CII.VPITUE m. FRACTIONS CONTINUES 2l

y.n sera un nombre positif ou nul ; la relation 'J,i =: «;,'-^n - 1 ± '-« — 2 entraîne l'inégalité

ou

sous cette forme, on voit que 'y„ — '2'„i est su[)érieur ou égal à % 1 — 2;j;,, à 2Î,2 — '-?«- 3, à 2', — '>!o = I -^ y-i ; les inégalités

entraînent 'j;, ^ /i -+- i, pour /« = i, 2, — ; la série équivalente à la fraction continue est donc absolument convergente et la propo-

sitlon est démontrée. La somme de la série N -, est au

plus égale à la somme de la série 7 — • , c'est-à-dire à i

(n° 89), Si donc on désigne par A la valeur de la fraction, on a

ùq — I ^ A ^ «0 H- I ; A ne peut d'ailleurs atteindre l'une des valeurs a^ — 1,^^ + 1 que si la somme de la série V —, est égale à i, ce qui ne peut

avoir lieu que dans le cas oi"i l'on aurait 2^, == n -t- i, et par conséquent a,, = o, (n = I, 2, ...) ; cette circonstance exceptionnelle se présente effectivement, comme il est aisé de le voir, dans le cas où l'on a a„ = 2, 6„ = — i (n = 1,2,..).

Si, sans rien supposer sur les quantités a,,, «,, ... a„, hi,h.^, ..., b„, on suppose | />„^ , | = i, | a„^r | ^ 2, pour r = i, 2, ..., on

voit, d'après cela, que la fraction (v'- définie au n*' 142, admet,

pour /' infini, une limite An qui vérifie les inégalités Qn — I S A„ ^ a„ -h I ; on en conclut que si les deux quantités

2„t (rt„ — i) H- 2„.2, 2„i («,. -+- i) + 2„.2

2l'i INTRODUCTION A LA TlIKoiUE DES FONCTIONS

sont de même signe, la l'raclion continue csL cerlainemcnl convergente, et que sa valeur A est comprise entre

;f„iK, — i) -I- i',.— 2 ^ '.£„^i(a„-+- i) ^ f,,-. ^

'J„i (n„ - 1) -H L>„2' 'J„i a„ -t- ij -H '-?„..

ou, dans le cas plus particulier où tous les nombres b^, h^, ... sont égaux à I ,

Il n'est peut-être pas inutile d'observer que l'on parvient à des fractions continues pour lesquelles b,, est égal à — i et où a,, est, jiour n = I, 2, 3, ..., un nombre entier supérieur ou égal à 2, en raisonnant comme on a fait au n" 33. c'est-à-dire en partant d'un nombre A, et en posant successivement

.-v, /V^ rVj

Oq désigne la valeur approchée de A à inie unité près, par excès. A, est plus grand que i ; a,, au moins égal à 2, est la valeur approchée de A, à une unité près, par excès, etc,

145. — En désignant par fii, f'.^, .... '(^-'(.i, .•• deux suites données ne contenant pas de terme nul, considérons, à titre d'exemple, la fraction continue

On a ici, en reprenant les notations du n'' 143. «(, = 0, a, =6, H--;,, /Ji = p.

a« = ?,i -+- Y,„ h„ = pn'ln — i ('î = 2, 3, ...),

et par conséquent

— n Tn ^n — 1 ^ ^ni^^n-i Vn — 1 -^n — l)

CHAI'ITHE m. FllACTIONS CONTINUES 'MO

puis, en faisant f„ ^= Y.ïi ••• ï"'^">

7iY2 ••• T'i

ïi Y1V2 Ï1T2 •••

on parvient Je la même façon à l'expression de Q,, et l'on a finalement

'^n = Y1Y2 ••• YA. 3n = Y1Y2 ... Y" (l + ^")»

On en conclut que la fraction continue proposée est convergente si la série

(l il li (i {-2 ••• i"

est convergente et admet une somme différente de — i, ou encore si ia valeur absolue de la somme s,, des n premiers termes de cette série augmente indéfiniment avec n ; dans le premiers cas la valeur

s de la fraction continue est en désis'nant par s la somme de

la série ; elle est 1 dans le second cas ; en particulier si tous les nombres jv). ^3^,, ..., yi, y^, ... sont positifs, la fraction contiime est toujours convergente. Inversement la proposition précédente permet de transformer la série (j3) supposée convergente, en fraction continue ; en l'appliquant, par exemple, à la série

I 1.2 1.2.3 on trouve sans peine

146. — Regardons les quantités a,,, />„ comme données pour les valeurs de /; égales ou supérieures à 2, et considérons les deux suites infinies Po, pi, ... Pn, .••, Qo, 'Jn •■> ^n, ..., dont les élé-

2l6 INTRODUCTION A L.V THÉOUIE DES FONCTIONS

ments p,,, qn sont, à partir (\o n = 2, rcspeclivcincnl définis au moyen de /)„,/>,, q^, </,, qni sont regardes comme des données, par les relations de récurrence

p„ =p„^a„ -\- p„-:h,„ q„ = ry„.,rr„ -+- q„. .b„.

L'analogie de ces relations avec les relations du n" 143 suggère

naturellement l'idée de mettre le rapport — sous la forme d'une

qn fraction continue limitée

Pi' = a + ^i ,

dans laquelle les quantités a,, a^, ..., a„, b.^, 63, ..., 6„ sont les mêmes que celles qui figurent dans les relations de récurrence : on va déterminer les trois éléments initiaux a^, a^^ h^ de manière que l'égalité précédente ait lieu pour toutes les valeurs de n. Conservons pour la fraction continue illimitée formée avec les éléments a^, 6,, a,, 6j, ..., les notations du n" 143.

Puisque l'on doit avoir Qq = i, il est clair qu'on ne peut pas s'arranger pour que les quantités '£n, % soient respectivement identiques aux quantités/),,, q„\ mais on peut faire en sorte que l'on ait. pour les valeurs o, i, 2, ..., de n,

" ~ a ' "" — TT il suffira de résoudre par rapport à cto' «1» ^1 les relations

c'est-à-dire de prendre

fl — £0 « 9i /, P/h — P<^'h .

Les relations

'.£„ = '£,t-ia„ -h 'Xn-ih,,, pn = /)„i a„ -+- pn—±h,„