même somme de forces vives {voir plus loin § 10) par millimètre cube ;
(') Voir notre Ouvrage : Les Projectiles, Chap. VII. (') On trouvera, au § 40, encore une application du même raisonnement.
l4 CHAPITRE I.
4® La même quantité de chaleur {voir § 28) par millimètre cube;
5° La même température {voir § 28).
Dans l'air atmosphérique, la vitesse moyenne des molécules est environ quatre fois, et le nombre des collisions, deux fois moindre que dans l'hydrogène. Le trajet moyen de chaque molécule entre deux chocs consécutifs, ou, comme on dit, leur moyenne de libre parcours, y est d'environ un dixmillième de millimètre, et l'intervalle de temps compris entre ces chocs, de un cinq-millionième de seconde. Leur diamètre moyen (*) n'est pas inférieur à cinq dix-millionièmes de millimètre.
Dans les liquides, la vitesse des molécules est moindre que dans les gaz, et surtout leur moyenne de libre parcours. Il en résulte une sorte d'enchevêtrement qui fait que les molécules occupant une position superficielle peuvent seules se séparer des autres; celles qui sont engagées dans la masse conservent néanmoins une certaine indépendance, consistant en ce que leurs excursions ne sont pas limitées, c'est-à-dire que chacune d'elles peut, comme chez les gaz, se trouver successivement dans toutes les parties de l'espace occupé par le fluide.
Dans les corps solides enfin, où un volume donné renferme de cinq à seize mille fois plus de molécules que dans les gaz, ces molécules, bien qu'animées toujours de très grandes vitesses, sont tellement solidaires les unes des autres qu'elles ne peuvent exécuter que des mouvements de va-et-vient ou
(') Observant qu'à raison de leur élasticité les molécules sont sans cesse déformées par les chocs, on appelle diamètre moyen la moyenne de la plus courte distance des centres dans un grand nombre de ces chocs. Entre la moyenne de libre parcours et ce diamètre moyen, il y a une relation à laquelle Clausius a été conduit par une simple application du Calcul des probabilités.
LA VITESSE ET LÀ MASSE. l5
de circonvolution, comme si chacune gravitait autour d'un centre, ou si elles gravitaient autour de certaines d'entre elles. L'amplitude de ces oscillations est bien au-dessous de la limite que nous pouvons percevoir, même avec le secours des plus puissants télescopes.
Outre ces mouvements de translation, les molécules ont encore, comme conséquence obligée de leurs collisions, des mouvements de rotation sur elles-mêmes et des vibrations intestines. Les vitesses de ces autres mouvements suivent une progression inverse de celle de la translation : elles vont en croissant de l'état gazeux à l'état liquide, et de celui-ci à l'état solide; dans un même corps, elles augmentent quand la température diminue.
Cette chose dont l'image renversée se peint sur notre rétine et que nous appelons un corps, par exemple un boulet de canon, est donc loin d'être l'unité et la réalité que nous croyons voir. Ce n'est que le volume apparent formé par les molécules et leurs intervalles moyens, que l'enveloppe idéale en dedans de laquelle elles s'agitent. Telles, ces masses tourbillonnantes que forment parfois les moucherons au coucher du soleil et qui annoncent une belle journée pour le lendemain.
Nous disons qu'un corps est en mouvement quand nous voyons changer les rapports de position entre le volume apparent qu'il nous présente et d'autres volumes apparents que nous considérons comme fixes. Mais ce mouvement n'a pas plus d'unité que le corps lui-même : ce n'est que l'impression
l6 CHAPITRE 1.
résultante faite sur nous par Fensemble des mouvements individuels des molécules.
Ce qui est dit du corps s'étend à celles-ci, dont le mouvement n'est pas une chose simple, mais résulte à son tour de l'ensemble des mouvements d'agglomérations plus petites. Comme pour la matière {voir § 3), le savant n'a pas besoin d'aller plus loin. Le métaphysicien, s'il veut aller jusqu'au mouvement simple, ne peut pas le concevoir avec un atome où il y ait des parties existant les unes en dehors des autres, car les parties situées du côté concave de la trajectoire auraient une vitesse moindre que celles situées du côté convexe, et le mouvement ne serait pas simple : on est ainsi ramené à l'atome inétendu (§2).
Il faut assurément des raisons impérieuses pour admettre, là où nos yeux voient un calme parfait, l'existence d'une agitation pareille à celle qu'on vient de décrire. Ces raisons résultent de l'ensemble des phénomènes de mouvement et de transmission de mouvement; une, au moins, sera formulée plus loin d'une manière explicite {voir § 30).
