Introduction à la théorie des fonctions d'una variable

Hadamard J.), Prafesseur au CoHryc de France. — Leçons sur le Calcul des Variations, recueillies par M. Fréciibt. Tome I. — 1 vol. in-S" de 320 payes. {Prix : 18 francs). Hermann et fils, éditeurs. Paris, 1910.

M. Hadamard scst proposr, dans ces Leçons, l'exposition complète et rigoureuse du Calcul des Variations, en considérant ce calcul comme un premier chapitre du Calcul fonctionnel. Ce point de vue, qui a conduit l'auteur à certaines modifications do la terminologie actuelle, l'a aussi amené à insister spécialement sur les difficultés particulières que soulève le Calcul des Variations.

Le livre rappelle d'abord, en la complétant, la théorie classique desmaxima et minima 'ou exttema) des fonctions d'une ou de plusieurs variables, et précise les principes relatifs aux équations différentielles qui seront nécessaires dans la suite. Ce premier volume est divisé en trois livres. Le livre I, consacré à la position du prob'éiii^, montre la nature de la question exemple de la brachistochrone), et introduit la notion de variation dune intégrale: celte notion soulève une importante ob,ection, que l'on évite en précisant, d'après Weierstrass, la notion de voisinage de deux fonctions. La question était maintenant bien posée, on arrive avec le livre II : La variation première et les conditions du pteinier ordre, aux premiers calculs néces saires à sa solution ; il s'agit d'abord de la transformation fondamentale de la variation première, par rapport à un paramètre, d'une intégrale dépendant de fonctions inconnues y de la variable x et de leurs premières dérivées, et du lemme concernant l'annulation de cette variation ; d'où les équations différentielles qui définissent les fonctions inconnues y dans le cas de l'extremum libre entre des limites fixes; ces équations sont aussitôt appliquées hux exemples classiques, puis transformées dans le cas où les inconnues y et la variable x sont exprimées paramétriquement. L'auteur étudie ensuite la délicate question de la détermination des solutions du problème, ou extrémales, passant par deux points donnés, qui comporte d'intéressants exemples ; puis il ramène au problème étudié celui d'un extremum lié assujetti à un nombre fini de conditions exemple des géodésiques), et il établit les équations du problème quand l'intégrale renferme des dérivées d'ordre supérieur au premier. On arrive alors au cas des limites d'intégration variables ; le chapitre III est consacré ù la célèbre formule aux liniiies, dite de Gauss, et à ses nombreuses conséquences géométriques ; l'auteur y rattache toutes les propriétés des équations différentielles du Calcul des Variations, en faisant ressortir leurs analogies avec les équations générales de la Dynamique, qui en sont des cas particuliers , il termine le chapitre par une intéressante app ication à l'intégration des équations aux dérivées partielles. Le chapitre suivant étend, à l'aide de la formule aux limites, les résultats du début aux cas généraux où le chemin d'intégration n'a pluj ses extrémités fixes ; on y examine les variations unilatérales, et les solutions discontinues. Le chapitre V traite des problèmes isopéiiniétriques, c'est-à-dire du penre du suivant : trouver, parmi toutes les lignes de même longcur Iractcs sur une surface donnée, celle qui délimite l'aire raaxima

IMHODUCTION