PR] = [PO] + [(^)R

Il est aisé de voir que cette égalité subsiste dans tous les cas. En ellel, le nombre qui mesure im segment est plus grand que tout nombre rationnel qui mesure un segment plus petit cpie lui et ■commensurable à l'unité ; il est au contraire [)lus petit ({ue tout nondire rationnel qui mesure un segment plus grand que lui et -commensurable à l'unité. Or, le segment PR est plus grand f[ue la somme de deux segments plus petits respectivement que PQ et <^R, plus petit que la somme de deux segments respectivement plus grands que PQ et QR ; donc |PR] est plus grand que la souune de <leux nondjres rationnels (juelconqucs plus petits respectivement

28 l>"TRODri;T10N A I,A TIIKOUIE DES FONCTIONS

que [PQ], [QK] et plus pptit qiio la somme de deux nombres ralioniicls quelconques respectivement plus grands que [PQ], [Qï^j-

Il résulte de là, comme on sait, que, si l'on considère un axe \'\, sur lequel on a pris un sens positif, et si l'on désigne par

AH le nondire cjui serait l'abscisse du point 13 si l'on prenait A pour origine, on a, quelle que soit la disposition des points A, B, C,

À"G = ÂB -f- BC.

23. — Les détails dans lesquels je suis entré pour la tbéorie de l'addition me permettent d'aller un peu plus vite pour la multiplication.

Soient A, B deux nombres y>oi////'6" ; le produit Ali de ces deux nombres est, par définition, un nombre plus grand que le produit de deux nombres rationnels positifs quelconques respectivement plus petits que A, B et plus petit que le produit de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que A, B.

Cette double condition définit un nombre unique. Considérons en elTet l'ensemble (E) des nombres distincts que l'on peut obtenir en multipliant deux nombres rationnels positifs a, //respectivement plus petits que A, B, et l'ensemble (E) des nombres rationnels distincts que l'on peut obtenir en multipliant deux nombres a, b' respectivement plus grands que A, B.

Tout nombre de (E) ou de (E') est rationnel. La classe inférieure du nombre cherché, s'il existe, doit contenir tous les nombres de (E) ; sa classe supérieure, tous les nombres de(E'j ; tout nombre de (E) est inférieur à tout nombre de (E) ; il y a dans E et dans E' desnombres dont la difTérence est moindre que le nombre rationnel £ ; en elTet, si l'on a

on en déduit, en supposant les nombres rationnels et positifs a, |> plus petits que le nombre rationnel positif y, plus petit lui-même que I,

ciiAi'iiiu: I. — NoMiiUKS luu \ rioNM.i.s 29

où P cK'sijirnc un iiomhic rationnel obtenu en ajoutani runil(' à la somme de ileiiv nomltie-; rationnels rcsneclivemcnt [)lus grands

que A et M ; il sullira donc do |)rendre y <C p- Les deu\ cnscniblcs

(E), (E') satisfont aux conditions spécifiées au n" 17 ; ils délinissent un nombre irrationnel ou rationnel plus grand que tous les nombres de (E), plus petit que tous les nombres de (E'), c'est le produit AB.

La classe inférieure relative à AH est formée des nombres de (K), auxquels on adjoindra toutefois o et les nombres rationnels négatifs; la classe supérieure relative à AB est formée des nombres de E'.

Considérons en eilet l'ensemble (1-^) et les nombres positifs de la classe inférieure relative à AB ; cbaque nondirc de l'ensemble l'^ est l'un de ces nombres positifs ; l'un quelconque m de ces nombres positifs, plus petits que AB, est égal ou inférieur à un nombre de l'ensemble (Ei, c'est-à-dire au i^roduit de deux nombres positifs a, h respectivement [)lus [)clits (juc \, B; on a alors m ^ ah, et le nombre m est le produit des deux nombres a et

— ^ b, qui sont respectivement plus petits que A, B ; donc m est

un nombre de(E). On voit de même que l'ensemble (E') coïncide avec la classe supérieure relative à AB. On a

(1) ABr:=R\.