Mais, s'ils nous échappent au point de vue de l'étendue, les mouvements des molécules affectent nos sens d'une autre manière. Transmis parle milieu dans lequel nagent les atomes comme des flotteurs dans la mer, — milieu qui a très probablement aussi la structure corpusculaire, bien que quelques auteurs le supposent amorphe ou fluidique, — ils nous font éprouver la sensation de chaleur, dont l'intensité dépend de leur amplitude et de leur rapidité. Quand cette rapidité est comprise entre certaines limites, peu étendues, mais très élevées, ils affectent en outre notre œil sous le nom de lumière. Ils produisent encore, par l'intermédiaire du même milieu, les phénomènes de l'électricité, du magnétisme, etc.
En outre de ces mouvements, qui ne tombent pas sous nos sens, et qu'on appelle les vibrations moléculaires, les molécules subissent encore, sous l'empire des agents chimiques, physiques et mécaniques, des déplacements de grandeur sensible, accomplissent de véritables voyages, et passent d'un corps à un autre, d'un système à un autre.
C'est ainsi que notre propre corps se renouvelle presque entièrement dans l'espace de quelques mois, et entièrement dans celui dequelques années, venant de l'état gazeut ety retournant.
Dans ces migrations incessantes, dans ces échanges perpétuels, l'atome reste le même : il est indestructible. C'est ce qui constitue la grande loi de la conserK^ation de la matière, à laquelle on s'est élevé peu à peu par l'observation, et que Lavoisier établit définitivement en donnant pour base à la Chimie la m,esure des masses.
Comment se fait cette mesure?
Il a été dit plus haut que la masse d'un corps dépend du nombre d'atomes qu'il renferme. On constate les différences de masse de plusieurs corps par la grandeur de l'effort qu'on est obligé de faire pour leur imprimer le même mouvement, c'est-à-dire leur communiquer la même vitesse dans le même temps. La masse constatée dépend donc à la fois de l'effort exercé et de la vitesse qui en est la conséquence. Elle est d'autant plus forte que le premier est plus considérable, et d'autant moindre que la seconde est plus grande. Il est naturel de prendre pour sa mesure le quotient du nombre qui exprime celui-là par le nombre qui exprime celle-ci. JocFFRET. — Énergie. a
l8 CHAPITRE I.
Lorsqu'un corps est immobile, sa masse se manifeste encore par la pression verticale qu'il exerce de haut en bas sur son appui. Le résultat de cette pression est ce qu'on appelle le poids du corps ; il s'exprime en kilogrammes, et nous le représenterons par la lettre P.
On peut, et on doit, le considérer comme représentan t l'elFort en vertu duquel le corps se meut lorsque l'appui vient à être supprimé. L'observation nous apprend :
i<* Que le mouvement qui commence alors s'accomplit suivant la verticale avec une vitesse variable qui, à Paris et dans
le vide, a la valeur
au bout de la première seconde ;
2° Que cette vitesse continue à croître et que l'accroissement est encore de 9'",8i pendant chacune des secondes suivantes.
Nous prendrons donc pour mesurer la masse d'un corps, à Paris, le quotient de son poids par le nombre 9",8i, c'està-dire que nous poserons, en désignant celui-ci par g,
Le numérateur et le dénominateur de cette expression peuvent varier l'un et l'autre quand on change de localité, car ils dépendent de la distance au centre de la Terre (*); mais leur rapport demeure invariable, comme le montre l'observation, et comme on devait s'y attendre.
Si l'on trouve le moyen de soustraire des corps à l'action de
(*) Porté à la distance de la Lune, le corps qui pèse i kilogramme à Paris ne pèserait plus que 87 centigrammes. Sur le Soleil, le même corps pèserait 28 kilogrammes.
la pesanteur et de les soumettre à tout autre agent producteur de mouvement, on constate que les vitesses, ou les variations de vitesse, obtenues dans des temps égaux sont inversement proportionnelles aux masses déterminées comme il vient d'être dit. Le fait est réalisé très approximativement :
Pour des trains plus ou moins chargés que met en mouvement une même locomotive ;
Pour des projectiles plus ou moins longs, ou plus ou moins denses, que lance une même charge de poudre dans le même
canon ;
Pour des sphères formées de métaux différents et ayant le même diamètre extérieur, placées sous Tinfluence d'un corps électrisé, etc.
Ces constatations justifient la définition de la masse et nous conduisent à donner à la formule
Pzz: ing
une extension importante.
