INTÉGRALES DÉFINIES

I. — INTEGRALES PAU EXCÈS ET PAR DÉFAUT. MESURE DES ENSEMBLES. EONCTIO>S A VARLVTICN BORNÉE

238. — Klant donnûe une foiiclion/ a?^ définie dans rintervalic 'rtfl, a , il est naturel de se demander s'il existe une fonclion ¥ x] qui, dans le même intervalle, admette /j; pour dérivée; celte fonction, si elle existe, est dite l'onction priinilive de la loncliony' ./■ . Elle est nécessairement continue tians l'intervalle '/(,,«, puisqu'elle admet une dérivée en chaque point de cet intervalle, et iprelle est donc continue en ce point n° 204 .

Il est aisé de trouver toutes les fondions délinicsdans l'inlervalle ûq, a et qui y admettent/ x pour dérivée, si l'on en connaît une F X : soit en elïet <1> x l'une quelconque des fonctions cherchées ; dans l'intervalle V/„. a . la dérivée de la fonction <I> x — F x' sera constamment nulle; cette fonclion sera donc wnc constante C, et l'on aura

Réciproquement, si G désigne une constante quelconque, il est clair que la dérivée de la fonction F x 4- G sera la même que la dérivée de la fonclion F x). On a donc le théorème suivant :

Taxsebv II. — Inlroiluclioii à la Tluîoiie «les fondions 1

2 I.NTRODLCTIO.N V I.\ TIIEOUIE DES 10\(.T10:iS

Si, dans l'inlervallc ^a„, a , lu roiiclion ¥ ^.c^ admet pourdc rivcc la fonction /^x, toute lonclion qui, dans ce même intervalle, aura fiX pour dérivée s'obtiendra en ajoutant à F x) une constante; toutes les fonctions ain!>i formées auront d'ailleurs f^x^ pour dérivée.

On peut évidemment déterminer la constante de manière à obtenir une fonction qui prenne une valeur \\, arbitrairement donnée, pour une valeur .Cu a[)parlcnant à lintcrvalle ûq, a ; cette fonction est F 0.- 4- Fo — F'>J.

Toutes les fonctions primitives de la fonction

Aox»' + A,x'"-' -h ... --r A,„,x- + A,,,,

où les A désignent des constantes, s'obtiennent en ajoutant une constante arbitraire à la fonction

AoX'''+' Aïo;'" . X- .

Les fonctions e"", a'', sin x, cos x admettent pour fonctions primitives les fonctions e'", i — , — cos x, sin x; dans tout inler-

valle dont les limites sont des nombres positifs, la fonction x'", où m est une constante autre que ■ — i, admet pour fonction

primitive ' ; la fonction x— ' = admet pour fonction pri-

milive la fonction log \x\, dans tout intervalle auquel o n'appartient pas.

Les exemples qui précèdent ne nous apprennent rien sur la réponse à la question posée au début : étant donnée une fonction /{xj définie dans un intervalle 'ao, a , existe-t-il une fonction F (a;) dont la dérivée soit, dans cet intervalle, égale à / x} ? La solution de cette question, pour une classe étendue de fonctions, dépend de l'étude de certaines sommes dans lesquelles le nombre des éléments augmente indéfiniment tandis que ces éléments décroissent indéfiniment et qui, sous des conditions qu'on précisera, tendent vers des limites. La considération de pareilles sommes s'introduit tout naturellement, en géométrie, lorsqu'on cherche à évaluer l'aire d'une courbe ; je les définirai, dans le numéro suivant, en restant au point de vue de la pure analyse.

CUAPITHE VII. IMKMIAI.ICS ItKI'l.MKS 3

239. — Soient a», a no < a) deux nombres fi.ves quelconques ; soil / .{■ une fonctidu Jélenninée, dont je suppose seulement qu'elle est hornéi' dans l'intervalle an, a: ' . Je désignerai par m et M ses bornes inférieure et supérieure dans cet intervalle.

