X- + t| + ... + xf, — x\ -v ... -I- x'I = I
NOTK Sl'U QUtLQL'ES AI'PI.ICATKI.NS DE LIMJICK I)K KHO.MXKKIl /ijS
Comme ce dernier indice c'est-à-dire Tordre du centre par rap[)ort à la surface de notre sphère) est dill'érent de o, il existe forcément un point inlcricur oi'i les l'onclions (28) sont simnllanénienl nulles.
41. — Notons encore que la considération de l'indice permet de généraliser à une transformation hinnivorpie et continue quelconque une notion classique relative au sens des aires.
Lorsque tians les équations 24'; les f ont des dérivées, on sait que la transformation conserve le sens des aires si son déterminant fonctionnel est positif et le change si ce déterminant est négatif.
En nous bornant aux équations (2/4, soit dans le plan du point (x, y) une courbe fermée sans point double c limitant une aire s, les points intérieurs à s auront par rapport à c un ordre égal à -h i ou à — I .
A c correspond 'si comme nous le supposons la correspondance définie par les équations i 2/i) est parfaite et continue une courbe fermée sans point double C limitant une aire S. Les points intérieurs à celle-ci auront, par rapport à C, l'ordre di i.
On peut dire (prune courbe telle que c ou C est décrite dans le sens direct si l'ordre des points intérieurs par rapport à cette courbe est -\- 1 , et dans le sens rc/rot/radc si cel ordre est égal à — i .
Or, la tranformalion 24 peut conserver ou changer, suivant les cas, le sens ainsi défini. Mais cela ne dépend que de la transformation elle-même du moment qu'elle est supposée parfaite) et non du choix de la courbe fermée parût ulière r.
Il suffit pour le voir de déformer cette dernière d'une nianièie continue.
Du cas du plan, on passe aisément à celui dune surface bilatère orientée comme il a été expliqué [)lns haut.
42. — Je signalerai sommairement une autre série d'applications des mêmes princi|)es i ' .
C) Noir, à ce sujet, les Mémoires de M. l'oincuié sur les courbes défiiiios par les équations diiïérenlielles, Jauni. </<• Mutlt , 3" série, t. ^ll, VIII; \' s. t. F; ccu\ de M. Djck dans les UcrUlile der Gcsellscli. ilcr W iss. :ii I.rl[):iii, t. j- (i8^.")), [j. 3i/t ; t. 38 (i88(5), p. 53 et plusieurs récents tra\aii\, do M. Brouwer, insères dans les l-'roccs-verbaux de l'.Ycadéiuie rojalc des Sciences d'Amsterdam.
'|-'| IMIIOI»! i;T10> a I.A TlIKOltlF, DKS I(»NC.T10NS
Considérons une vaiiélé V, reinice el m fois étendue de l'espace à n dimensions '^n > m) ; cette variété sera supposée adincllie en chacun de ses points un plan tniv/fnl déloiminé, variant continûment avec la position du [Joint.
Le cas le plus simple, et que nous aurons surtout en vue pour fixer les idées, est celui de la surHice d'une sphère dans l'espace ordinaire.
Imaginons, sur \ , une distrihiilion vectorielle lnn<jenlc : c'est-àdire faisons correspondre à chaque point de V un vecteur langent à \ en ce point. Les composantes de ce vecteur seront supposées varier continûment, mais n'admettront pas nécessairement de dérivées partielles par rapport aux coordonnées de son origine.
Il interviendra d'ailleurs, surtout par sa direction : il est essentiel de remarquer que celle-ci sera indéterminée quand le vecteur sera nul et alors seulement.
Les paramètres directeurs pourront être considérés comme proportionnels à un système de différentielles dxi,... dx„ des x, lesquelles correspondront (dans chaque élément) à des ditTérentielles déterminées da\ ... du,,, des paramètres ii (en supposant, comme cela est légitime d'après l'hypothèse faite sur Y, que les x soient dérivahlcs par rapport aux ii.
Ces différentielles dui, du,,,, ou encore d'autres quantités finies) ).i,... /.,n qui leur soient proportionnelles avec un l'acteur de proportionnalité positif, pourront être regardées, à leur tour, comme définissant une direction de vecteur dans l'espace lieu du point paramétrique. Celte direction du vecteur ne sera indéterminée que si la première l'est. Nous admettrons que cela n'a lieu qu'en un nombre fini de points, et nous supposerons la décomposition de Y en éléments faite de manière que ces points ne soient sur aucune face.
Dans ces conditions, sur la frontière de chaque élément, le système y.i,... ).„,) correspondant admettra un indice déterminé. Considérons la somme a de tous ces indices.
(Jn démontre 'y qu'elle ne<lé[)enil ni de la roprésenlation parauiélrique adoptée pour Y, ni du choix de la dislrihulion tangente.
Lorsque le nombre //( <jsl iuqwir, la somme en question est
(') \oir les travaux cités ci-dessus.