De ce que la pesanteur augmente de la même quantité pendant chaque seconde (9",8i à Paris) la vitesse d'un corps soumis à son action, an aura déjà conclu que cette action conserve la même intensité pendant toute la durée de la chute. La conclusion serait inexacte s'il s'agissait d'un corps venant de très loin, comme dans un problème qu'on verra au § 18; mais elle a une exactitude qui ne laisse rien à désirer pour toutes les expériences faites à la surface de la Terre, parce que l'espace parcouru est toujours excessivement faible en comparaison de la distance au centre d'attraction, qui est ie centre de la sphère terrestre.
Or les exemples que l'on vient de citer, et dans lesquels le mouvement est produit par d'autres agents que la pesanteur, montrent que cette condition d'une intensité demeurant constante peut aussi se rencontrer avec ces autres agents,
30 CBJkriTftff t.
au moins dans certaîa^^ luMle> ^ le«bft^ <rt drapfirtK3LÎiiiaUon. Alors, aux valeurs qui «îmI êttr <lir<i^»<^K> for P et ^« il correspond deu\ autres valeurs qiie >v«£S ftMnnMkS dèsisrner par F el j\ et leur rapport est ew^x^re e:cal à la aMi^:^. c'est-à-dire
«pie Ton a
La chose représentée pair U lelln?/ est parlfailewent claire : cVsl la vitesse qui est créée p^^tt^iJlul cWqiie seconde el qui s'ajoute à celle déjà existante. RetAtiv eme^ t à la cho^e représentée par la lettre F. nous sd»\s>ns qu'elle est homogène avec P (de même que j axec ^ . c'est-è-dire qu'elle exprime des kilogrammes. De plus, nous >*>wimes OiMiKluits. toujours par analogie avei* ce que nous axons tjiit |H^wr l« pesanteur, à la prendi-e comme mesure de U pnissaiHV qui détermine le mouvement. Colle deuxième idée seM |Mre\n>ee et complétée dans le Chapitre suivant, mais dis^Mis de suite que la iirandeur dont il s'a^il a reçu le nom de /^t^rvY.
Remarquons en lassant que la notion de la masse ou celles de pression. dViVort. de |H>ids. sur les4]ueUes elle repose, sont seules aptes à fournir au métaphxsicien une définition correcte de la matiéiv. définition dont nous n'axions nul besoin i<*i. Elles constituent une hase sur laquelle il |>eut s'appuyer en toute sécurité, comme on le dém«mtrera au Chapitre VUl. II n'en est pas de même |H>ur les itUVs d'étendue et d'impénétrabilité, qui ont paru suflisantes i^ndant quelque temps.
On a vu plus haut que la pivmiéiv. à laquelle se rattache celle de continuité, est éveillée en nous par des sensations, c'esl-à-dire des faits purement dxnamiques. tenant à des rapports de position entre les éléments simples des cor|>s. éléments sur lesquels nous ne savons rien et auxquels cette idée ne s'applique peut-être pas.
Au reste, Fétendue, si elle est quelque chose de plus qu'une idée, une sensation ou un rapport, ne saurait constituer, pas plus que la durée, une partie essentielle des corps, mais seulement une condition de leur existence.
L'idée d'impénétrabilité est également éveillée en nous par une sensation, savoir la résistance que nous ressentons au contact des corps. Mais nous ne pouvons attribuer à cette sensation qu'une valeur relative et qu'une confiance modérée, car nous savons que le contact n'est qu'apparent; bien des faits nous montrent même que l'idée d'impénétrabilité est fausse en ce qui concerne les corps eux-mêmes, celui-ci, par exemple, que le mélange d'un litre d'eau et d'un litre d'alcool donne un volume moindre que deux litres.
Théorème de l'impulsion. — Recul du canon. — Expériences du général Mayewski à Essen. — Première définition de la force. — Unités de masse et de force.
Masse et vitesse, voilà donc, pour revenir au problème posé dans rintroduction, les deux choses desquelles dépend la puissance qui a son siège dans le mouvement. Mais quelle fonction de l'une et de Tautre faut-il prendre pour avoir une mesure de cette puissance?
Il est d'abord évident que celle-ci doit être proportionnelle à la masse, car deux, trois, ... corps égaux, animés de la même vitesse, produiront un effet deux, trois,... fois plus considérable qu'un seul.
Il est évident aussi qu'elle doit augmenter avec la vitesse. Supposons d'abord qu'elle lui soit également proportionnelle; alors la puissance du mouvement sera exprimée par le
produit
wr,
qu'on appelle la quantité de mouvement^ et qui joue en effet un rôle important dans un assez grand nombre d'applications.