Partageons l'inlcrvallc '%, a en ii intervalles partiels

(«0. «i). {fii, Ci), •■-, K i. a)

en désignant par «1, a>, ..., a,i i des nombres assujettis au.v conditions

Soient /??! el Mi, /h^ et Mo, ..., /??„ et Mn les bornes inférieure et supérieure de /[x) dans les intervalles partiels a^, a,;, ..., i(i^-i, a . Soient /i, f^, ..., /„ des nombres assujettis aux conditions

et considérons les trois sommes

S = fai — fïy) ;ni H- {a-, — ai) m., -h ... -+- (a — ■ a,i i) m„ (2) S = (rti — a,)/, H-(ao — a,)/, -f- ... + (a -- or„„i) /„ S = (a, — oo) Ml + {a., — a,) M, + ... + (« a„,) M„

dont je dirai qu'elles sont relatives à la décomposition ao, a^, ... a de l'intervalle ao, a). Ces sommes s'introduisent naturellement en étudiant géométriquement le problème posé à la lin du n'' précédent.

Puisque les facteurs <2i — ao, (ii — ni, ..., a — (tn-i sont tous positifs il est clair que l'on a ,

el il est d'ailleurs bien aisé de voir que lorsque /, , /.,, •..,/„ picnnent toutes les valeurs compatibles avec les conditions (i), S prend toutes les valeurs appartenant à l'intervalle S, S}. Je désignerai les deux soumies S, S, dont les valeurs sont déterminées quand on

(') 13aiis ce nuiniJro cl dans les suivants jiisciu'aii 11" 248, loulcs les fois fju'ii sera qucslioii d'un intervalle (et, [î) on supposera toujours a < ^.

'i iNTUonrcTioN a i.a tiikoiui: df.s i-o>(.tio>s

^e donne la dcconiposUion (i„,<h, •••« de l'inleiN aile, sous les noms de sommes inférieure et supérieure relatives à cette décomposition. La borne inférieure /;} de la fonction f x , dans l'intervalle a„. a est la plus petite des bornes inférieures mi, im, ..., mn relatives aux intervalles partiels a(^, ai , Uh, a2\ ..., Mn-i a); de même la borne supérieure M est le plus grand des nombres M,,

Mj M„. Si, dans les seconds membres des égalités qui défmis-

senl S et S , on remi)lace /»i, m.,, ..., in„ par m, etMi, Mo, ..., M„ par M, on voit tout de suite, puisque les coefficients (ai — a^), (a^ — Qi], ... sont positifs, que l'on a

S > (a — Oo) »i, ^ ^ (« — «o) M.

En résumé, si les trois sommes S, S, S se rapportent à la même décomposition, on peut écrire

(3) (a — ao) '« ^ S ^ S < S < (a — a^) M.

J'aurai besoin de quelques remarques concernant les sommes supérieures et inférieures, que je place immédiatement.

Considérons la décomposition (oo, ai, •••, a„i, a, et la somme supérieure S qui lui correspond. Introduisons un nombre intercalaire de plus, par exemple a'.^ entre a^ et a^. Soient M'^ et M'2 les bornes supérieures de f x) dans les intervalles <a.2, Oj), (a'^, a^) ; la borne supérieure M 3 dans l'intervalle a,, a^ est le plus grand des deux nombres M^, M". A la nouvelle décomposition, où les deux intervalles partiels (a.^, a^}, a', a^ remplacent l'intervalle (Oj, «3 de la première, correspond une nouvelle somme supérieure, qui ne diffère de la première S que parce que la somme

remplace le terme unique

la dillérence, positive ou nulle, entre S et la nouvelle somme supérieure est donc, suivant les cas, égale à l'un ou l'autre des nombres

(«3 ~ 0 (Ma - m;'). K - «,) (M3 - M0 ;

elle ne peut jamais dépasser r, '^M — m , en désignant par y; le plus grand des écarts des intervalles

(«0. «1). («1. Oi) {a — o„i).

niAPiria: vri. — iNTi:c.i\Ai.rs itr.riMKS .»

