CHAPITRE XI. FONCTIONS ItK VAniAniJCS iMAiW.XAII'.r.S .'JSq

361. — Ki'|)rcnons, on conservant les menées nolalions, la suite lie séries

il est clair que les conditions qu'on a ini[)Osées à ces séries, seront vérifiées d\'lles-nièmes pour les séries dérivées

qui ont mêmes cercles de convergence que les séries primitives : si l'on partait du point d avec la série P' x ; a et si on appliquait à cette série le même procédé qu'on a appliqué à la série P x; a , en suivant le chemin L;, on parviendrait au point c avec la série P; X, z . La même observation s'a[)pliquerait aux dérivées seconde, troisième, ...

Désignons maintenant par

les séries qui ont pour dérivées premières les séries

et qui s'annulent respectiv<'ment pour a;rrra,;r=||, 37=^2, .... ,x^6; ici encore les séries correspondantes ont même cercle de convergence. Il est aisé de voir que les séries avec lesquelles on parvient, en suivant le chemin L, aux points |,, ç,, ..., h, en parlant du point a, avec l'élément de fonction 5" x ; a' sont respectivement

:f (^, ; fl) -^ ... + ^(6 ; f„,) -4- î(t : b).

L;i remarque suivante ne sera peut-être pas inutile : supposons que le lien L soit un lien terme simple, en sorte que le point h coïncide avec le point a, et (jue la série P a-, h) soit identique à la série P x, n ; la série JT x, h sera bien identique à la série i" x. a ; mais la valeur avec laquelle on [)arvicnl au point />, c'est-à-dire

3'40 INTUOIlLC.TI»» A l.A TIIKOIJIK liTS FONCTIONS

n'esl pas, pour cela, identique à la valeur fa, d = o avec laquelle ou était parti du point a.

362. — Si le lien L est intérieur au cercle de convergence C a de la série 1^ x: >i . rien n"cni[)rche de procéder comme on l'a expliqué au n" 360 ; mais le résultat n'est guère intéressant, l'élément tle fonction P, x ; z qui correspond à chaque point £du lien n'esl autre que la série entière en x — ç qui au point ç coïncide complètement avec la fonction P x ; a ; en tout point | du lien la fonction St ç est égale à P r ; « . Dans ces conditions, on a donné une forme nouvelle à la fonction P x, a , on ne peut pas dire qu'on l'a prolongée. Il en est tout autrement quand le lien (L sort du cercle C a. On n'oubliera pas dans ce cas que la valeur avec laquelle on arrive en h dépend en général du chemin suivi ; si, en particulier, le point h est intérieur au cercle C a , on ne revient pas nécessairement en b avec la valeur de la fonction P X ; a) en ce point.

Lorsqu'il existe une fonction •!> x], régulière dansun continuum C , que a est un point de ce continuum. que la série P x ; a -est la série entière en jc — n qui coïncide complètement en a avec la fonction 'J> jc; et que le lien L est intérieur au conlinnum C , la série P x ; £ qui correspond à n'importe quel point | du lien coïncide toujours complètement en | avec la fonction 'i/ 'X] ; en particulier, quel que soit le chemin suivi, pourvu que ce chemin soit intérieur au continuum G , on arrive au point b avec la même valeur et le même élément de fonction P x ; b .

Si on se donne le point a, l'élément de fonction P x ; a), le point b et le lien L , il n'est pas toujours possible de procéder comme on l'a expliqué, de trouver des nombres intercalaires qui satisfassent aux conditions imposées ; si l'on ne se donne pas le lien L), et si on se donne a, è et P a? ; a , il n'existe pas toujours de lien ;^L allant de <i à b, pour lequel les opérations décrites soient possibles.

Il y a en effet des séries V x ; a telles que, quel que soit le point £ intérieur au cercle de convergence C(a , le ravon de convergence R Zj de la série P oc ; £ qui coïncide com[)lètement avec la fonction P x ; a^ au point | soit toujours égal à R a — \'z — <i\; en d'autres termes le cercle de convergence C "ç) est toujours le

I.IIAl'ITUi: \l. loMiroNS m: VAKl.UiLKS I.MA(.I>AIUI'.S '.]]l

cercle, de centre £, tangenl intérieurement a"u cercle C fi ; do quelque laçon qu'on choisisse le point |, on reste enfermé dans le cercle C ^/ ; telle est par e\eni[)le la série

signalée par M. Lercli, pour laquelle le rayon de convergence est i; on reconnaît sans peine que, pour tout point du cercle de convergence dont l'argument est commensurable à z, tous les termes de la série Unissent par être égaux à i ; en un pareil point x' , la série est divergente en ce sens que la somme des n premiers termes devient aussi grande qu'on le veut [)ourvu que n soit assez grand : si l'on s'approche de x', en suivant le rayon, /(x croîtra indéfiniment en valeur absolue, comme il est bien aise de s'en assurer; or cela est incompatible n" 342 avec la supposition qu'on puisse enfermer le point x' à l'intérieur du cercle de convergence d'une série P a? ; I , entière en x — £, qui coïnciderait complètement au point ç avec la fonction J (x . Il est impossible de prolonger la fonction / x au-delà du cercle de centre o et de rayon i .

\\ eierstrass donnait le nom de fonction analytique à l'ensemble de toutes les séries P x ; ç entières en x — z que l'on peut déduire d'un élément de fonction particulier P (x ; a , par le procédé expliqué plus haut, en suivant un chemin allant de <( à r. Le mot fonction est pris alors dans un sens tout autre que celui qu'on lui a attribué dans le présent livre et c'est dans un sens un peu dillérent que sera emi)loyée l'expression de fonction analyli/jnc. Il convient toutefois de remarquer que l'ensemble considéré est entièrement déterminé par l'une des séries, ou si l'on veut, par la suite des coefficients de cette série : Deux fonctions analytiques, au sens de W'eierstrass, coïncident quand elles ont en comnum un élément de fonction.