Il

de la série

n{n — i) ... I a„ + (/H- i)/i ... 2a„j.,a[--|-(/i-|-2) (n-h i) ...'ia„j..,x'- -h ... -+-(« + p) {n -h p — i) ... [p -H i)a„,,,x'' -h ...,

qui, en vertu du théorème même que l'on applique, est une série convergente pour | x | <C A.

En résumé, on est parvenu au théorème que voici :

Soit

{l) fi'jc) = Oq + 0,3" + ... -h a„x" -H ..

une série entière en x, convergente pour [ x j <; A ; sous la même condition, les séries

I f [x)= a, -i- 2rt^:c -H 3 03.7-2 H-- ... H- («+1 ia„,ia;" -4- ...,

l y"(a:)=: \ .2 a.^-^ 2 .?> a^x-^'i .Ixa^^x--^ . . .-\- [n-\-\){n-ir'i)anj.,x"-^- . . . ,

\Jip){x)= 1.2 ... pa,,-+-2.3 ... (y) + 1)0^,+ , ic+ ...

sont absolument convergentes et l'on a

(3'/(^+/0=/(^j + yw+/y'W + -.--<-Y:,''^/<'">{--)+---,

sous les conditions

La première de ces conditions, nécessaire pour que la seconde puisse être vérifiée par quelque valeur de h, est nécessaire aussi pourque l'on soit assuré de la convergence des séries/' x,f"x , ...

3l8 INTRODl CTIO.N A 1. A lIlKOllir. 1>KS TlINCTIONS

Ou rcniari|ucra que la série y" ^x, se déduit de la série /'(îc) comme la série/ ^x se déduit de la série/ j: ; de même, la série /"" .V de la série /* x, etc.. Si l'on se donnait la série/ j; , les coefficients de la série/(a;i seraient tous déterminés, saufr/^j ; f(x) serait déterminée à une constante additive près.

Les séries f yx\ f' [x) , ... convergent pourvu que l'on ait I a' I <! A ; leur rayon de convergence est au moins égal à A.

Si la série f x) est convergente quel que soit x, il en est de même des séries / (a:) , /" (x), ...

Si le rayon de convergence de la série i) est R, il en est de même pour les séries/ (x, /" a; , ... D'abord le rayon de convergence de ces dernières séries est au moins égal à U, puisqu'on peut prendre A = R. Si, maintenant, la série/' x\ par exemple, converge pour la valeur x^ son /?''""'' terme na„x'^~^ tend vers o quand n augmente indéfiniment: il en est de même, a fortiori; de anX"~^ et, par suite de ««j;"; on a donc | a; | < R (n" 342 et par conséquent le rayon de convergence de la série /'(.r ne peut dépasser 11 : il est égal à R.

Toutefois, sur la circonférence même du cercle de convergence, le caractère de la série f{x) et de la série/' 'x) n'est pas le même, en général. Si la dernière série est absolument convergente au point X, il en est de même de la première, dont les coefficients sont plus petits en valeur absolue ; mais la réciproque n'est pas vraie, comme on le voit en prenant, par exemple,

d'où l'on tire

La première série converge pour x = i, et non la seconde.

Si la série i est convergente quel que soit x, on peut prendre A aussi grand qu'on le veut, la série l'h] est convergente quel que soit Ji; l'égalité 3 a lieu quels que soient x et //.

Si le ravon de convergence de la série i est R, on peut prendre A = R; X est une constante assujettie à la r^ndition | .r | <C R; la série h est absolument convergente, et la formule 3 est va-

(Mvi'iriiK M. — iii\t;Ti(»>s i>i: \ uiiai!I.i:s ni.\<.i.\ui;r.s ,)i()

labié, poui'NU que Ion ait | A | ■< li — | j- ,; If ravon de convei-

gence de la série It , entière en h, est au moins égal à R — | J' !•

Il est aisé de montrer sur un exemple que le rayon de convor-

frence peut dépasser H — | ^ I- Cousiilérons par exemple la série

dont le ravon de converL^ence est i et dont la sonnne est ; si

Ion N remplace .'• par x -+- h, et qu'on ordonne [lar rapport à //, les opérations seront légitimes sous les conditions

l-M< '. IM<ï -Ul:

la série en // à laquelle on parviendra aura pour somme

( i — xy

elle sera donc identique à la série qui figure dans le dernier membre de l'égalité précédente; c'est ce qu'on reconnaîtrait d'ailleurs aisément en taisant le calcul; l'égalité précédente est valable, et la série qui figure dans le second membre est convergente, sous la seule condition | A | < | i — x \ : or, on a | i — x | >. i — | x |, si X n est pas réel.

Il est tout naturel de se demander si les choses se passeront en général comme dans re\eui[)lc précédent, c'est-à-dire si l'égalité 3 , qui n'est démontrée que sous la condition | /i | ■< l\ — \ x \, subsiste tant que la série qui figure dans le second membre est convergente; on établira un peu [)lu3 tard qu'il en est bien ainsi, en supjiosant

On établira aussi que le rayon de ion\erg(^ncc de la série li est au plus égal à R -f- | x ' .

La proposition qui fait l'objet principal du présont numéro s'étend sans peine aux séries entières à plusieurs variables, .le me borne à quelques indications sur ce sujet.