Si, au lieu d'indûiliiirc un seul nouveau nombre intercalaire, on en inlrocluisail /> — i, il est clair, puisqu'on peut introduire un à un ces nombres intercalaires^ que l'on [leut écrire

en désignant par ^ la somme supérieure relative à la nou\elle décomposition. On aura de même pour les sommes inférieures

11 est bien évident (jue ces inégalités subsistent lors même que quelques-uns des nouveaux nombres intercalaires se confondent avec les anciens.

Considérons maintenant trois décompositions

(a„, fl,, ..., a„,, a), («u, a;, .... a),,, a), (oo, «i, •••, «)

et les sommes supérieures correspondantes S, S', ^i!. Les deux premières décompositions sont quelconques ; quant à la troisième, je suppose que les nombres Oo, v.i, ..., a ne soient autre chose que les nombres ao, «i, ..., a„i, «i, ..., «,',i, a rangés par ordre de granileurs croissantes, en sorte que cette troisième décomposition est obtenue soit en introduisant dans la première p — i nouveaux nomJjrcs intercalaires a[, ai, ..., a),i, soit en introduisant dans la seconde n — i nouveaux nombres intercalaires cii, a>, ..., «„i. On aura évidemment, en vertu des inégalités précédentes

240. — Ces préliminaires établis, j'arrive aux définitions. La fonction / x] est dite intcgrablc dans l'intervalle /7û, a s'il existât un nombre J jouissant de la propriété suivante :

Toute somme relative à une décomposition quelconque de l'intervalle a„, a dilTère aussi [)eu qu'on le veut du nombre J, pourvu que les intervalles partiels soient sullisamment petits. D'une façon plus précise, à chaque nombre positif s correspond un nombre positif y; tel que la dilïérence entre J et n'importe quelle somme relative à n'importe quelle décomposition de l'intervalle ao, a soit moindre que -, pourvu que, dans celte décomposition, l'écart de chaque intervalle partiel soit moindre que r,.

6 INTRODUCTION A LA THKOIUE UKS FONCTIONS

C'est ce que l'on exprime souvent en disant que le nombre fi\e J à supposer qu'il existe est la limite dune somme variable^ relative à une décomposition variable de l'intervalle Qq, a , lorsque le nombre dos intervalles partiels croissant indéfininienl, les écarts de ces iiilorvalles décroissent indéllnimcnt. Le mot liiiiilc n'est pas pris ici dans le sens précis où on l'a employé jusqu'ici ; mais l'idée est la même : une somme relative à une décomposition dépend de cette décomposition, des valeurs choisies poury*i,yi., ... ; elle varie quand la décomposition ou les valeurs choisies pour fi' fi' •■• varient: pourvu que les écarts des intervalles partiels tendent vers o, la somme s'approche de la limite J.

En supposant toujours l'existence de J, il est commode de dire d'une somme

qu'elle est une valeur approchée de J, et une valeur aussi approchée qu'on veut, pourvu que les intervalles partiels soient suiïisamment petits.

Quoiqu'il en soit, si le nombre .1 existe, il est ce qu'on appelle la valeur de Vintégralc définie de la fonction f{x) prise dans l'intervalle ûo, a. ou encore cnire la limile inférieure a^ et la liniile supérieure a ; on le représente par le svmbolc

f{x) dx.

qui s'énonce somme de a^ à a de f x dx. Le signe fcsi un S déformé, initiale du mot somme ; le symbole dx, placé à côté de J.Xj, est la trace de ces différences (Il — ««, a> — «i, .... a — a„, qui fignraient dans la somme relative à la décomposition Go, ai, ..., a . La lettre d est l'initiale du mot différence.

Les fonctions intégrables au sens précédent sens de Riemann) constituent une classe particulière parmi les fonctions bornées dans l'intervalle a^, a . Ce que je vais dire maintenant ne suppose pas que la fonction f[x) appartienne à cette classe, mais seulement qu'elle soit bornée.