Le produit de trois nombres [)ositifs A, B, G s'obtient en multi- [)liant par le troisième G le produit AB des deux premiers. La classe inférieure relative au produit (AB)G est formée des nombres négatifs, de zéro, et des nombres obtenus en multipliant trois novnbres positifs ap[)artenant respectivement aux classes inférieures relatives aux nombres A, B, G ; la classe sui)érieure relative au [)roduit (AB) G est formée des nombres obtenus en mulli[)liant trois nombres appartenant respectivement aux classes supérieures relatives à A. B, G. Geci s'étend sans peine au produit de quatre, cincj,... facteurs. On a

(2) vAB)C = A(BC).

3o INTROnrCTlOX A I.A TIIÉOIUK DES !"0>CTIO>"S

Dans \in inoduit (riiii nombre quelconque de raclcnrs positifs on peut iiilevvertir l'ordre des facteurs, remplacer tels facteurs que l'on veut par leur produit encclué.

A étant un nombre positif, on a

en eiïet, un nombre rationnel positif plus petit que A x i étant le produit d'un nombre rationnel positif a, plus petit que A par un nombre rationnel positif plus petit que i, est plus petit que a et^ par suite, que A ; de même tout nombre rationnel plus grand que A X 1 est plus grand que A ; les nombres A X i et A sont égaux. Si A, lî, G sont des nombres positifs on a :

(/,) (A H- B) C z=z AC -f- BC.

En eflet, un nombre rationnel positif plus petit que (A -+- B)G est le produit par im nombre rationnel positif c, plus petit que G, d'un nombre rationnel positif plus petit que A -+- B, c'est-à-dire de la somme a -h h de deux nombres rationnels a, h ])lus petits respectivement que A, B; or, le produit (a -\- b)c étant égala ac -r- hc, est la somme de deux nombres rationnels ac, bc respectivement plus petits que AG, BC ; le produit (a + b)c et, par conséquent, n'importe ([uel nombre rationnel positif plus petit que (A -+- B)G est donc moindre que AG -+ BC ; on voit de même que tout nombre rationnel plus grand que (A h- 1î)G est plusgrand que AC -l- BC : les deux nombres (A 4- BiC et AC -+■ BC. sont égaux (n" 12) .

Les égalités (i^, (2), (3), (/j) expriment les propriétés fondamentales de la multiplication ; elles sont établies pour les nombres positifs. En regardant comme nul le produit de deux ou plusieurs facteurs dont l'un est nul et en se reportant pour les nombres négatifs à la règle des signes, on définit le produit de deux nombres positifs, nuls ou négatifs, et l'on étend à tous les cas les propositions qu'expriment ces égalités.

Les propositions relatives aux inégalités, qui concernent la multiplication, peuvent aussi être regardées comme établies.

24. — Aux nombres rationnels positifs a, b,..., on peut faire

CIIAPITUr: I. — >(iMliltES IKUATIO^MrLS 3l'

correspondre leurs inverses , ,....; si les preimers noml^rcs sont

ranfrés par ordre (le j^aantleiir croissaiile, les seconds son! lanprés par ordre de grandeur décroissante. D'après cela, à chaque nombre irrationnel positif A. on peut faire correspondre un nombre irrationnel jio-^ilif A' de la faeon sui\ante : la classe inférieure relative à A' est formée des inverses des nombres qui appartiennent à la classe supérieure relative à V, du nombre o et des nombres rationnels négatifs ; la classe supérieure relative à A' est formée des inverses des nombres positifs qui appartiennent à la classe inférieure relative à A. Il est clair que les deux classes ainsi définies comprennent tous les nombres rationnels ; sauf ce dernier point, ce fpion vient de dire s'appliquerait aussi bien à un nombre lationncl. Les deux nombres A, A', dont chacun se d(''duit de lautrc de la même façon, sont dits inverses l'un de l'autre. Le produit de deux nombres inverses est égal à j , puisque i est plus grand que le produit de deux nombres positifs appartenant aux classes inférieures relatives à A, A', plus petit que le produit de nombres positifs appartenant aux classes supérieures relatives à A, A'.

Lorsque A est négatif, son inverse est un nombre négatif A' dont la valeur absolue est l'inverse de la valeur absolue de A. Dans ce cas encore le produit A A' est égal à i, et ce nombre A' est le seul dont le produit par A soit égal à i ; à un nombre nul ne correspond aucun nombre inverse.

L'inverse d'un nombre A se représente par -r .

25. — Etant donnés deux nombres A, C, cxiste-t-ilun nond^reB tel que l'on ait