PREFACE

Si 1(1 jirc'iuicrc cdilioii lie celle \u[iO(\uc[iou i\ la Ihéoric des Jonctions d'une variable (i rendu <jiiel<jues sennces, je crois que ces sernices soûl aujourd'hui êj)uisés, pour Ut meilleure parlie, el <{u'il aurait élé peu utile de 1(1 réimprimer, eu me bornant à ces corrections et améliorations de détail (jui se présentent en foule à l'esprit de (puhjues auteurs, dès (ju'ils oui donné le J)on à tirer de la dernière feuille de leur linre.

J'ai donc écrit à nouve<ai, prestpie enlièrenienl, cette seconde édition : j'espère (lu'elle sera moins incomplète <jue la première, et (pic ce (pie j'ai cherché à faire ij apparaîtra mieux.

Qu'une exposition hnjKjue et ri(/oureuse de l'analyse doive être fondée essentiellement sur l'idée de nombre entier, c'est là sans doute un point (pion accordera volontiers aujourd'hui : (pie, dans le développement de l'analijse, nos intuitions spatiales et nos habitudes (/éométri(]ues aient tenu un r<')le considérable, cela est aussi très certain : non seulement les progrès, mais encore les concepts fondamentaux de l'analyse et de la (jéométrie sont liés intimement. Les uns ont réayi sur les autres. Les extensions successives de l'idée de nombre ont eu j)our but la parfaite adaptalion du nombre éi la (fraudeur continue. Lors même (pion prétend construire l'analyse avec celle idée de nombre, d'une façon purement lo(/i(jue,et pi'on se (jarde d'y introduire aucun élément étraïKjer, il n'est pas nécessaire de méconnaître ces éléments étrangers, ni tout en parlant des nombres, de feindre (pion ignore l'espace. Il est légitime, dans une e.xpositi(m logupie de l'analyse, de se servir des termes et des figures de la géométrie, pourvu tpi'on sache les traduire dans un langage numéri(pie et déduire logi(iuemenl les j)ropriélés niiméri(iues (pi'illustrent les figures. Cela, à mon avis, est aussi légitime (pie d'écrire une for-

iniilc, (jni. (ipris tout, est <iiissi iiiw (igurc. /)(• cette /dçon, l'exposition lo(jii(]ue (le l'andliise teint à se rappvoelxer d'une exposition plus élènientdire, où /,'<)/? cherche à tirer tout ce <]u'on peut de l'intuition sp(di<de. à noir deiutnt soi j)()nr nller f)lus vite, sons trop s'iiKpiièter des fissures (ju'on n'opercoit pus: elle complète et })récise cette exposition.

Je me suis encore efforcé de rendre élc'ment(nre cette Iiilroductioii en ne rechercluint })oint la (généralité pour elle-même; j'ai en hàle d'arriver à ces fonctions spéciales (jui. par la simplicité, la hccnité et l'importance de leurs propriétés, doivent, à mon avis, retenir lonijtemps les commencimts, avant (jn'ils ne s'élèvent dans la réyion des théorèmes (/énéraux, d'où ces mêmes f)nct ions n'apparaissent })lns (pie comme d'infimes particularités. Pour la même raison enfin, f (à renvoijé au second volume l'élude des fonctions d'une variable com])lexe.

Si, dans la première édition, je me suis abstenu de tout lanf/age et de toute figure géométri(]ues, c'est (pie, dans les limites (pie je m'étais imposées, l'emploi de ce langage ou de ces figures n'aurait guère simplifié les raisonnements, c'est aussi à cause d'une certaine timidité : f avais peur (pie le lecteur ne fût pas bien persuadé, s'il voyait une figure, (pie cette figure n'était (pi'une aide et ne cachait point (pieUpie trou, impossible à combler avec les seules res.sources de la logi(pie, et, peut-être aiis.ni^ avais-je besoin de fortifier en moi-même la conviction que je désirais imprimer dans .son esprit. Aujourd'hui, les craintes de cette .sorte me semblent un ])eu puériles ; j'ai d'ailleurs l'intention, pour ce (pli concerne les éléments de la théorie des fonctions d'une variable complexe, tout en restant dans le domaine du nombre, de profiter des facilités (pi'offre le langa(/e géométrùpie.

Il m'a paru aussi (pie fanais été beaucoup trop timide en parlant des enseinl)lcs;ye m'êt(ds borné (i des indications par trop discrètes, sans mettre suffisamment en lumière le r(')le vraiment fondamental (pie cette notion doit tenir dans une e.x'])osition logi<jue de V anal g se : elle est, à ce (pie je crois, aussi essentielle et plus j)rimitive (pie celle même de limite, (pii lui est d'ailleurs liée étroitement. En dégageant cette notion, en en développant les consé(piences. M. G. Cantor a apporté aux mathémati(]ues et (i la ph'ilosophie des mathémati(]iies une contribution considérable.

PREFACE Vir

iloiit l'iiuporlducc s'dccroil par les lioinbrcn.v tniranx (jii'cllc coiUinnc de susciter. Mais (jiwl r/^c soit son intérêt propre, je ne poniuiis s(>n(/er à exposer l(t llivorie (les ensembles; je me snis borné à (pieUpies propositions très simj)les (pii lui servent de point (le départ et je me snis appnijé franchement sur ces propositions, toutes les fois (pi'elles me senddaient constituer un point d'appui naturel. .l'ai pu d'ailleiws profiter en cela de l'e.vemjile <pi'a donné M. (jiuùlle Jordan dans .son (>()iirs (l'analyse-.

(yest parce ipiil se relie directement à la théorie des ensembles que j'ai eiUiéremenl adopté le point de départ de M. Dedekind pour l'introduction des nombres irr(dionnels, ensacrifuint, nud- (jré sa simplicité et sa rigueur, la méthode de M. Méraij ('). Celui-ci a d'ailleurs donné de cette méthode, au début de ses Leçons nouvelles d'analyse infinitésimale, uiw e.vj)osition sur laquelle il n'y a jhis à revenir.

Sauf la notion (l'inté(jrale, le pré.sent volume contieid éi peu j)rès tout ce <pii /iqurait dans la première édition, c'esl-éi-dire l'introduction des nombres irrationnels, les propositions d'un caractère fondamental qui concernent les ensembles, les limites, les séries, les fonctions d'une variable en yénérfd, les dérivées ; enfin la définition et les propriétés les ])lus sim})les des fonctions élémentaires. Le .second volume .se rapportera à quehpies points essentiels du c(dcul intéqral et de la théorie des fonctions d'une variable comj)le.x\', <pie je me suis efforcé de prép(U'er dans celui-ci.

Pour (pli ce livre est-il écrit ?

Il ne suppose, pour être compris, que très peu de connai.s.sances mathém(di(pies. Le plus souvent les choses y .sont reprises au début et les démonstrations ij .sont très détaillées. Les sujets qui Il .sont traités .sont élémentaires, d'une part parce (pi'ils se rcdt(uhent (usément au.v principes, d'autre fxirt en raison de leur imj)ortance pour la suite. Il send)le donc fait pour des commenanits. et j'ai souvent pensé <i eu.v en l'écrivant. ,J'aur(tis entièrement nmmpié mon but s il ne pouvait être compris d'un commencant <pn serait capable d'appli(pier une forte (dlention à de

(') J'ai eu le tort, dans la première édilion, de l'attribuer à E. Heine.