241. — Désignons par E l'ensemble des sommes supérieures S : un nombre A appartient à E s'il est ime somme su-

CHAPITRF, Ml. I.NTKGIiAI.r.S Itl 1 IMF.S 'J

périeurc, c'est-à-dire s'il \ a tine décomposiliun Icllc que la domine snpéricme correspondanle soit égale à A ; un nombre A n'ap[)artient pas à (E) s'il n'y a point de décomposition telle que la somme supérieure corrcspond;mlc soit égale à A. Soit, de même, (V? l'enscnible des sommes inférieures S. Les ensembles E et 'E sont bornés en haut et en bas puisque tous leurs éléments appartiennent à l'intorv.illo

[(flo — «I ni, (oo — a) MJ,

en vertu des inégalités 3 du n° 239. La borne inférieure '^J) de l'ensemble E ; et la borne supérieure J) de l'ensemble (E; sont ce qu'on appelle, l'une, l'intégrale par excès, l'autre, l'intégrale par défaut de la fonction f x] dans l'intervalle «o, a et on les représente respectivement par les symboles

f{x)dx, r j{x)dx.

qui rappellent la notation de l'intégrale définie, quand celle-ci existe. -

Ce rapprochement est naturel, en vertu de la proposition suivante :

A chaque nombre positif î correspond un nombre positif r, Ici que l'on ail à la fols, pour une même décomposition,

sous la seule condition que les écarts des intervalles partiels de la décomposition à laquelle se rajipoitcnt les sommes supérieure et inférieure S et S soient tous inférieurs à r,.

Ici encore, en employant un langage sur lequel je me suis expliqué plus haut, on dit que S et S sont respectivement des valeurs approchées de J ol de J, aussi approchées qu'on veut, pourvu que les intervalles partiels soient suflisamment petits ; on dit aussi que les sommes S et S ont respectivement pour limites les nombres J et J, fjuand les intervalles partiels tendent vers o.

Je raisomierai sur les sommes supérieures.

1MnOI»ir.TIO>- A lA Tlll.dlilK IH-S hONCTlOS

Reprenons les notations de la lin du numéro piécédenl relatives aux trois décompositions

dont on spéciliera tout à l'iicurc les deux premières, et dont la troisième est déterminée de-; (pie les deux premières le sont ; je désignerai toutefois par /^i au lieu de /; le plus grand des écarts des intervalles partiels de la première décomposition, ou un nombre plus grand. S, S', 2i sont toujours les sommes supérieures rcla^ lives aux trois décompositions. On aura

et. par conséquent,

Donnons-nous un nombre positifs et choisissons ensuite un nombre positif s' <; £. D'après la définition même de la borne inférieure d'un ensemble, il v a dans l'ensend^le E un élément dont la différence avec .1 est moindre que c' ; soit S' cet élément et choisissons pour ^y, a\, ..., «|,j, a une décomposition pour laquelle S' soit la somme supérieure; /) est alors déterminé; choisissons le nombre positif ■r,\ de façon que l'on ail

quelle que soit la décomposition 'cio, cii, ..., a„-i% pourvu que tous les écarts des intervalles partiels ne dépassent pas y^i, on aura

On déterminera de même un nombre positif yj^ tel que pour toute décomposition où les écarts des intervalles partiels sont moindres que v^o, la différence, positive ou nulle, J — S soit moindre que c et l'on prendra pourvu le plus petit des nombres y^i, ry>. La proposition énoncée est entièrement démontrée.

242. — La condition pour que la fonction /" a? , bornée dans l'intervalle Oo, a), soit intégrable dans cet intervalle est maintenant bien claire; il faut et il suffit que les nombre .1 et J soient égaux.

cii.vi'iTUi; vir. — i.nti;(;iivi.i:s i»i:i i.mks (j

La condition est nécessaire, puisqu'il } a des sommes rclalivcs à une décomposition pour l(\^(pielle- Ic^ écarts des intervalles [)arliols sont aussi petits rpi'iiii \eiil, cl (jui dill'ciciil aussi peu qu'on le veu.t soit de J , soit de J . l'allé est suliisante, car si l'on suppose .1 -— J et si l'on désigne par .1 la valeur commune de ces deux nond^rcs, à cliaf{ue nombre positifs, correspond un nombre positif y; tel que l'on ait, pour toute décomposition où les écarts des intervalles partiels sont moindres que r^

des lors, puisque toute somme S relative à la même décomposition ap[)artient à l'intervalle S, S\ on ama certainement I S — .1 | ■< c ; et celte inégalité sera assurée pourvu que les écarts des intervalles partiels de la décomposition à laquelle S se rapporte soient moindres que y^.

