II. — Extension du principe de d'Âlembert

n points distincts ayant respectivement les masses

TWl, TWj, /Wj, . . ., m„

sont sollicités chacun par des forces connues, mais leurs déplacements sont soumis, d'autre part, à des liaisons ou autres conditions données ; on demandé de déterminer leur mouvement.

Désignons par

leurs coordonnées respectives au temps t\ considérons l'un d'eux en particulier, et appelons

(A) {Xi^ ^i,yi-\- P/, Zi-^ Y/)

la position où il arriverait au bout du temps t -\- dt sans l'intervention des conditions imposées. Nous pouvons la déterminer d'après le théorème précédent et la considérer, dans la question actuelle, comme le résultat d'un mouvement (relativement) libre. En général, l'ensemble des points (A) ainsi

obtenus sera en contradiction avec les conditions, et il s'agit de le changer en un autre

dans lequel ces contradictions n'existent plus.

Pour cela, il faudra encore appliquer le principe de moindre effort et, parmi toutes les valeurs imaginables des S, tq, Ç, choisir celles qui rendent minimum l'expression

le signe S portant sur les valeurs i, 2, 3, . . . , /i de l'indice i. Cette formule détermine le mouvement, mais il convient de la débarrasser des infiniment petits qu'elle renferme. A cet effet, appelons

W/, Çi, iVt

les vitesses dont le point W/ est animé parallèlement aux axes

à l'époque t, et

les composantes, suivant les mêmes directions, de l'ensemble des forces qui agissent sur lui à la même époque. Les composantes a/, p/, Y/ du déplacement qui correspondrait au mouvement libre, et celles Ç|, r,,-, Ç^- du déplacement qui correspond au mouvement réel, sont

I H/ , . ( ^ dzi , I d}Zi , .

' 1 rrii ^ dt 2 dt*

En substituant ces valeurs dans E et observant que

dx,' dvi dzi

"^=-dF' '^^-di' "''•^rfT'

l88 NOTE G.

nous voyons que le minimum dé Ë correspond à celui de l'expression finie

OÙ le signe 2 a toujours la même signification.

Si toutes les conditions sont exprimées par des équations, la condition du minimum de Z équivaut elle-même à Téquation

C^Zizr o,

qui n'est autre que celle {^voir la note de la page 47) que Ton obtient en appliquant le principe de d'Alembert combiné avec celui des vitesses virtuelles. Mais si, parmi les conditions, il y en a qui soient exprimées par des inégalités, c'est-à-dire se présentent sous la forme

y (-^i» J'i) -^1 î «^jj J^2> '^'îî •••) = o,

alors l'équation dL^=.o devient inexacte, tandis que le principe de Gauss, plus général que les deux autres, conserve toute sa valeur et fournit toujours la solution du problème.

Le principe de Gauss peut donc servir à résoudre toutes les questions qui se traitent d'ordinaire par celui de d'Alembert. Reconnaissons toutefois que ce dernier, s'il n'a pas au point de vue philosophique le cachet de naturel et d'élégance qui distingue le premier à un si haut degré, conduit généralement, dans les applications, à des calculs plus simples; mais ce n'est pas toujours et il y a plus d'un cas où, au contraire, le principe de Gauss donne la solution la plus directe.

On remarquera l'analogie qui existe entre le principe de

moindre effort en Mécanique et celui des moindres carrés dans la Combinaison des observations, savoir : Les change^ ments à faire pour compenser un système de résultats (inobservations qui se contredisent mutuellement, s*ohtiennent par le principe de moindre effort, en prenant pour mesure de l'effort /a 5omm^ des produits des carrés des changements faits à chaque résultat^ par un certain coefficient numérique déterminé préalablement et appelé le poids de ce résultat. De même que, dans le problème de Mécanique traité en dernier lieu, une masse plus grande donne à un point matériel une plus grande influence sur le mouvement du système de points auquel il est lié par des conditions, de même un poids plus considérable d'une valeur observée fait que, dans la répartition des changements auxquels il faut soumettre tout le système de valeurs dont elle fait partie, il lui en revient une moindre part.

En se rappelant les profondes démonstrations données par Laplace dans la Théorie analytique des Probabilités, on est conduit à considérer le principe de moindre effort, ou des moindres carrés, comme la formule la plus rationnelle et la

PLUS GÉNÉRALE DE LA COMPENSATION DES CONTRADICTIONS, EN TANT qu'elles SE RAPPORTENT A DES OBJETS MESURABLES.