.■»20 INTROnrCTIO.N A LA THKOUIK lti:S FONCTIONS

351. — Ucprcnons les notations du n" 344 relatives à la série

/(.T,, x,, ... X,,) = V A,^ .,,. ..^ 0-^' a-^- ... rr^'" ; a,, a.,,..., a,.

regardons ./'i, x.,, ..., x,, comme des constantes satisfaisant aux conditions

où cette fois l'égalité est exclue; soient Hi, IL. ..., H,, des nombres positifs respectivement inférieurs à

et /il, /*.,, ..., //,, des variables assujetties aux conditions

IM^ïi, \h,\^n,,..., |/t, |<ii, ;

sous ces conditions, la fonction f Xi + hi, x.^ -+- h.,, .... x,, ■+- h^^ peut se mettre sous la forme d'une série entière en h^, /«.,. ..., /*,., absolument convergente; les coefllcienls sont eux-mêmes des séries entières en ,'c,, x, ... x,,, absolument convergentes sous les conditions énoncées. Je n'insiste pas sur la loi de ces coefficients, je me contenterai de remarquer que le coefficient de /t, est

011 il est entendu qu'il ne figure pas de puissance des variables à exposant négatif; le terme écrit disparait quand «, est nul.

352. — Supposons que la fonction y x soit définie au point x et aux environs. Si, en désignant par £ un nombre positif, qui peut d'ailleurs être aussi petit qu'on le veut, la fonction/ .c -+- h) de la variable h peut sous la condition | /« | << £,se mettre sous la forme

f{x -h h) = Ao + A, - + A,

la fonction f X) est dite rci/nlicrt' au point x. Le nombre x\o est forcément égal k f'x), puisque l'égalité précédente doit subsister pour h ■■= G. La fonction ne peut pas être régulière au point x sans y être continue.

(.IIAIMIKI. \l. — I itNCTKt.NS llK NAUlAlil.l.S I M A(il.N Al ItKS 3ti I

Les nombres A,, A,, .... A„, ... sonl, [)ar ilélinilion, les dérirées ItrcmiiTC, seconde, .,., //"""', ... de la foncliuii y j; au point x.

Supposons que la fonction/ x soit régulière en chaque point x d'un conlinuuui C; alors, à chaque point correspondra une suite de nonibies Ai, A^, .., A„. ..., qui pourront donc èlre rcfrardés connue les valeurs au ])(»inl x d'une suite de fotictions f'(x', f" (x , ..., f"\^X), ... délinies tlans le continuuin, fonctions auxqnellcs on donne aussi le nom de fonctions dérivées successives de la fonction y .r . Ainsi, à chaque point x du conlinuum correspond un nombre £ tel que l'on ait, sous la condition | // | <C î,

on dira alors que la fonction est régulière dans tout le continuum

Supposons, par evemple, en désignant par a:^ un nombre lixe, que/ x) soit la somme de la série entière en a; — x^,

flo -h a, fa: — X(,) -+- a.,{.r — arj- + ... H- «„(.t — Xo)" -h ... ,

dont je suppose le rayon de con\ergencc égal à Rq ; cette fonction, d'après cfi qu'on a vu au numéro précédent, sera régulière dans le continuum défini par i'iiit'i-'^aiité \x — x^,\ <C Ro; ses dérivées successives sciont

f'{x) = a, -+- 2a.^{x — .r,j) -h ... -+- na,^{x — .To)"-* + ....

f"[x) = i.2fl^ -I- 2.3^3(3- — .To) -h ... -h {n — 1) iia„{x — Xo)"~- + ... ,

V la vérité, c'est dans le cas où .r„ est nul que ces propositions ont été établies, mais le passage d'un cas à l'autre se fait évidemment en prenant x — Xt, pour variable. I^appelons encore, en passant, que la série, entière en \ — x,

n-r) +/'.^) ^^j-^'+nr) ^^ + .-

est convergente et a pour somme J '\ si l'on a '\-.r|<H..|.r.r„f.

La loi par laquelle la série/ ./■) se déduit delà série/'./; est

TasneiiyII. — Inlioiluclion à la Tiiéorie des fonctions 21

.)22 l\THOItrCTIO>" A LA riIKOllIF. IH:S FONCTIONS

manileslc : c'est la même loi qui donne la déiivce d'un polynôme. C'est aussi par la même loi que f x se déduit de f x , que f"\xj se déduit de /" x , etc. Ainsi la dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première, la dérivée troisième est la dérivée de la dérivée seconde, etc.

Celte dernière proposition s'étend évidemment à une l'onction régulière quelconque F x , puisqu'une fonction régulière au point Xô peut être représentée, aux environs de ce point, par une série entière en x — -r^.

353. — Cette façon d'introduire la notion de dérivée, qui ne s applique d'ailleurs qu'aux fonctions qu'on a définies comme étant régulières, est tout à l'ait diiïérente de la façon que l'on a adoptée au Chapitre A l dans le cas des variables réelles. Je veux, dès à présent, dire un mot sur l'extension au cas des variables imaginaires de cette dernière définition de la dérivée.

Soit en général f x une fonction de la variable imaginaire x, définie dans un continuum C . Soit :/; un point de ce continuum et /( une variable, suffisamment petite en valeur absolue pour que X -i- h ap[)artienne aussi à C : en d'autres termes, |/z, doit rester inférieure à la distance de x à la frontière de G . Considérons la fonction de h

définie pour les valeurs de h, autres que o, qui satisfont à la condition précédente. Si cette fonction de // admet une limite pour A = o, on dit que la fonction/ V admet une dérivée au point x, dérivée qui n'est autre que la limite dont on suppose l'existence.

Si la fonction/ X admet une dérivée en chaque point du continuum, la fonction dérivée f x est définie en chaque point de ce continuum ; pour qu'il en soit ainsi il esl évidemment nécessaire que la fonction/ X soit continue en chaque point de ce continuum ; mais cette condition est loin d'être suffisante.

