I. — Composition des forces
Un point matériel de masse m, situé en A, est sollicité en même temps par n forces diversement dirigées
il est clair qu'il ne peut pas obéir à chacune d'elles séparément; son mouvement n'est donc pas libre, et la restriction consiste en ce que les points d'application des forces, considérés comme autant de points matériels distincts occupant actuellement le même lieu A, doivent continuer à rester ensemble. On demande quel sera ce mouvement.
Si la force fi agissait seule, le point m aurait parcouru dans
sa direction, au bout du temp3 dt. le chemin — — ; avec une
masse n fois plus faible, il aurait fait un trajet n fois plus
grand, et la force// équivaut au mouvement libre n— — de la /i*^°'® partie de la masse m.
SUR LE PRINGIPS DE MOINDRE EFFORT. l85
Ainsi nous ne changeons rien à Pétat des choses en admettant que la masse m est divisée en n parties égales formant chacune un point matériel simple ; que le mouvement libre de
la première serait n— — dans la direction de la force /i, celui de la seconde n— — dans la direction de la force /*„ . . . ,
mais que ces n points simples sont assujettis à la condition de rester constamment unis.
Si, prenant la position initiale A pour origine des coordonnées, nous appelons
les extrémités des chemins correspondant aux mouvements libres, et
celle du chemin unique que le point A suit en réalité, ces dernières cordonnées devront rendre minimum l'expression
où le signe S porte sur les valeurs i, 2, 3, . . . , /i de l'indice i. On trouve ainsi
.^Xi ^^yi r^Zi
d'oïl l'on voit que le point m se sera rendu, au bout du temps
dt, au centre de gravité des points en lesquels chaque force,
agissant séparément, aurait amené au bout du même temps la
^ième partie de sa masse.
Ce théorème détermine à la fois la direction et l'intensité
de la résultante. On peut le débarrasser des infiniment petits
f dt^ en remplaçant les longueurs n par des longueurs finies
l86 NOTE C.
qui leur soient proportionnelles, ou, ce qui revient au même
n dt' puisque le facteur leur est commun, par des longueurs
qui soient proportionnelles aux intensités /.
Pour le cas de deux forces, cela conduit à doubler la longueur représentant chacune d'elles et à prendre le milieu de la droite qui joint les deux extrémités ainsi obtenues; construction revenant évidemment au même que celle dite du Parallélogramme des forces.