La quantité de mouvement peut s'écrire sous une autre forme
qu'il importe de connaître.
Reprenons l'égalité
F = mj\
établie dans le paragraphe précédent pour le mouvement que produit une action toujours semblable à elle-même, c'est-àdire mesurée par une force constante F. Il résulte de la définition dey que le mobile a acquis une vitesse égale à y au bout de la première seconde, à ij au bout de la deuxième,... et à tj au bout d'un nombre de secondes désigné par t. En représentant cette dernière vitesse par i^, nous pouvons donc dire que y est le quotient de v par t, et, en le remplaçant par cette valeur dans l'égalité ci-dessus, il vient
La quantité de mouvement acquise par le mobile est donc égale au produit de la force par la durée de l'action. Sous la forme mp, on a la mesure de l'effet, et sous la forme F^, qui s'appelle Vinipulslon, on a la mesure de la cause.
Considérons, par exemple, un canon chargé. Si Tony met le feu, le projectile part dans un sens, accompagné d'une partie des gaz enflammés fournis parla combustion de la poudre, et le canon marche dans l'autre sens, avec le restant des produits de la combustion. La quantité totale de mouvement qui existe dans le premier sens est égale à celle qui existe dans le seconde Chacun de ces deux produits mesure le résultat de l'action exercée sur le mobile correspondant par la force terrible qui
était comme assoupie dans la poudre et que Tétincelle de rétoupille a brusquement éveillée. Chacun d'eux dépend à la fois de la grandeur F de cette force et du temps t pendant lequel, le mobile a subi son influence; il doublera si vous doublez la force, ou si vous vous arrangez de manière à la faire agir pendant un temps double ; par conséquent, rien de plus naturel que de le trouver égal au produit de la force par le temps.
Lorsque Ton considère un mobile, non pas à partir de l'instant où il sort du repos, mais à partir de l'instant où il possède déjà une vitesse v^, l'impulsion pendant le temps t est toujours égale à la quantité de mouvement acquise par lui pendant le même temps; celle-ci se présente alors sous la forme d'une
différence, savoir
Le premier membre n'est autre chose que l'aire d'un rectangle ayant pour base le temps t, figuré à une échelle convenue, par exemple un millimètre par seconde, et pour hauteur la force F, figurée également aune échelle convenue, par exemple un millimètre par kilogramme.
Tout cela suppose que l'agent moteur reste semblable à luimême pendant le temps t. S'il n'en est pas ainsi, on doit prendre pour le premier membre la valeur moyenne du produit F ^. Dans certains cas, cette valeur moyenne pourra être tout simplement le produit de t par la demi-somme des valeurs initiale et finale de F, ou, ce qui revient au même, l'aire d'un trapèze ayant pour base le temps t et pour hauteur ces valeurs initiale et finale. Dans le cas le plus général, et cet énoncé embrasse les précédents, elle sera l'aire d' une courbe ayant pour base le temps t et pour ordonnées les valeurs successives de la force.
L'exemple qu'on vient de citer est de ceux où la force motrice présente des variations énormes, bien que toute Faction se passe en un temps très court, car le projectile met moins d'un centième de seconde pour accomplir son trajet dans l'âme du canon. Cette force motrice, qui n'est autre chose que la tension des gaz, croît d'abord très rapidement, parce que les premiers instants de la combustion fournissent des gaz en grande abondance; la production se modère à mesure que les grains de poudre diminuent de volume, et en même temps la tension baisse, parce que le déplacement du projectile agrandit l'espace dans lequel il est permis aux gaz de se développer. Aussi la courbe qui représente la force, et dont il faut évaluer l'aire pour avoir l'impulsion, s'élève d'abord presque verticalement; elle a déjà atteint son point culminant au bout de quelques millièmes de seconde et lorsque le projectile ne s'est encore avancé que de quelques centimètres; après ce maximum, elle descend assez vite, puis change le sensde sacourbure et finit par devenir presque parallèle à la base, à laquelle elle serait asymptote si la longueur du canon était indéfinie.
La fig, I représente une courbe de ce genre, obtenue dans des expériences faites à l'usine Krupp, en i864, par le général russe Mayewski, avec un canon de 4 rayé prussien. Ces expériences sont remarquables en ce que, pour la première fois, des questions de ce genre furent étudiées empiriquement et avec succès. Il n'entre pas dans l'esprit de ce travail d'indiquer, même sommairement, les procédés très ingénieux qui furent employés et qui, d'ailleurs, sont remplacés aujourd'hui par d'autres à la fois plus exacts, plus commodes et plus puissants (*).
