BA = C

Un tel nombre ne peut exister si A est nul et C différent de zéro, puisque le produit d'im nombre quelconque par o est nul ; je supposerai essentiellement que A ne soit pas nul.

Soit A' son inverse; en supposant que B vérifie l'égalité précédente, on devra avoir (BA)A' = CA' ; on a d'ailleurs

(BA)A' = B(AA') = Bxi = B;

32 IMUODl CTION A I. V TlIi;OUir. Dl-S FONCTIONS

tlonc 1î ne innil vive ('i;al i\\\'h CV : d'aillcMirs (C.V) A o*l ('j^al à C (AA ) on à C 11 n'y a donc (innii lUMiihivî (jui satisfasse à la con- <litioii pi:)sôc ol il v on a un : ce nonil)re est

CA' = C X ly

On eeni ., avec le même sens que {> X rt*

On a maintenant tont ce qn'il faut pour étendre aux nombres •irrationnels les propositions qui se rapportent à l'addition, à la soustraclion, à la multiplication, à la di\ision. Il reste à dclinir la racine n'' arillmictiquc d'un nombre positif A.

26. — l^tant donné un nombre positif A on demande de trouver \\n nond)re positif .c qui vérifie l'équation

où n est un nombre entier plus grand que i. Un tel nombre, s'il existe, est évidemment unique, puisque la puissance n" d'un •nombre positif plus grand ou plus petit que .r est plus grande ou plus petite que x'\ Supposons qu'il n'existe pas de nombre rationnel qui \érifie cette équation.

Rangeons dans une première classe tous les nombres rationnels positifs dont la puissance n'^ est moindre que A, dans une seconde classe tous les nombres rationnels positifs dont la puissance n® est plus grande que A. Cette décomposition en deux classes •des nombres rationnels définit un nombre li. Le produit de n nombres positifs rationnels moindres que B est au plus égal à la n^ puissance du plus grand d'entre eux et par conséquent moindre que A, puisqiie le plus grand de ces n nombres api)aitient certainement, comme eux tous, à la première classe. Le produit de n nombres positifs rationnels plus grands que li est au moins égal à la n® puissance du plus petit d'entre eux et par conséquent plus grand que A, puisque le plus petit de ces n nombres appartient certainement, comme eux tous, à la seconde classe. Le nombre A satisfait donc à la définition du produit de n nombres égaux à B et l'on a B" = A.

Puisque, par bypotbèse, il n'y a pas dénombre rationnel positif

(iiAi-nui; I. — \()\iiiiu:s iiuimionnels 33

(|iil VL'iilic l'rfjiialion x'" r=T \, il faut (|iic !«' intiiibrc IJ, que l'on vient de déliiiir cl dont on a nionlié qu'il vériliait cette équation^ soit irrationnel; c'est- à-diic qu'il n'y a pas, parmi les nombres rationnels pins petits que H. un nombre plus grand que tous les autres, ni. paiini les nond)res raliniinels [)lns grands que B, un nombre plus pelil que tous les aulies. Au reste, c'est un point qu'il ne serait pas dillicile Jélablir directement.

27. — Le nombre positif./- qui vérifie l'égalité x" = A est la racine n" arilhmélique de A, et se représente par\/A ; je laisse de côté les proposilioiis, bien connues du lecteur, qui concernent le calcul arithmétique des radicaux et je me contente, en siq)priniant les démonslralions, de rappeler les définitions qui concernent les exposants fractionnaires, positifs ou négatifs. En désignant par p, q des nombres naturels, on adopte les définitions

k'^Vv, A-'=-L., A«==i,

définitions qui, pour être légitimes, exigent qu'on ait élabli l'égalité V^A''= V^A'' quand la fraction- est égale à la fraction-, -

Dès lors A' est défini quel que soit le nombre rationnel a, et l'on

prouve que l'on a, quels que soient les nombres rationnels a, 3

il faut entendre que les nombres a H- ,^, a'i s'ils ne sont pas entiers, doivent être remplaces par les fractions à termes enliers qui leur sont égales, afin que l'on puisse appliquer les définitions précédentes.

J'aurai encore besoin des remarques qui sui\ent.

Si A est un nombre posilif et ii un nombre naturel, v'A est plus grand que i, égal à i, ou plus petit que i, suivant que A est luimême plus grand que i, égal à i, ou plus petit que i. Cela résulte de ce (jue le [)roduit de n facteurs égaux à vA est plus grand que I, égal à i, plus petit que i, suivant que l'un de ces facteurs est plus grand que i, égala i, plus pelil que i. Par conséquent, en supposant A > i, A^ est plus grand ou plus petit que i suivant

Tax.sery I. — Inlroduclion ù la lli6orie des fonclions 3

3\ INTRODUCTIO-N A LA. ÏIIÉOUIF. DI-S lONCTIONS

que le nombre ralionnel a esl posilif ou négalil"; A* csl rgal à i quaiul y. esl nul el seulement dans ce cas ; A'^ = A* X V'^ ~~ ^ est plus i;ran(l que \^. éyal à \^. plus jniil que A^ sui\anl (jue le nombre ralionnel fj esl [)lus grand que le nombre rationnel a, qu'il lui esl égal, qu'il lui esl inférieur; en parliculier A'""* est supérieur à A, ég'al à A. j)lus pelil que \ suivant que le nondjre ralionnel 7. est positif, nul. lu'gaiif. Des observalions analogues s'appli(|uenl au cas où A est [)lus petit que i .

La délinilion de A*, quand a esl irrationnel, aurait ici sa place naturelle: en supposant A >> i, A^ peut être défini connnc plus grand que tous les nombres A^ el i)l!is jictit que tous les nombres A* , en désignant par a' et par a des nombres rationnels l'un plus petit, l'autre plus grand que a. Toutefois, il est avantageux de renvoyer cette définition à plus lard, afin de la rapprocber d'autres propriétés qui n'ont pas encore été établies.

