V. Al'l'LIGATIONS

36. Throrcmc de Scli(>eii/l(cs. — La démonstration donnée piécédeninient du ihéorènic de M. Jordan ^^voir u"" 306 et 307 du texte et coinmencenient de la présente note', nous ai)i)rend, non seulement qu'une courbe fermée sans point double divine le [)lan en une région extérieure et une région iiitéiieuie, mais aussi (pu; l'ordre d'un point par rapport à la courbe est égal à o dans la première de ces régions, et à ± i dans la seconde.

Ceci suffit, comme on va le voir, pour démontrer nu important théorème de M. Schoenflies, qui s'énonce ainsi :

Soient

deux, fonctions de x et de y, bien définies et conlimies à l'intérieur et sur la circonférence du cercle

Supposons que les égalités

/'>■. y) =fi^'y /). y (^> y) =^ o {•'-'' y')

ne puissent être vérifiées simultanément dans le cercle en question sans que l'on ait a; = x', j = y'.

Soit G la courbe décrite par le point iX, \ lorsque fx", y^ décrit la circonférence du cercle.

Alors les cijwilions \i'\ où \, \ seront considérés conuiie donnes, anroni une sofiilion évidemment unique d'après llnpotlièse tontes tes fois ijas le point (X, \) sent jiris à l'intérieur de ("..

Ce théorème r('sulte immédiatemciil des [iKqi: i('tés de loiilie et de l'indice établies dans ce qui précède.

^"O 1>TU01)UCT10>' A LA TIlÉoUlli DES FONCTIONS

Kn clTel un point ^\, ^ inlérieur îi G est caractérisé par ce fait (]ue son ordre par rapport à C est égal à ± i .

Ceci revient à dire que l'indice du système {f(x, y) — X, gix, y) — Y) a celte même valeur et est par conséquent dillércnt de o.

Donc les équations (a/j: ont à l'intérieur du cercle (20), une solution commune. C. Q. F. D.

37. — Je vais maintenant me servir, comme je l'avais annoncé, du théorème de Jordan dans l'espace à plus de deux dimensions. Je vais même supposer ce théorème démontré avec un complément qu'il est naturel de lui donner d'après les considérations qui précèdent. J'admettrai non seulement qu'une surface fermée sans point double divise toujours l'espace à /( dimensions en une région extérieure et une région intérieure, mais encore que l'ordre de tout point intérieur est égal à ± 1 .

Dans ces conditions, le lliéorl'ine de SchocnfVics est démontré pour un nombre quelconque de varuddes.

Autrement dit, soit

[ ji (-^i' •••' •^n) — -'^u /g (a?,, .... .T„) = X2,

un système de relations définissant les quantités X comme fonctions continues des x dans un certain volume v de l'espace à n dimensions : volume que je supposerai, pour simplifier (quoique celte hypothèse ne soit pas essentielle , limité par une surface d'un seul tenant.

Supposons que, dans le volume en question, on ne puisse pas avoir simultanément

(36) fi(x^, .... x„) =fi(x[, ..., x'„) (i= I, 2, ..., n)

si l'on n'a pas x, = x^, x.^^x[, ..., Xn=^ x'„.

Soit alors S la surface (nécessairement lèrmée et sans point double; que décrit le point X lorsque le point x décrit la frontière .<> de V. Les équations 'x'^ \ auront une solution toutes les fois que le point \ sera à l'intérieur de ^.

MITK Sl'll (M i;i.nl'i:s AI'PI.ICATIo.NS llK l.'lMUCK Dl, K IKIM.I.KKU ^| 7 I

La jL'iiKiiislralioii clomu'c pour \r cas tic deux xariahics Mil)siste en ciVct sans inodilîcutlon nnc l'ois admises les pio|)osilions cidessus indiquées.

On [)ont nièinc reinarqncr f|n"cllc suppose seulement, pour démonlier l'exislence d'une solution au moins, rim|)ossibililé des relations 2G entre deux points distincts de \a fronlicre S.