Pour que l'on ait J ^= J[, il faut et il suffit qu'à chaque noml)re positif i corresponde une déconqiosition (oo, fli, ..., a' telle que la différence

S — S = («, — a^) (M, — m,) + {a. — a,) (M. — m.) -h ... -\- {a — rt„,) (M„ — m„)

entre les deux sommes supérieure et inférieure relatives à cette décom[)Osition soit moindre que i.

La condition est nécessaire puisque si l'on a J = J = J, il v a des décompositions pour lesquelles les sommes supérieure et inférieure dilVcrent de J aussi peu qu'on le veut.

Elle est suffisante ; on a, en effet, quelle que soit la décomposition,

il faut (pic le nombre fixe J — J soit nul, pour que le dernier nombre puisse être rendu plus petit que tel nombre positif qu'on voudra.

Quand la fonction f x est intégrable dans l'intervalle a», n , la

valeur de l'intégrale / f x dx appartient toujours à l'intervalle

(S, S) quelle que soit la décomposition à laquelle se rapportent

lO INTROnrCTK»' A I.V TlIKOniK MFS FONCTIONS

les deux sommes S. S o\ l'écart S — S de cet intervalle est une limite supérieure de l'errcïir que Ion commet en prenant pour l'intégrale une somme quelconque relative à cette décomposition. En particulier la valeur de l'intégrale ap|)ailiont toujours à l'inlervalle I a — a,, m. n — (i„ M|.

La condiliiui (ri'iti'i.'ralHlil(' peut encore élrc transformée comme il suit.

Pour que la (onction f x soit intégrablc dans l'intervalle

V/o, '/ il faut et il suffit qu'à chaque couple de nombres positifs k

et a corresponde une décomposition ^ao, ai, ..., a telle que la

somme des écarts des intervalles partiels où l'écart de la fonction

f x) est supérieur ou égal à K soit moindre que a.

Si, en elTet, pour une décomposition quelconque a,,, Oi, ..., a\ on désigne par t la somme des écarts des intervalles partiels où l'écart de la Fonction est égal ou supérieur à k et si, d'ailleurs, on garde les mêmes notations on aura évidemment

aK < S - S < (a - fl„) R + 7 (M - ;»)•

La condition est nécessaire, car lorsqu'on se donne K et a, la supposition S — S -< ak, entraine 7 <. (/■■ Elle est suffisante ; supposons en elTet qu'elle soit vérifiée; si l'on se donne le nombre positif £ et si l'on choisit k et a tels que l'on ait

on voit qu'il y aura une décomposition pour laquelle S — S sera moindre que i.

Cette dernière forme de la condition d'intégrabilité est due à Riemann ; elle montre en .particulier que si la fonction f oc) est intégrable dans l'intervalle «o» ^ » elle est encore intégrable dans tout intervalle contenu dans celui-là.

C'est des fonctions intégrables que je m'occuperai surtout. Je n'ai guère parlé des intégrales par excès et par défaut, dont l'introduction est due à ^L Darboux ' , que pour mieux éclaircir la notion de l'intégrale définie proprement dite. Toutefois avant de m'occuper exclusivement des fonctions intégrables, je dois introduire

(') Annales de VEcole normale, 9.^ série, t. IV.

cHAPirm: vu. — i.ntkckai.ks ukiimks ii

qnelfjnos notions où inlorvienncnt soit les inlégralos par cxcrs ou par tléfauf, soit des considérations très analogues à celles que j» viens de développer.