Cette nouvelle définition de la dérivée est la généralisation immédiate de la définition de la dérivée dans un intervalle donné au Chapitre A I ; toutefois dans ce chapitre, on a considéré la dérivée pour les bornes de l'intervalle; pour poursuivre l'analogie, il conviendrait de parler de la dérivée pour les points frontières du

CM U'ITIIR M. F(»>(.TIM>S DK VAKI Altl.r.S IM A(;i> AH'.KS .)20

conliniiuin. C'est un point sur lo([iiel je leviondrai ;iu\ n '^ 378 et 379.

Je laisse de cùté, pour le moment, les consécpiences de cette seconde définition de la déii\ée ; jç nie hoine /i lemarrpier (|ue si l.i fonction y .;• est réfrnlière, au point x, si l'on [)eut poser, pourvu que // soiL suflisammcnt petit en valeur absolue,

f X sera bien la dérivée de la l'onction f .r . au point .c, avec le sens de limite qu'on vient de donner au mot déri\ée; l'égalité précédente montre en clTet que l'on a

flX -h II) — f(x) r,, , h e,,, h} .,,,, ,

le second membre est une fonction continue de /< qui, pour /( = o, se réduit à/(x .

J'abandonne maintenant le point de vue où je me suis placé dans ce numéro, pour m'attacber à la définition de la dérivée tirée de la notion de fonction régulière.

354. — Les règles élémentaires pour le calcul des dérivées se déduisent très aisément de cette délinition ; ainsi le lecteur reconnaîtra sans aucune peine que, si les fonctions f\X), ©(a; sont régulières au point a-, il en est de même de leur somme, de leur produit, de leur quotient en supposant que le diviseur ne soit pas nul au point x , et retrouvera immédiatement les règles usuelle** pcjur prendre la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient. Voici quelques cas un peu plus compliqués.

Reprenons les notations des propositions T, Il du n' 349. Les séries u„'x « = 0, i, 2, ...), entières en x', sont absolument convergentes pour x=^ a a >» 0} ; U„ ic) est la majorante naturelle de n„ X . Les fonctions n,/x), Vn'x ont des dérivées

les i'onctions (jui ligureul sur la seconde ligne sont manifestement les majorantes naturelles des fonctions qui figurent sur la première

024 IMHOniT.TION A l.A TIIEOUIK IlES F0>(.TIO>S

ligne : (»n suppose, en posant .\„ = L„ a), que la série Af, -h Ai + ... est convergente.

11 est bien aisé de Noir que la l'onction

est régulière en tout point x du conlinuum défini par la condition 'a-; < a.

Dans la dénionslrallon, je regarderai x comme fixe; h sera la variable ; pour la conmiodilé de l'écriture je poserai

[.r| =.r', [/i| = /,', II = a — x'.

H est un nombre positif fixe, la variable h est assujettie à la condition // < H. On a

(2) J{x + //) = n^{x + /() 4- Ui{x -\- h) -A- ... H- u„{x -+- h) H- ...

Si. dans la série obtenue en développant u„x -+- h suivant les puissances de /;, on remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et /* par //', la somme de la série à termes positifs à laquelle on parvient ainsi, sera au plus égale à

U„(x' + h') ^ V„{x' + II) ou A„.

Dès lors, on voit que la proposition I du n" 349 s'applique à la série qui forme le second membre de l'égalité (2), série dont les termes peuvent être regardés comme des séries entières en h, sous la condition \h\ < H ; on pourra donc ordonner suivant les puissances de h et l'on aura

(3) /(.r + A)=/(aO + |7X^) +rl/''(^)-^-" + r/7T7/"^^)^-'-'

en posant

''' Yr

f'{x) = u[,{x) + u[{x) -h ... -h u'Jx)

{x) =^ ui{x) 4- ii'\{x) -h ... -h «;;(.t)

Les seconds membres de ces dernières égalités, où u'Jx), u"„ .V , ... n^zo, 1, 2, ... désignent les dérivées première, seconde, ...'de la fonction 11,/ x , sont des séries absolument convergentes sous la condition \x[ <C a. Les sommes de ces séries sont

ciruMiur. \i. — rD.NCTio.Ns m: wiii um.ks imaci.naiiiks .)20

les dérivées première, secomlc, ... de la Ion» lion /' x di-linic par l'égalité I .

On oblicnt donc la dérivée de celle l'onction, en [)renant les dérivées, terme à terme, du second membre, comme s'il s'agissait d'une somme fmie. La règle relative à la formation de la dérivée d'une série entière en x peut être regardée comme un cas particulier de celle qu'on vient d'élabiir.

Si, en conservant la même signilication aux l'onclions iii,{x , en leur imposant les mêmes conditions, et en regardant toujours x comme un [toinl satisfaisant à la condition \x\ <; a, on considère la fonction o x délinie par l'égalité

o{x) = [i -f- ih{x)\ [i -h (ii(x)] ... [i + «„(.r)] ... on reconnaîtra fjuc la fonction de h

peut être ordonnée suivant les puissances de A, que oix) est régulière au point x et que si, en ce point, aucun des facteurs du produit infini n'est nul, la dérivée '^' (x) de o^'x) peut se mettre sous la forme

("' f w L. + .4) ^ . -;kW -^ - + . + «.; M + - 1 •

si le facteur i -+- iin'x) était nul, la dérivée de o{x'i s'obtiendrait en remplaçant dans le produit infini o'x\ le facteur i -f- Un x par sa dérivée »,, x ;.

Les propositions III et l\ du n" 349 fournissent de même des propositions ([ue je me contenterai d'énoncer, le mode de démonstration étant suffisamment éclairci par ce qui précède : le lecteur ne manquera pas de rapprocher ces propositions de celles qui ont été établies, pour les variables réelles. au\ n°' 212 et 220.