( * ) Les pressions sont mesurées au moyen de petits appareils dont le nom, appareils poinçonneurs, indique suffisamment le principe. Ces appareils sont vissés dans des trous échelonnés à diverses distances du fond de l'âme, et traversant de part en' part la paroi d'un canon sacrifié à cet effet.
En élevant une ordonnée quelconque AN et évaluant l'aire OMNA, on a l'impulsion au temps t — OA., c'est-à-dire, dans l'espèce, cinq millièmes de seconde après la mise du feu. En divisant ensuite par la masse, on a la vitesse au même instant; et, en faisant cette opération un certain nombre de fois, on a
ff
Échelle des durées ^n iDillièmes de seconde
pu construire la deuxième courbe tracée sur la figure, qui est celle des vitesses.
L'aire totale se termine au point o',oo74i nombre qui représente le temps mis par le projectile pour arriver à la bouche de la pièce. Cette aire est la quantité de mouvement avec laquelle le projectile commence sa trajectoire extérieure
el elle mesurerait, suivant les principes du présent Chapitre, la puissance de destruction qu'il possède.
Nous pouvons maintenant préciser et compléter cette importante notion de la/o/'ce, déjà indiquée dans le § 5 et visée plus d^une fois dans le § 6.
On voit que la force mesure ce qui produit de la quantité de mouvement, ou augmente d'une certaine valeur une quantité de mouvement existante. Mais cet effet ne saurait se produire instantanément, et le théorème de l'impulsion, exprimé par Tégalité
montre que la force est égale à la quantité de mouvement produite divisée par la durée de V action^ ou encore, en prenant toujours la seconde pour unité de temps, à la quantité de mouvement produite par seconde.
11 faut ajouter que la force n'a pas toujours pour résultat de produire de la quantité de mouvement, mais qu'elle peut avoir aussi celui de diminuer ou de détruire une quantité de mouvement existante. Tel est le cas de la pesanteur, agissant sur un corps lancé de bas en haut.
Lorsqu'il en est ainsi, on doit évidemment changer le signe de \\\\\ des deux membres de l'égalité ci-dessus.
Si la variation de la quantité de mouvement n'est pas la même à tous les instants, il convient de considérer une durée excessivement petite pour avoir la mesure de la force à
un instant donné, qui sera le milieu de ladite durée. Le quotient en question, lequel varie aussi d'un instant à un autre, devient alors la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps (comparez, § 1, 2<»).
Dans ce cas, et pour nous conformer à Tusage, nous, continuerons à dire que la force est la variation de la quantité de mouvement par seconde. Ainsi qu'il a été expliqué § 1, ceci doit être entendu, non pas de la variation qui se produit effectivement pendant une seconde, mais de celle qui se produirait pendant ce même temps si, à partir de l'instant considéré, elle demeurait uniforme.
Cette dérivée, la force, a, bien plus encore que la quantité de mouvement^ une importance extrême dans la Mécanique rationnelle. Mais il ne faut voir sous ces deux mots que des conceptions abstraites, des expressions abréviatives adoptées pour faciliter le langage (*). C'est seulement en étudiant une deuxième manière d'exprimer la puissance d'un corps en mouvement que, sous le noïn à^énergie, nous trouverons encore un être réel constituant', au même titre que la matière, un élément de l'Univers.
Pour la science pure, l'unité de masse est la quantité de matière contenue dans le poids-étalon d'un kilogramme (ou dans un litre d'eau), et l'unité de force est celle qui, en agissant sur l'unité de masse pendant une seconde, lui communique une vitesse d'un mètre par seconde. Cette unité, qui résulte de la définition précédente, s'appelle Vunité absolue de Gauss : absolue, parce qu'elle est indépendante des varialions de la gravité aux différents endroits.
Dans la pratique de l'ingénieur, les forces sont assimilées à
(•) Voir plus loin, § 27.
3o CHAPITRE II.
des poids et mesurées, comme eux, en kilogrammes. L^unité de masse est alors la quantité de matière dont le poids, en kilogrammes, est exprimé, à Paris, par le nombre 9,81.
Tel est le sens précis que nous attachons au mot force, et nous repoussons cette multitude d'autres acceptions avec lesquelles il entre dans le langage ordinaire ou demi-scientifique. De plus, il doit être entendu que ce nK>t n'a aucun rapport avec le mot composé /orce vive^ que Ton va voir apparaître.
LA FORCE VIVE. 3l
