Considérons, comme premier exemple, la formule

/ \ / \ mm (m — i) ,

(i\ (i -h xy" = i -h - X -^ -^ ' X- ~h ....

qui est établie n" 188 pour les valeurs réelles de m et pour les valeurs réelles de x intérieures à l'intervalle — i, i .

Dans le présent numéro, je désignerai par f Xj la série qui figure dans le second membre de cette égalité, ou la somme de cette série supposée convergente.

Le rayon de convergence de la sériey* a; , regardée comme une série entière en x, est i : la fonction f'x] a un sens, quelque soit m, si l'on a { ac | <C i ; cette fonction peut être regardée comme une fonction des deux variables x et m: à ce jx)int de vue les remarques faites au début du n" 188 subsistent : si a est un nombre positif pins petit que i et M un nombre positif quelconque, la fonction/ x est continue dans l'ensemble des valeurs de x et de m qui vérifient les conditions

ciiAi'iruK M. — K(».M:rio.\s i»i-: v.u;iaI!I.i;s imacinaiuks .)j.)

l'our ce (|ni est de la sl^Mulicalioti tlii premier iheinbre i + ./,■/" (le l'égalilé (I , il y a lieu d'exaiuiner successivement le cas où /// est entier, IVactionnaiie. iirationncl, imaginaire.

Supposons d'abord m entier; i -i- x/" a un sens bien net, c'est une fonction rationnelle de x, un polynôme de degré /// quand /// est entier et [)Ositif; l'égalité ;^i résulte alors des règles qui concernent la multiplication, elle est vraie ([uel que soit x. Il est aisé de voir qu'elle subsiste quand m est un entier négatif, sous la condition ! X ! < I.

Si en cil'et, ou mulliplie le seconti mend)re/ x par le polynôme de degré — m

et qu'on ordonne par rapport à x, on trouvera i conime résultat n" 346 puisque, lorsque ./• est réel, le produit de i H- a?)'" par 1 -1- a; ~"' est égal à i. La règle pour multiplier deux séries entières en x, ou une série entière en x par un -polynôme en x, ne dépend pas de la réalité de x : pourvu qu'on ait | ic j <; i, le second membre de l'égalité i multiplié [)ar le polynôme (i -l- x)~'^ donne i comme produit.

Légalité I est donc établie lorsque m est un nombre entier négatif, .sous la condition \x\<^ i .

Examinons maintenant le cas oi'j m est un nombre rationnel non

entier; je suppose que m soit égal à la fraction irréductible , à

dénominateur positif; il est bien aisé de voir que l'on a alors, pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition j x ] <C i,

L'expression | / z")]' s'obtient en elVet en faisant le produit de y séries égales l\ J x , d'après la règle de multiplication des séries, valable sous la condition ' ^ | < i ; sous celte condition et si x est réel, la somme de la série entière en x ainsi obtenue doit être égale à I -h .r '' et, par conséquent, à la série nu au [xilynome

o'i/l INTRlthl ( TION A I.A niKOIUK DI'.S FONCTIONS

qui doit donc n" 346 tire "ulenliqiie Icriiie. à terme, à la série pro (luit : l'égalité 2 est établie sous la condition ' .r ] •< ' .

Sous cette condition, la fonctiony x , qui a un sens bien piécis, l'on mit donc une solution de l'équation en r

(3) vï = (l -H x)i';

mais cette dernière équation, (juand on se donne x, ne détermine pas complrlement y, qui est susceptible de ry valevns. toujours distinctes tant que x n'est pas égal à — i et qui se déduisent de l'une quelconque d'entre elles, en la multipliant par les fj racines de l'unité n" 325 . Il importe de savoir distinguer laquelle de ces racines est égale à la série fx .

Soit a un nombre positif fixe [)lus petit que i. Dans le domaine défini par riiiégalité x\^a, la valeur absolue de la dilTérence entre deux racines de l'équation 3 reste supérieure à un nombre

])Ositif fixe ; elle est, en elTet, au moins égale à 1 1 1 — a s'in

n" 325 . D'ailleurs, dans ce domaine, la

Ibnction / x est continue ; il y a donc,

dans ce domaine, (j fonctions continues

qui \érificnt Téquation 3 , et qui restent

distinctes entre elles, puisque la diflérence

entre deux d'entre d'elles reste supérieure

à un nombre fixe. Celle des solutions de

'""■ '~' l'équation 3 que l'on a désignée par

/ X jouit de cette propriété de se réduire à la valeur arithmétique

de v/(i -h x)i' quand x est réel et appartient à l'intervalle — a, aj.

D'un autre côté, un procédé pour définir sans ambiguïté i H-x}? consiste à regarder sa valeur absolue comme étant égale à la valeur

arithmétique de {/ i -\- x \'' et son argument comme étant égal au

produit par' de l'argument de i -h x n" 327 ; dès que l'on a

p choisi ce dernier argument, la signification de i + x/^ est fixée.

Or il suffit de regarder la figure 38 pour constater que, lorsque x est

un point intérieur au cercle de centre o ot de rayon i, l'argument

de 1 -H 3î, ou l'angle dont le premier côté est la direction positive

sur l'axe réel et dont le second côté est la direction qui va du

CIIAPITKK M. IdX.TIU.NS liK VAIll.UtI.E6 IM Afil> Al IIKS .> |.)

point — I au jiDint ./;. |icut èlrc supposé compris ontrc — cl — ;

il est alors nul quand ./; est sur l'axe réel; le point x est supposé ne pas atteindre le point — i où l'argument de i -h x serait complètement indéterminé. Dans le domaine i a; J < a, l'argument ainsi défini est une ibnction continue de x, il en est de même df

son produit par , de la valeui- arithmétique de \' \ -\- x ''' et enlin

/■ de la fonction i + x '' définie comme ayant son argument égal

au produit par de l'aigument de i h- x. Cette lonction i -\- x '' ,

ainsi délinie. a d'ailleurs son argument nul. quand x est réel et appartient à l'intervalle — a, a) ; elle est alors réelle et positive, elle coïncide donc avec f x dans tout le domaine ) a; j < «. Il en est d'ailleurs ainsi dans tout le continuum défini par l'inégalité X <^i, puisque le nombre a peut être sujiposé aussi voisin de i qu'on voudra.

Dans le cas où l'on aurait = ^"- , la fonction f x , dont

l'argument doit être compris entre — y et ^ , peut être caractérisée

C(»mme étant celle des valeurs \/i -+- x ou de ^ , — =^ dont la partie

réelle est positive ; notons en particulier l'égalité

J I , 1.3 , 1.3... (an — i) ,