Conservons aux séries

la signilication du n" 349 IIl], ainsi que les conditions imposées à CCS séries; la fonction de x obtenue en regardant, dans^(j), y conmie égal à f x est régulière pour tous les points x qui satis-

026 i.\Tiu>i)Lciiu> A lA riii:t»r.ii: i»i:s iux.ihkns

font à la condilion j a: | <. " et la dérivée de celte fonction [lar iai>port à X est éiral au produit 7 y / x . Conservons à la série />"/''■'

la siornification du n" 349. W et imposons-lui les mêmes conditions ; désignons-en la somme par /' xi, x- — , x,, ; la fonction de p variables/ Xi, Xo,..., x,, est délinie pour les valeurs de ces variables qui satisfont aux conditions

elle admet des dérivées partielles pour tout système de valeurs de .Cl, Xi,..., X,, qui sntisfonl aux conditions,

adoptons pour ces dérivées partielles le même symbolisme que pour les fonctions de variables réelles ' . Regardons maintenant X,. r = I, 2,... p comme la somme d'une série entière en x, soumise aux conditions qui ont été énumérées au n" 349. IV; alors, f Xi, Xi,..., X,, devient une fonction composée de x, régulière sous la condition x <! a ; sa dérivée est

en désignant par x[, x'.,,.... x[, les dérivées de .r-i, 0:2,,..., x,, par rapport à x.

355. — Soit C un continuum borné et 'i^^x' une fonction régulière en chaque point de ce continuum.

Par hypothèse, à chaque point X(, du continuum correspond un nombre positif; dont on peut affirmer la propriété suivante : sous la condition ' x — Xi,\<^ i, le point x appartient à C , et la série

(0 ?(^o) + -~~' 'f'(:ro) + ^^^^- o"(:r„) + ...

( '1 Notons que la proposition f^ ^ ^^f'j- x résulterait ici de la règle pour prendre la dérivée d'une série entière et de ce que cette proposition est vraie (juand ia fonetion / se réduit à un monôme.

i:ii M'irnn \i. — ntNcrinvs i.r. \ \iii Afti.r.s iMAM.wii-.r.s 3r>7

converirc ahsoliinieiil, sa soiiimp est égale à '^ .'■ . Il \ a cxitlrinment une infinité de nombres positifs • qui jouissent de celte propriété, car si £ la possède, il on est de même des nombres positifs plus i)elifs; mais Tonsenible des nombres positifs - qui jouissent de cette prû|)ri('lé esl bcirné en haut, puisque le nombre î ne peut dépasser [li la (listancc du puint ./■„ à la lionlière du conlimunn. ni le ravon de convergence de la série. Soit o Xo la borne supérieure de l'ensemble des nombres i; dire qu'à chaque point Xo de C correspond un nombre o 'xn , c'est dire que la fonction o x esl déterminée dans le continnum C : o(x) est un nombre positif qui n'est jamais nul, qui devient d'ailleurs aussi petit que l'on veut, quand x s'ap[)roche suffisamment de la frontière de Ci.

Soit maintenant D un ensemble clos, contenu dans C : Je vais di'iuonfrcr que la borne inférieiuc de rcnsemble dos valeurs que prend la fonction o 'x pour les points x qui appartiennent à l'ensemble clos D n'est pas nulle.

Supposons en elTel. pour arrivera une contradiction, que cet le borne inférieure soit nulle. Alors, à chaque nombre positif a, si petit qu'il soit, doivent correspondre un ou plusieurs points x. appartenant à D . tels que l'on ait o x) <C5t; soit E (a l'ensemble do ces poiuls. Si Xon a a' ■< a, l'ensemble E a' est évidemment contenu dans E a . Il y a donc un ensemble E o n'"' 283. 156 de points k dont chacun jouit de la propriété suivante : ou le pttint /. appartient à tous les ensembles E a), ou il est un point d'accuuudalion pour chacun de ces ensembles. Dans le premier cas, le point k appartient à D puisque tous les points de E a appartiennent à I) ; il en est de mon)e ilans le second cas, car tout point d'accumulaliou do E a est un [loint d'accumulation de D et, par conséquent, apj^artient à cet ensemble D , qui est clos. L'ensemble E o est donc contenu dans D .

Prenons pour x» un point de cet ensemble E o . Quehjue petit que soit le nombre positif a, il devrait y avoir, aussi près qu'on voudra ilu point .r,„ îles points x^ ap[)artonanl à D tels que l'on eût 0 X\ <C'J.. Mais cela est impossible : si l'on a en effet \x\ — jCo ! <1 0 jr,> , le point ./'i appartient à C et le rayon de convergence de la série

il) '.{x,) + o'(x,) "" 7 ''' + ^-i-r.) ^"^ 7^''^' + ...

SaS INTIiOItrC.TION A I A TlIl'Olil K HKS lONCTIONS

est au moins t'gal à c .i\, — j ^i — x,, ; lout point x intérieur au cercle de centre X\ et de rayon o xo — j xi — «Ai ', cercle qui est tangent intérieurement au cercle de centre .»;„ et de ra\on o Xq) appartient évidemment à ^^G) ; d'ailleurs en un tel point x la somme de la série 2 est égale îi o x) ; on a donc

il suffit de su[)poscr

pour que l'on ait o^/;,^ >> o .r,, ; il y a une borne au-dessous de laquelle o Xi^ ne peut pas descendre.