243. — (AMisidéroiis un ensenibl(> borné E , dont Ions les points appartiennent à l'intervalle a, b . Je vais définir une fonction y*(x} dans cet intervalle : si x est un point de fE , on prendra /(x) = I ; si X n'appartient pas à (E^, on prendra/ x) = o. Cette fonction étant bornée, les intégrales par excès et par défaut i/j

' f{x)dx, f f{T)dx

ont une signification précise. La valeur de la première est lélendne extérieure de l'ensemble : E\ la seconde est l étendue intérieure de cet ensemble. Ces nombres ont été introduits dans la théorie des ensembles par M. G. Cantor et par M. Jordan. Lorsqu'ils sont égaux, lorsque la fonction y x est intégrable, au sens que l'on a donné à ce mot au n" 242, l'un ou l'autre est ce que l'on appelle la mesure de l'ensemble ( E) au sens de M. Jordan.

Si l'on se rep:'rlc à la définition des intégrales par excès ou par défaut, on voit que la somme supérieure relative à une décomposition est la somme des écarts des intervalles partiels auxquels appartient quelque point de l'ensemble Œ , qtie la somme inférieure est la somme des écarts des intervalles partiels dont Ions les points appartiennent à E:. Ces deux sommes sont des valeurs approchées des étendues extérieure ou intérieure de E , aussi approchées qu'on veut, pourvu que les écarts des intervalles partiels de la décomposition soient assez petits.

L'ensemble Ei , complémentaire de Tensemble E par rapport () finterralle a, h , est, par définition, l'ensemble des points de cet inler\alle qui n'appartiennent pas à E . Si l'on considère une décomposition quelconque de l'intervalle V/, h), mi intervalle partiel qui contient quelque point de E , contiendra un point qui n'appartient pas à Eii, il ne figurera donc pas dans la valeur ap-

(') J'utilise ici, comme je l'iii fait d'ailleurs déjà au n" 239, 1 exposition de M. de la ^ ailéc-I'oiissin, dans son Cours d'Analyse iiifinUcsinutl<\

12 i>Tnoi>rr.Tio>- a i,.v tiikoiuf. des konctions

prochée de 1 eleiuluc inléricurc de l'ensemble E, ; ne figureront dans celte valeur approchée que les intervalles qui ne contiennent aucun point de E, c'est-à dire ccu\ qui ne figurent pas dans la valeur approchée de retendue extérieure de E ; d'où celte conclusion :

Si E et El sont deux ensembles contenus dans l'intervalle (a, h) et complémentaires par rapport à cet intervalle, la somme de l'étendue extérieure de l'un et de l'étendue intérieure de l'autre est égale à 6 — a.

L'étendue extérieure d'un ensemble contenu dans l'intervalle a, h et dense dans cet intervalle est égale à u — a ; son étendue intérieure est nulle.

L'étude de la mesure des ensembles a fait l'objet de recherches très intéressantes ').

244. — Observons d'abord que si l'on considère un ensemble dénombrable dont les éléments soient des intervalles, il est permis de parler de la somme des écarts de ces intervalles ou, plus brièvement, de la somme de ces intervalles : c'est, en la supposant convergente, la somme de la série dont les termes, tous positifs, sont ces écarts ; si la série divergeait, on pourrait dire que la somme des intervalles est infinie ; c'est d'ailleurs au cas oi^i elle converge que se rapporte ce que l'on va dire.

Un ensemble de nombres ou de points (E) est dit de mesure nulle lorsqu'à chaque nombre positif i correspond un ensemble fini ou dénombrable d'intervalles dont la somme est moindre que z et tels que chaque point de E appartienne au moins à l'un de ces intervalles.

Il suit de là que tout ensemble dénombrable est de mesure nulle ; en effet, si on se donne le nombre positif e, on peut former une série à termes positifs

"l H- «2 H- ••• -+- tin -^ ■••

dont la somme soit moindre que c ; il suffit pour cela de partir

(') Voir, en particulier, les Leçons sur la théorie des Jonctions de ^I. Borel et les Leçons sur l'intégration et la recherche (tes fonctions primitives de M. Lebesgue.

Je ne dois pas citer ce dernier ouvrage sans signaler l'extension de la notion d'intégrale qu'on y trouve. Malgré l'importance considcrabtcde celte extension, elle m'a paru en dehors du cadre de la prégentc Introduction.