CHAPITRE lir. FRACTIONS CONTINUES

montrent ensuite clairement que f,, cl J,, so drduisoni de /)„ et 7,, e:i les divisant par le même iacteur 70-

Natun-llement, si l'on ne vent pas être dans le cas d'exception signalé plus liaul, on devra ï^upposcr que />,7o — /'//, n'est pas nid.

Si la fraction continue fornu'e avec les quantités a^, r/, , . . . , ^>„, ^, , • ■ •

est convergente, sa valeur sera la limite de ,-^ pour /( infini. ° 7"

147, — Si l'on se donne une fraction continue

on peut la transformer, et cela d'une infinité de façons, en ime autre fraction continue

fl.

telles que les réduites de l'une soient respectivement égales aux réduites correspondantes de l'autre. Conservons, pour la fraction (/) les notations dun^ 142, en accentuant les quantités analogues pour la fraction (/').

Les éléments de cette dernière fraction devront être tels que l'on ait

''n ''Il

en désignant par ).„ un nombre toujours différent de o et qui, pour II = o se réduise à i, afin que l'on ait '2'^ = 'Jo^ i. Les relations

î„ = fl„ î„ 1 -1- b„ :?„,, '.£'„ = a'„ :f ;, i -+- K, r,,-.,

permettraient de déterminer, à partir de n = 2, a„et h,, au moyen de '£,., ..., '-^n—i, ainsi que a^„ b'„ au moyen de '£'„, ..., '■^'„—> ; en

2l8 I>TRODUCTIO> A LA TIlÉOUIF. DES FONCTIONS

remplaçant ces dernières quantités par ^, .., ^ — -, on parvient <le suite aux relations

'•il 'n

Inversement, si ces dernières relations sont vérifiées et si l'on a en outre

-to — J:o» -1 — ,— » -1 — r '

A, Al

■c'est-à-diro

«« = "0. ^ = ^; = fc;'

il est clair que l'on aura, pour n = o, i, i, ...,

Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que chaque ré- •duite de la fraction (/'i soit égale à la réduite correspondante de la Traction [f), consistent en ce que l'on ait

et que l'on puisse déterminer une suite de nombres non nuls /q = ï, À,, À^, ..., /„, ... tels que l'on ait

a'n = ^^' On, (n = I, 2, 3, ...) Kl = -^' h„, \ii = 2, 3, l^, ...).

Il est à peine utile de dire que, si l'on se donne arbitrairement ).,, ).2, ..., et si l'on détermine a\„ h\, a\, h.,, ... parles relations précédentes, les réduites de la fraction (/') sont respectivement «gales aux réduites de la fraction {f).

En écartant le cas où quelqu'une des quantités a,i, b„ serait nulle, on peut dire encore que les conditions nécessaires et suffisantes

cii\riTRr m. — iuactions contim es 219

pour l'égalik' des ivtluilcs, prises rcs|)cctivenicnt clans les fraclions {f) et (f), consistent dans les relations

«o = «o. -^H7~^= / ' (n =:.,:?. 3, ...). En les supposant vérifires on pourra prendre

'" a\ (li '" a'„

Si, par exem[)le, on veut que dans la fraction (/). on ait b'n = i [n = 1, 1, 3, ...), on devra prendre

— ; — i J "2iJ'

Si l'on voulait avoir h',^ = — i, on prendra

'i| , I) .II. .. I>,„ a,„