356. — Convenons de dire de deux fonctions ç; x , 'i> x régulières au point ./.'n, qu'elles coïncident complètement en ce point quand on a

Le Icmme du précédent numéro a été établi afin de démontrer l'importante proposition que voici :

Si les deux fonctions 9(£cs 'i^ x , régulières en tout point du continuum C coïncident complètement en un point de C), elles coïncident complètement en tout point de ce continuum.

Soit, en effet, X un point du continuum autre que x^. On prendra pour l'ensemble parfait D un lieji intérieur à C; et joignant le point Xii au point X\. ; supposons que ce lien soit défmi par les formules

oiift), g l désignent des fonctions réelles de la variable réelle /. Conservons à la fonction o x la même signification que dans le précédent numéro ; cette fonction dépend de la fonction o '^j î à la fonction 'b [x] correspond une fonction analogue Oi 'x, ; les bornes inférieures des deux fonctions ^(x}, Oi 'x] pour les points x qui appartiennent au lien 'D^ ne sont pas nulles ; soit c un nombre positif plus petit que ces deux bornes ; intercalons entre ao et a des nombres croissants /i, l>,... in, assez voisins [)0ur que, si l'on

r.ii.vi'iTKi: \i. — KONcrio.Ns iiK v.vniAiM.F.s iM.vciN Aii!i:s 329

<lésigne par Xi, Xi,..., x,, les points du lien qui correspondenl aux nombres intcrcalaiios, la dislance entre deux points consécutifs de la suite

soit toujours moimlre que i; décrivons des points x^, Xi,... x„ comme centres, avec le même rayon z, des cercles '^Co),^Gi ),..., C,,) ; chacun des cercles contiendra, à son intérieur, le centre du suivant : le point X est intérieur au dernier.

Parlons du point x^\ en vertu de la supposition, les deux séries, entières en ./; — j?^,,

«V(Xe)4-^^p-)-.y'(a.„)4-...

sont identiques terme à terme : à l'intérieur du cercle Co , un même développement convient aux d(Mix fonctions, qui coïncident donc complètement en tout point intérieur à C^ , au point .x'i, en particulier. A l'intérieur du cercle Ci , un même développement

convient aux deux lonctions, (jui coïncident donc complètemenl en tout point intérieur ù C, : elles coïncideront de même à 1 intérieur de C2 , ■.., de >C„) et, tînalemenl. au p(jinl \. La proposition énoncée est démontrée.

On peut l'appliquer en particulier à la fonction 'f[Xj et à la somme ^]> x , de la série

([ui coïncident complètement au point x^.

S'il arrivait que le continuum C , où l'on sait que la fonction ^{x; est régulière, fût intérieur au cercle de convergence de la série qu'on \ient d'écrire, si, en particulier, la série était [)artout convcrf^cnle. les deux fonctions o'x,, <l» Xj coïncideraient conqjlètcment en tout point de C . Si le continuum C des points intérieur> au

33o IXTROM CTIO.N A 1. A TIlKOUli: DES F(»CTIO>S

cercle de convergence de la série est contenu dans C , on appliquera le même théorème au conlinuum C : à l'intérieur du cercle de convergence la somme ilo la série r('[néscnlo toujours la fonction o jc\ On démontrera d'ailleurs ullérieuremenl, par des considérations d'une toute autre nature, que le ra^on de convergence de la série ne peut pas être inférieur à la distance du point Xq à la frontière de C .

357. — Considérons maintenant deux fonctions ç x , ^ x) respectivement régulières dans les continviums <I>\ (^' supposons que ces deux fonctions coïncident complètement en un point r commun aux deux continuums <I> , W .

Le point | étant commun aux deux continuums, les points voisins du point I seront aussi communs à ces deux continuums : l'ensemble des points reliés au point r par un lien appartenant à la fois à <1' et à M constitue un conlinuum C auquel s'applique le théorème du numéro précédent : en tout point de ce continuum les deux fonctions '> x , 'b x). coïncident complètement ainsi que leurs dérivées.

Les deux continuums ^I>), (W) peuvent avoir des continuums communs autres que le continuum (C ; naturellement, on ne peut alTîrmer que les deux fonctions 'j'o: ", 'lii[x) coïncident dans ces autres continuums, à moins qu'on ne sache d'ailleurs qu'elles y coïncident complètement en quelque point.

Dans le cas oii les contimmms <!> , 4 n'ont pas de points communs en dehors de C , l'ensemble des points qui appartiennent soit à [^ , soit à 4' constitue manifestement un continuum C')et l'on peut, sans contradiction, définir une fonction '/x , régulière dans tout le continuum C'y, comme étant égale à o a; pour tout point de O), à 'b'x pour tout point de V. On remarquera en passant que si £ est un point de la frontière de 4 qui soit intérieur à '<& , on aura certainement

lim. 'l{y) = cp(t);

en supposant que x s'approche de | sans sortir du continuum f'^), supposition nécessaire pour que le [)remier membre de Tégalité ait un sens.

( IIAl'lTriF. M. roNCTIO>S ItR VAIUABLES IM.VIil.NAIIlF.S .')3l

La proposition ptécédentc .s'ap[)lique en i)articulier dans le cas où '> a* et 'b X sont des séries entières, l'une en x — a'u, l'autre on .'• — .'-"i, il savoir >

Ci (x) = (1^ -f- a^ X — :rj -h a, (.r — xj' -h ..., 'l[x) ^h,^b, {x — .r,) + h,{r - r.Y + ...,

iorsqu il y a un point | inléiieur à la fois aux cercles de converirence des deux séries, pour lequel les fonctions o(x' et 'b 'x) coïncident complètement.