28. — L'ensemble des nombres rationnels el irrationnels constitue ce que l'on appelle les nombres réels.

La notion de nombre irrationnel, la théorie des opérations à effectuer sur de tels nombres ont été présentées dans les numéros (9-27) sous une forme purement abstraite. On a toutefois introduit cette notion (n" 7) en faisant intervenir qucl([ues notions géométriques. Il n'est peut être pas inutile d'observer que, tout en gardant l'avantage de la représentation et du langage géométrique, il est possible de rester dans la pure analyse. De ce point de vue un point est simplement un nombre réel, la droite est l'ensemble de tous les nombres réels ; un segment limilé par deux points (ou nombres) a, h est l'ensemble des nombres a, h et des nombres compris entre a et 6 ; on le représentera, si l'on veut par le symbole {a, h). Cet ensemble, ou ce segment, est aussi ce qu'on appelle V intervalle [a, h). La longueur du segment {n, h,) sera le nombre positif \l> — a\. Le point a sera à droite ou à gauche du point h suivant que l'on aura entre les nombres a, b, la relation a > 6 ou a <ib.\\ est, à ce que je crois, inutile d'insister sur ces façons de parler, qui seront étudiées plus à fond à propos des systèmes de deux variables.

cii.vi'rnir: i. — nomiires iuii.vtionnels .'îô

29. — La gi'nérali.sa!ioii appoiire au\ dt-liiiilions des opéralions foiidaiiionlalcs et le ("ail que les pr<i|,)iiélés esseiiliellcs de ces (opérations subsislml pciiiiollciil (r;ipj)Ii(pier an calcul des nombres irrationnels les rcf^des olc'nicntaircs concernant les calcnls approchés. Ces règles sont fondées sur les identités suivantes, où A' = A — a, li r=: li — ^'j désignent des valeurs apjn ochées des nond)ies \, lî, et où a. ^j désignent les erreurs :

,( V -f- B — (V -+- M ) -^ a -i- p. A — li — (V — IV) =-. a — p

AH - .vn' = y? + ir. + ,?, ^-^ = ;|^^ ;

•cliacune de ces identités (') permet d'évaluer une limite supérieure de l'erreur Cl innnisc, pour cliacune des opérations fondamentales, quand on substitue aux nombres exacts A, H les nombres approchés A', li' et de montrer que cette erreur peut être rendue aussi petite qu'on le veut en prenant les nombres a, jj assez petits. Ainsi, quand on a les premiers chilTres des représentations décimales de deux iiDUibres rationnels ou irrationnels, on peut avoir une valeur approchée de leur sonmie, de leur dilTérencc, de leur produit, de leur rapport..., et l'on peut reconnaître au moyen des règles •développées dans les traités d'arithmétique, quels chiffres décimaux du nombre calculé appartiennent d'une façon certaine à la représentation décimale du nombre cherché.

Au lieu de la représentation décimale^ on peut employer telles valeurs appiochées que l'on veut. 11 est clair que la connaissance des valeurs a[)prochées d'un nombre fournit sur lui un renseignement d'autant })lus [)récieux que ces valeurs approchent davantage de ce nombre et il importe évidenunent d'avoir celles de ces valeurs qui ont la forme la plus simple. A cet égard, les propositions qui suivent ont une grande importance.

30. — Soit A un nombre réel, autre que o ; considérons les valeurs de l'expression \y — x où x et y sont assujettis à ne prendre que des valeurs entières, y ne pouvant prendre fjue les valeurs i. 2, 3 /: parmi les \alcurs de Ay — ./•. il v en a au

(') La deniiôrc n'a de sens que si lî et 13' sont dillcrents de zéro ; elle u'est ■applicable à la question posée que si 15 et IV sont de même signe.

30 INTUODICTION A LA TlIKORIE DES FONCTIONS

moins une qui est moindre en Aalcur nbsoluc que -t. Si on admet

celte proposition, il en rcsnllc évidemment que |)armi les fractions à termes entiers dont le dénominateur ne dépasse pas /, il y en a

une au moins - dont la dilVérence avec A est iiioindre (lue 7-. r 1 ly

Si, dans l'expression / (Ay — ./•), noiis donnons à y les valeurs 1,2,3..., / et si nous prenons à chaque fois pour x la partie entière de Aj, nous obtiendrons / nombres positifs, plus petits que /, dont les parties entières ne peuvent donc être que les nombres G, I, 2, ...,/ — 1. Si l'une de ces parties entières est o, le théorème est vérifié. Si aucune de ces / parties entières n'est nulle, il faut que, pour deux nombres / (Av, — .'■,), / (Ay^ — .c^), oii y., est supposé i^lus grand que jj, ces parties entières soient égales; en sorte que la diiTérence de ces deux nombres, c'est-à-dire / [A (jo — }'i) — (.''j — -''i)] sera, en valeur absolue, moindre (|ue I ; comme y., — y., .r, — ./:, sont entiers, que le premier de ces deux nombres est positif et plus petit que /, la proposition est démontrée. Si A est positif, il est clair que x^ ne peut être plus petit que ^r-i, puisque, autrement, le nombre /FA (y^ — y,) — (j"^ — Xj) i serait supérieur ou égal à /.

On trouve dans plusieuis recueils (') des tables donnant Lu

valeur des cent premiers multiples de ~ et de -; la mantisse du

produit de - par 11, égale à 7,0028..., commence par deux zéros ;

on en conclu l que -^- est une valeur approchée de £ avec une

erreur moindre ciue <C — • Dans les cent prcnn'ers