III. — Moyenne de libre parconrs et nombre moyen des chocs

par seconde.

La moyenne de libre parcours, c'est-à-dire le chemin rectiligne L que parcourt en moyenne la molécule d'un gaz entre deux chocs consécutifs, se déduit de la considération au frottement intérieur, dont l'analyse qualitative a été donnée § 38, et dont il faut faire l'analyse quantitative (*).

Considérons une masse gazeuse, de hauteur indéfinie, s'écoulant au-dessus d'un plan horizontal : ce sera, par

(*) Des théories du frottement intérieur ont été données par

Navibr, Mémoires de l'Académie des Sciences, 1828 ;

Caucby, Exercices de Mathématiques, 1828;

Poisson, Journal de l'École Polytechnique, i83i;

De Saint-Veîiast, Comptes rendus, i843;

Etc.

LES MOLÉCULES. l63

exemple, la masse aérienne dont il a été question § 3^*, voyageant par-dessus la surface de la mer ou du continent. Faisant abstraction des tourbillons et des remous, lesquels sont produits par des circonstances particulières et sont une autre cause de déperdition d'énergie sensible, on peut regarder cette masse gazeuse comme formée de couches superposées qui glissent les unes sur les autres avec une vitesse d'autant plus grande qu'elles sont plus élevées au-dessus du fond : c'est ce que nous appellerons la vitesse db progression.

En outre de la vitesse de progression, qui est la même pour toutes les molécules d'une même couche, chaque molécule en possède une autre; pour l'ensemble, ces autres vitesses ont une multitude de directions différentes, et une multitude de valeurs différentes dont la moyenne est V. Ainsi qu'on l'a vu § 38, le résultat de cet état de choses est de lancer un certain nombre de molécules d'une couche dans la voisine, et vice versa; et, à raison de la grandeur de V, il est permis d'admettre que ce nombre n'est pas influencé par la vitesse propre des couches. Dès lors, nous pouvons attribuer à celle-ci une valeur arbitraire, et nous supposerons, pour simplifier, qu'elle suit une loi telle que, à une hauteur quelconque z (en mètres), elle est exprimée par le même nombre z, c'est-à-dire est

éfirale à -^•

Le plan horizontal situé à la hauteur z est traversé de bas en haut par des molécules venant de la région au-dessous de lui et ayant en moyenne leur point de dépari (leur dernier choc) entre les plans z et z — L. Une molécule m partie de la hauteur z — aL, a désignant un nombre moindre que l'uniléy avait, au moment de ce départ, une vitesse de progression

égale à • Si elle est lancée suivant la verticale, elle ar-

l64 NOTE A.

rivera à la hauteur z ~{- {i — a)L, où la vitesse de progression

ost • rar son lait, la quantité de mouvement de

la masse située au-dessus du plan z se trouvera diminuée de

z-\-{i — a)L z — aL mh jn — j)i ^^

\ raison de la symétrie des diverses directions relativement à la verticale, nous pouvons accepter cette expression comme représentant TefTet moyen de toutes les molécules qui passent au-dessus du plan z.

Combien en passe-t-il par mètre carré et par seconde?

Il en passerait ]\ V si toutes les molécules marchaient per- |)endiculairement au plan z et de bas en haut. Mais, comme elles ont toutes les directions possibles, on peut admettre, en vertu d'une décomposition trirectangulaire des vitesses semblable à celle faite pour le calcul de la pression, que le tiers de ce nombre seulement correspond à des directions verticales (*), et Ton n'en prendra que le sixième si Ton ne veut faire entrer en compte que des directions ascendantes.

Le nombre des molécules qui passent par mètre carré et par seconde, de dessous en dessus du plan z, est donc

(• ) Exact lorsqu'on n'a affaire qu'aux carrés des vitesses, comme dans l'article I, ce raisonnement cesse de l'être lorsqu'il s'agit des vitesses elles-mêmes, et ne doit plus être considéré alors que comme un moyen d'approximation. En parlant de la formule (i), on trouve que le nombre moyen des molécules qui traversent l'unité de surface, dans le mémo sens, est 5-NV. Mais le coefficient de l'équation (5) ne dépend pas de cette seule considération, et sa valeur la plus probable, au lieu dej ou ^,

paraît cire - = o,3j8, nombre intermédiaire.

(^ cette invasion diminue de

la quantité de mouvement que possède la masse d'air située au-dessus du plan z.

On démontrerait de même que les molécules qui traversent le plan z de haut en bas apportent dans la région inférieure, aux dépens de la région supérieure, une quantité de mouvement qui a la même valeur, et dont la perte s'ajoute à la précédente. En sorte que la perte définitive est

c'est ce qu'on appelle le coefficient du frottement intérieur des gaz. On voit que ce coefficient n'est autre chose que la ([uantité de mouvement soustraite de couche en couche par mètre carré et par seconde.

Le diviseur i» est conservé parce que la lettre L, suivant sa définition, désigne une longueur j tandis qu'elle correspond à une vitesse dans la formule : elle renferme implicitement le multiplicateur i™, mais non le diviseur i*.

Si l'on observe que chaque molécule décrit une trajectoin» formée de zigzags rectilignes dont la longueur moyenne est L, on en conclut que le nombre moyen des changements de direction, pour le trajet total V parcouru en une seconde, est

c'est le nombre moyen des chocs subis par cette moléculiî pendant le même temps.

l66 ' NOTE À.

L'inverse de ce nombre, savoir :

est la fraction de seconde qui s'écoule moyennement entre deux chocs successifs.

Divers procédés ont conduit à la détermination expérimentale de 7). Nous n'en citerons qu'un, indiqué par Coulomb en 1809, perfectionné depuis par O. Meyer et par Maxwell, consistant dans l'emploi de disques fixés sur une tige métallique qui les traverse en leur centre. On les fait tourner d'un certain angle en tordant la tige sur son axe, puis on abandonne l'appareil à lui-même, et il décrit une série d'oscillations dont Tamplitude va en décroissant à raison de diverses résistances, en particulier celle due au frottement intérieur des couches gazeuses entraînées par les disques. On élimine les autres résistances en variant les conditions de l'expérience, et l'on calcule Tj au moyen de formules que fournit la théorie de la torsion.

Quand on connaît t), on en déduit L par la formule

en y substituant les valeurs p et V données dans le Tableau 1. On a ensuite G par la formule (6).

Le Tableau suivant fait connaître : i* les valeurs de tj admises par O. Meyer pour les gaz mentionnés dans le Tableau I; 2° les valeurs qui en résultent pour L et C. Le centimètre y est pris pour unité.

Ces valeurs sont relatives à la pression ordinaire, ce que nous indiquerons en affectant de l'indice zéro les lettres P, L, C. La formule (5') n'est pas commode pour passer à d'autres

pressions, en raison de la présence du facteur t^, dont on ignore la relation avec P. Mais les équations (9) et (11), qui seront démontrées ci-après, ne contiennent pas t) et donnent

d'où Ton voit que le produit Lp est constant pour un même

gaz (*). Il en est dès lors de même pour le produit LP, et

Ton a

LP ^= LqPq,

relation permettant de calculer L pour toute valeur donnée de P.

Tableau IL