Soient alors C„ , C, les cercles de converj.'-encc des séries ç; x , 'b V . cercles dont les centres sont en x„, o-j et dont je désiii^nerai les rayons [)ar R„, U, : on peut prendre pour ^<^}, (¥ les continunms intérieurs aux deux cercles ; l'hypothèse est alors qu'il y a un point I intérieur à la fois aux deux cercles, pour lequel les deux fonctions çj x\ 'b^x) coïncident complètement.

Les notations précédentes supposent (pie les deux rayons de convergence sont finis; si l'un des rayons de convergence est infini, si, en d'autres termes, l'une des séries, 0\x) par exemple, est convergente dans tout le plan, ou pourra prendre pour <1> le continuum intérieur à un cercle de centre x^ et de rayon arbitrairement grand : il résulte alors de ce qui a été dit im peu plus haut que, en supposant toujours l'existence d'im point r où les deux fonctions coïncident complètement, la série 'b x est convergente dans tout le plan, comme la série '> x ; les deux fonctions coïncident tlans tout le plan.

Si le centre j;, du cercle Ci est intérieur au cercle Cq ,. les deux fonctions o x , 'b x . qui coïncident complètement en tout point intérieur aux deux cercles, coïncident complètement, eu particulier, au [)oint Xi ; on a donc

et, d'après ce qui a été élahii au n" 350

Ri>Ro- I .'•, -r„\.

Sup|i<)<;ons, en restant dans ce même cas, U, >> B^ — [ x^ — .r„ [; on savait, par le n" 350 que les deux fonctions 'b[x\ rp'x^ coin-

332 I.M"i;(Hll iTKt.N A t.A llIKOUll-; IIF.S bO.NCTlO.NS

cidcnl complètcinenl à lintéiieur du cercle décrit de x^ comme centre et tangent intérieurement au cercle Cq , on sait maintenant que la coïncidence subsiste dans tout le conlinuum intérieur aux deux cercles. On a d'ailleurs

car si II, dépassait le second membre, le point x^ serait intérieur au cercle C, et, d'après ce qu'on a dit ffuand on supposait au contraire Xi intérieur à (Cq), on doit avoir

Ainsi quand il \ a un point £ intérieur à la l'ois aux deux cercles de convergence C^;, G/ pour lequel les deux fonctions ç«(x , à(x] coïncident complètement, les deux cercles Co), (Ci) peuvent se couper, l'un deux peut être tangent intérieurement à l'autre; mais il ne peut pas arriver qu'un des cercles soit intérieur à l'autre, (sans lui être tangent . Les rayons de convergence Ro, Ri et la distance des centres \ x, — x^ \ satisfont aux inégalités.

1 R. - Ro 1 ^ I --r, - -^0 i. Ri + Ro > I ^. - '-^0 1-

Supposons la fonction fix) régulière en tout point du continuum C ; faisons correspondre à chaque point x^ du continuum le rayon de convergence R x^) de la série

la première des inégalités qu'on vient d'écrire permet de reconnaître immédiatement que la fonction R x définie dans tout le continuum, est continue en chaque point de ce continuum.

Si l'on considère un ensemble clos D contenu dans (Ci, la fonction R (x) est uniformément continue dans cet ensemble; elle y atteint son minimum; la borne inférieure de R (x) pour les points X qui appartiennent à D ne peut donc être nulle.

358. — Voici maintenant quelques propriétés des fonctions régulières en chaque point d'un continuum, qui résultent immédiatement des propositions qu'on vient d'établir. Dans le présent numéro, 'S> [x. désignera toujours une fonction régulière en chaque point du continuum C , et x^ un point de ce continuum.

(.iiAi'iTiu-; \i. — i(>.\(.Tio.\,s ui; v.uuAiti.Ks i.MA(ii.\Aiiti;s oo3

Si les dérivées de la fonction '> 'x) à partir de la n -h i^tmo g^^^^ toutes nulles au point .ro. cette fonction se réduit au polvnome

? (^«) + "-^^-' ?' (^o) + ^^^^- ?" (^o) + ■ • • + ^-y 7 "^^^^ •^*"> (.To).

Ce polynôme, en o(Tet, [tout être regardé comme une série entière en x — .Co, convergente dans tout le |)lan et il coïncide complètement avec la fonction '> x , au point .To-

Si toutes les dérivées à [)nrtir de la première, étaient nulles, la fonction '^ x serait une constante; elle serait identiquement nulle si l'on avait en outre o x\, = o.

Ecartons le cas où la fonction Ç5 x serait idcnlif|iiement nulle et supposons qu'elle s'annule au point x^; il peut se faire que les dérivées o' ^x\ '^' [Xji ■■■ soient nulles pour x = x^; mais il v a certainement une première dérivée 'f '"* ^jî qui n'est pas nulle en ce point; on peut mettre alors '^(x) sous la forme

(5 (a-) = [x — Xq)" * [x), en posant

C5(n)C.X„') o^"+^Ux ]

'{> X est une fonction régulière en x^^, qui ne s'annule pas pour .r = X(,; dans ces conditions, on dit que Xq est une racine de '-^[x) d'ordre n de multij)licité. En tout point du continuum, autre que Xfl, la fonction <]> :/; pourrait être définie comme étant le quotient de G X par i^x — .a'o " ; en un pareil point elle est régulière puisqu'elle est le quotient de deux fonctions régulières dont la seconde ne s'annule pas; la fonction

à laquelle on altiibue, pour x ^=z .r^, sa vraie valeur

est donc régulière en chaque point de (C .

Il ne peut pas y avoir un ensemble (E conicnu dans C), admettant./;,, comme [)i>int d'accumulation, tel que '> .') soit nul en

33^ i.NTRoin criov \ i.v TniinniF, i»es fonctions

tous les points de cet ensemble : >i, en effet, il existait un tel ensemble, la série entii-re en h

aurait une somme nulle jiour une inllnité de valotirs de /; aussi voisines de zéro qu'on le Aoudrait ; tous ses coefficients do\ raient être nuls.