NOTE Snt Ml F.I.nIF.S \I'PI.I(;\TIHNS DR l/lMtH.I-: IH". KIUINKCKF.U 'j73
nulle; car, cra[)rî's ce (jiie nous venons do voir, elle ne devrait pas changer par le cliangciiient de signes siniullanés de tous les À, lequel la mulliplie, comme nous l'aNons vu. [>ar ' — i)'".
11 en est autrement pour les valeurs paires de m. L'entier 7 est alors nue des quantités qui caractérisent V au point de vue de de Vanalysis siUis : il a la même valeur poiu- deux variétés homeomorplies quelconques, même situées dans des espaces dont les nombres de dimensions dillV-ront.
Pour avoir une valeur de 7 dilTérente de o, il suffit de prendre pour \ la surface dune sphère dans l'espace à trois Tou plus généralement à 2p -h i) dimensions. Pour la sphère dans l'espace ordinaire, on peut, par exemple, prendre pour direction tangente celle de la tangente au méridien supposé parcouru vers un pôle déleruiiné. Une telle distribution est indéterminée aux deux j)ôles : dans le lélraédroïde ici dans le triangle entourant l'un d'eux, on peut prendre pour paramètres les coordonnées rectilignes du point projeté sur l'équateur et on trouve ainsi [)oiu- la somme des indices
43. — Du lait que l'entier 7 est dilVérent de zéro résulte immédiatement une conséquence bien remarquable.
// esl impossible de faire correspondre à chaque point de V une direction tangente à V en ce point^ sans rjac cette direction soit indéterminée en un point au moins de V.
Car alors l'indice relatif à chaque élément serait nul comme nous l'avons démontré au n ' 33.
Une telle impossibilité aura lieu par conséquent sur la suiiace de la sphère dans l'espace ordinaire.
44. — On peut déduire de là le tliéorcme de Brouwer sur cette surface. (jC théorème est d'ailleurs, dans ce cas, liniili'" aux tran^-
lormations qui consMvent le sons d'orientation n" 41 . Il -'('i r
donc ainsi :
Toute tnuïsfornidtion parfaite et cottfiniic de la surface d'une sjdière, si elle conserre les sens d'orientation, laisse invariant un point au moins.
^"jO IM HDIiICTION A I.A Tlli;(»UIK IiK.S KONCTIoNS
Pour le démi)nli\>r , ' I, soionl M un point quclcon(|uc de la surface; M', son homologue; A, un point fixe. Nous picnJions pour direction tangente en M la tangente au cercle MM'A ; jilus cxaclenicnl, à celui des deux arcs, délcruiinés sur ce cercle par les points A et M, qui contient le point M'. Une telle direction ne devient indéterminée que dans les trois cas suivants :
Si M coïncide avec A ; Si M' coïncide avec A ; Si M coïncide avec M'.
Chacune des deux premières circonstances est réalisée une fois et une seule. Considérons d'abord un élément de sphère entourant le point A. Si l'homologue A' du point A coïncide avec A, le théorème est démontré. Sinon le cercle AMM' sera (pour M voisin de A) très voisin du cercle AMA'. D'où résulte qu'il ne sera à aucun moment très petit. Comme AM est au contraire un petit arc, il fera en M un angle très petit avec le grand cercle AM. Les tangentes à ces deux arcs auront, dans ces conditions, même rotalion totale lorsque M tournera autour de A. Il résulte de là que l'indice de la direction variable dont il s'agit le long de l'élément qui contient A est égal à 4- i.
Si au contraire c'est le point M' qui coïncide avec A, le point M vient en un point B, distinct de A : sans quoi le théorème serait démontré .
Lorsque M tourne autour de H, M' tourne autour de A, et cela dans le même sens, en vertu de l'hypothèse faite sur notre transformation. Le cercle AM'M est d'ailleurs très voisin du cercle AM'13. Or la tangente en B ou en M à ce dernier a un sens de rotation inverse de celui de la tangente en A ces deux droites étant symétriques l'une de l'autre par rapport au plan perpendiculaire au milieu de AB), c'est-à-dire inverse de celui de la rotation de M' autour de B.
Donc l'indice, le long d'un petit élément entourant le point B, est égal à — i, et donne avec le premier une somme nulle.
Conmie, au contraire, la somme totale est (liH'i'ienle de o, la
(•) Métliode de démonstration comnmiiiquce par .M. I5rùu«cr.
.NOTK si'K orKr.ui i:s vpi'r.icATKt.Ns m: i, i.mhck m: kiîonkckkk '177
Iroisioinc livi)t)tliôsc doit c[vc, clic aussi, vérilu'e en im [)oiiit au moins lie la surlace.
Quant aux transformations {|ul changent l'oiicntation, elles peuvent ne point admcilrc do point invariant : tel est le cas de celle qui substitue à r,lia(pii' |)niiii de la surface le point diamc- Iralcmenl oj)posé.
r\i;F.I' DKS MATIKHES Dl T()\ll. Il