On voit par ce que nous venons de dire que le théorème de M. Schoendies n'est pas distinct au fond de celui de M. Jordan.

38. — La portée de ce théorème est d'ailleurs très grande : elle a[)paraîtra si on le compare aux résultais classiques de la théorie des équations du premier degié.

Considérons un système d'équations linéaires dans lequel le nondjre des inconnues est égal à celui des équations.

Quoiqu'un tel système admette en général une solution et une seule, il peut arriver qu'il soit impossible ou bien indéterminé.

Mais la condition [lour que le système admette une solution, quelles que soient les valeurs altiibuées aux seconds mcnd)res, n'est pas distincte de celle qui exprime qu'il ne peut en avoir plus d'une.

Le théorème de M. Schoenllies nous apprend que cette dernière condition entraîne encore la première, du moins dans une })ortion convenablement choisie de l'espace, lorsqu'au lieu d'équations linéaires on envisage des équations tout à lait générales de la l'orme -J V •

39. — La remarfjue suivante découle immédiatement du théorème de Schoenllies.

Supposons qu'entre deux volumes V, V de l'espace à n dimensions (limités chacun par une surface d'un seul tenant^ existe une correspondance parfaite et continue. .le dis que s'il en est ainsi, aux paiiils inlrricurs à V corrcspoiidronl des points inlérlciirs à V' (•/ mu: points frontières de \ , des points frontières de V.

Siq)p()sons en ellel (pie le. puinl I*. intérieur à \, corrcs|)onde à un [>()iiit I*'. sihié sur la frontière S' de V. De son côté, ^'il en est ainsi, la IrontièieS de \ correspondra à une surface S' fermée et sans ()oint double à hupielle 1* n'a[)[)arliendia pas. D'après le théorème de iM. .Jordan, S dt'hmilc un \olnme \ , tout entier inté-

^72 INTIIODIT.TIO.N A LA TUlioiUE DES FONCTIONS

rieur à V. et auquel \^av conséquent P' est extérieur (•), de sorte que les points P, intérieurs à S, ne correspondraient à aucun point P' intérieur à S'.

11 y a donc contradiction avec le théorème de Schoenllics, et notre conclusion est démontrée.

40. — Les considérations précédentes permettent également de démontrer, pour le volume de la sphère, à un nombre quelconque de dimensions, le Ihéorème de Brouwer.

Le volume de la sphère à n dimensions ayant puur centre l'origine et [)our rayon l'unité, est l'eiisemble ^ des points (jui vérifient l'inégalité

(27) xj -h xl -h ... -^ xf, < A.

Le théorème que nous allons démontrer est le suivant : Toute Iransforinalion parfaite et continue du volume V en luimême laissa au moins un point invariant, soit à l'intérieur, soit sur la frontière.

Soient en elTet, ce,, x., ..., x,,; x\, x[,, ..., x'„ les coordonnées de deux points correspondants. Considérons les n fonctions.

^20j X^ .^ly .^2 ~~ ^2^ •••» ^n ^~ "^n

en supposant d'abord que le point ^Xi, ..., x,,) décrit la frontière de la sphère.

Si ces n fonctions s'annulent simultanément, le théorème est démontré. Sinon, le système de fonctions que nous \enons d'écrire a même indice que le système x,, ..., x,, car on a constamment ";

X^ {x^ — Xj) H- .T^ \x^ — x-'J + ... -^ x„ (a-„ — x'„) > o.

(1) Le fait ([uiin poiiil I'' «le S' est nt'ccs.sa ire ment extérieur à toute surface S intérieure à \ ' résulte de ce qu'on peut joindre P' à l'infini par un cliemin continu n'ayant avec V ou S' daulrc point commun que 1*' (ce qui, à son tour, doit être considéré comiiie faisant jtartie du tliéorème de Jordan).

(-) Celte inégalité est, en vertu de lidentitc bien connue de Lagrangc, une conséquence des équations