Mais rien, dans la démonstration précédente, ne s'oppose à l'existence d'un ensemble E , contenu dans C , pour différents points duquel la fonction ç x s'annulerait, si tous les points d'accumulation de cet ensemble apparlieiment non à C , mais à sa frontière.

Si ^D est un ensemble clos contenu dans C), l'équation "S/fx =0 ne peut avoir qu'un nombre fini de racines appartenant à l'ensemble D .

En effet, si l'ensemble des points racines qui appartiennent à

D était infini, il admettrait un point d'accumulation, qui serait

un point d'accumulation de D , qui appartiendrait donc à D .

puisque D est clos, et par conséquent aussi à C : la fonction

o[x] serait identiquement nulle.

Soit 'ly'x une fonction régulière en t^jut point de C , comme 0(0- .

Si l'on a 'V''^ [x^^ = c-'^'* Xq , pour toutes les valeurs dep qui dépassent n, la différence entre les deux fonctions 'ij(x^, o Xi est un polynôme en x, de degré inférieur ou égal à n.

Si l'on avait -> x = o x pour une infinité de points x appartenant à un ensemble clos, contenu dans C , on pourrait affirmer l'identité des deux fonctions .1/ x .'>(.'■ , dans tout le continuum C .

359. — Soit toujours G ./; une fonction régulière en tout point du continuum G ; je suppose essentiellement que cette fonction ne soil pas identiquement nulle. Soit D, im domaine simple contenu dans (C . On a vu que les points de D) pour lesquels o(x s'annule sont en nond^re fini et que la fonction o x , si elle s'annule pour un point a du continuum pouvait se mettre sous la forme

(iiAi'iTUK M. — KO.\<:ri(t>s m; vaui aiii.ks imai.in.vikks .).-».>

en (lt'>ij-'nant [Kir :;, x une l'onclion, régulière en tovit point du continuuin. qui ne s'annule pas p<Mir x = a.

Soit maintenant /' une antre racine do z x appartenant à D ; ce sera aussi une racine do '^^ x ; on [xnura ôcrirc

en désignant par s. x une Ibnction. régulière en tout point du continuuni, (jui ne s'annule- pas pour x = h, non plus que pour jc ^== fl ; on a alors

ç (x) = {x — a)^ {x — by o.^{x),

cl l'on reconnaît sur cette ég'alilé que ^S est Tordre de multiplicité de la racine h, pour o x,. En continuant ainsi, on arrive à la conclusion suivante :

Soient a, h, ..., / les racines do o'x, qui a[)[)articnnont au domaine D ol a, :j, ... À les ordres do multiplicité de ces racines ; on peut mettre o x sous la forme

'f (.r) == (x — «)=" {x — bf ... {x — l/'^ix;,

en désignant par <1> ,/;^ une l'onction régulière en tout [)oinl de G) et qui ne s'annule pour aucun point de D .

En raisonnant maintenant comme on a fait au n" 334 on reconnaît que si le point x décrit la frontière V du domaine D , dans le sens direct, l'argument de ç- x) s'accroîtra de la quantité 2:: (a 4- p -+- ... -h /) ; inversement, si l'on a un moyen d'évaluer l'accroissement de l'argument de ç. x^ quand le point x décrit une courbe formée simple contenue dans G , on a, par cela même, le nombre de racines de la fonction c x contenues à l'intérieur de cette courbe. On peut dire encore que le nombre a h- ^ -h ... -h À est l'ordre du point n par rap[)ort au lien fermé décrit [)ar le point 'ji X quand le j>oint x décrit la courbe simple F , dans le sens direct.

Il est à peine utile de remarquer que si A est vmc constante, la fonction zix — A est régulière conune la fonction 9(>c). Par conséquent, il n'y aura qu'un nombre fini de points de D) pour lesquels la fonction z, x i)eut prendre la valeur A. La variation de l'argument de z x — A quand le point x décrit, dans le sens

336 I.\TU(Htr(.TIo.\ A LA TIIKdrtlF. HKS rONCTIONS

diiccl, la courbe fermée simple F est le prodiiil par -.ir. du nombre de racines do l'équation ©(a?) = A appartenant au tlomaine D , cliacunc élant comptée avec son ordre de mulli|)licité.

360. — .l'empliiicrai le svmbole P(a7 ; (i) pour désigner une série entitre en x — a ; la lettre P ])eut d'ailleurs être affectée d'un indice, afin de distinguer des séries qui procèdent suivant les puissances du mémo binôme. Lue série V x\ a semble tout d'abord ne définir une lonclion qu'à l'intérieur de son cercle de convergence; mais les propositions établies dans les numéros précédents permettent souvent de continuer la fonction au-delà du cercle de convergence; une telle série est ce que ^A eierstrass appelle un élément de fond ion analylifjue ; ou verra tout à l'heure comment il permet d'engendrer les autres.

Je désignerai sous le nom de chaîne de cercles et de chaîne correspondante d'c'/tv/u'/i/.s de fonction, une suite de cercles

(C), (co. ... (c„)

dont chacun, sauf le dernier, contient à son intérieur le centre du cercle suivant, et une suite d'éléments de fonction

|)Our lesquels les points <"/,«,, ..., a„ sont les centres respectifs des cercles C:, Ci , ..., C„ , chaque série qui représente un élément de fonction étant convergente à l'intérieur du cercle correspondant et coïncidant complètement au centre de ce cercle avec l'élément de fonction qui précède.

Les cercles peuvent être les cercles de convergence des éléments de fonction qui leur correspondent.

Considérons un lien L ayant son origine au point a et son extrémité au point b ; je suppose, comme d'habitude, que les points de ce lien soient déterminés au moyen d'un paramètre réel t ; je désii2rnerai en général par la lettre c, affectée ou non d'indices, le point du lien qui correspond à la valeur / du paramètre, affectée ou non des mêmes indices.

Imaginons qu'on intercale entre a et ^^ les nombres croissants /,, /, ... /„i, auxquels correspondent les points ç,, r^, ... £„i. Il nous sera commode d"em[)loyer les lettres /„, /„, Ço, ç„ avec la

ciiAi'iTni; XI. — rciM.TinNs m: vmuaih.ks iM\iiiN\iiu:s .).)7

même .signification, rcs[)ccliveinoiil, (jiic les lellrcs a, [j, a, h. !)(>i

■inons par /i , A , /„ les liens partiels que l'on obtieiil en

faisant varier / de /„ ou a à /,, de /, à /., .,., de /„, à /„ ou [j. Supposons qu'on puisse constituer deux chaînes correspondantes ilr cercles et d'éléments de fonction qui jduisscnt îles propriétés suivantes : Les cercles

C(fl), C(.^), ...,C(L..), C(/.)

ont pour centres respectifs les points |,j ou d, |,, ..., r„|. q„ ou h; les n premiers contiennent respectivement à leur intérieur les liens partiels /, , 7^), .,., i /„ ; quant aux éléments de fonction correspondants

le premier est doimé et l'élément P x ; ç,,) est déterminé par la condition de coïncider complètement avec l'élément précédent P x; 4,,i, au point £,,.

Soit maintenant t une valeur du paramètre, appartenant [)ar exem[)le à l'intervalle '7,,,, /, et ç. le point correspondant, qui fait alors partie du lien 7,, , A ce point £, ou plutôt au nombre /. faisons correspondre, d'une part, un nombre que je désignerai par ':., z et, d'autre part, une série entière en x — |, que je désignerai par P( x; |,, le nombre 'f(^ est la valeur que prend en | la série P x ; c,,i) ; la série V/x ; £) est la série entière en ./• — ■ z qui coïncide complètement en £ avec la fonction P x; ç^,, ; on a d'ailleurs 'v/ ç) = Pi ç ; c). Si t était égal à /,,, la série P<^ix; Çp) ne serait autre chose que la série qu'on désignait plus haut par P X ; z,,) et qui coïncide complètement en |,, avec la fonction

Le lecteur reconnaîtra tout de suite la vérité des propositions suivantes :

Si les nombres / , /' appailienncnt à l'intervalle a, fi et sont sullisamment voisins, les deu\ séries

coïncident complètement en tous les points du lion partiel que l'on obtient en faisant varier / de /'à/'; pour tous les [)oinls de ce lien partiel, leur valeur est égale à celle de la fonction c, z .

Tamsebï II. — iDlioiiuclion à la Théorie îles fonctions -J-i

338 iMuonrr.TioN a i.a iiironiF. dks imnc.tions

Celle dernière fonction, considérée comme une fonction de /, est continue dans rintcrvalle y., ^'j .

Le rayon do convergence 11, £ de la série P, x ; £ est aussi une fonction continue de / dans le même intervalle et reste supérieur à un nombre positif li\e; cette dernière* proposition s'établit en raisonnant comme à la lin du n" 357.

Il convient de remarquer que les séries P, x ; £ , à supjioser qu'elles existent, sont déterminées par la fonction Çr^ç^, puisque deux séries entières en .7' — |, qui prennent les mêmes valeurs pour les points d'un ensemble infini admettant le point £ pour j)oint d'accumulation sont identiques terme à terme : les points du lien L voisins de £ constituent un tel ensemble.

En partant du même élément initial V x ; a et du même lien L , on aurait ])u intercaler entre a et ^1>, au lieu des nombres /,, t,, ... /„,, d'autres nombres /,. t\,, ... /;., auxquels auraient correspondu sur le lien les points £,. ç.,. ..., £,., [)uis des séries V x\ £', . ...: en procédant de proclie en proche, le lecteur se con\aincra sans peine qu'on serait parvenu au même résidtat final. aux mêmes fonctions Pi .r; £ , '^((£; que tout à l'heure. Dès lors il se rend compte de ce qu'on doit entendre quand on dit que, en partant du point n avec l'élément de fonction P .r, a et eu suivant le chemin L . on parvient au point £, qui correspond à la valeur / du paramètre, avec l'élément de fonction P, x; £ et avec la valeur Ot'q = P( £ ; £).

Si le lien L) était simple et ouvert, on pourrait simplifier un peu les notations ; un point £ du lien ne peut alors être fourni que par une seule valeur du jinramètre / : on pourrait alors supprimer l'indice / dans les symboles Oi £ , P; x \ £ , ... ; mais (juand un même point £ correspond à jilusieurs valeurs de /, il est nécessaire de garder, par exemple au moyen de l'indice, la trace de la valeur de / d'où l'on suppose que le point £ provient, car rien n'implique dans les hvpothèses précédentes, qu'aux diverses valeurs de / qui fournissent le même point £ correspondent le même nombre ç; £ , la même série P x; £ . Si. en particulier, le lien est fermé, si le point }> est le même que le point a, rien n'oblige à supposer que les séries sont identiques, que Ion a désignées plus haut par Pfa: ; « , P x ; b et que l'on pourrait désigner plus explicitement par Pa X ; a , P 3 x : b , dans le cas surtout oîi l'on a 6 = a.