CHAPITRE IV. DES FONCTIONS EN GENERAL

lettre X d'une lettre \f'J-), '^{x), g{x) ...J ou d'un assemblage de lettres [log j:, sin x, ...J.

149. — Dans la théorie des nombres, on considère un très grand nombre de fonctions qui sont définies dans l'ensemble des nombres naturels. Telles sont lo nombre des nombres premiers et non supérieurs à n. que l'on désigne iiabituellement par o (/i), le nombre ou la somme des diviseurs de n, etc. La lettre n joue ici le rôle de la variable x.

a étant un nombre positif donné, on définit d'abord a'^ comme le produit de x facteurs égaux à a : cette définition n'a de sens que si ,'■ est un nombre naturel ; la fonction a'" est d'abord définie dans l'ensemble des nombres naturels ; on la définit ensuite dans l'ensemble des nombres rationnels : elle sera définie plus tard dans l'ensemble des nombres réels.

Lue table de logarithmes définit une correspondance entre les nombres naturels, depuis i jusqu'à 100000, par exemple, et certains nombres qui en sont dits les logarithmes : elle définira donc, dans l'ensemble des nombres naturels de i à 100 000, une certaine fonction de x, dont la diiTércnce avec la fonction log.r, qui sera définie plus tard est au plus égale à une demi-unité du dernier ordre décimal.

L'ensemble ' X) peut être un intervalle; par exemple, la fonction Ji — x^ est définie pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle f — i, -h i). Il peut être l'ensemble des nombres réels ; par exemple la fonction x- est définie pour toutes les valeurs de x.

150. — La fonction y = f{x), déterminée dans l'ensemble (X) est dite bornée, en haut ou en bas, si l'ensemble (\) est borné en haut ou en bas. Sa borne supérieure, ou sa borne inférieure, dans l'ensemble (X), est la borne supérieure ou la borne inférieure de (Y) ; la fonction est dite bornée (') sans épithète

(') Le fait que la fonction f(x) est dcterininée dans l'ensemble (\), par exemple clans linlcrvalle (o, i) n'implique nullement que la fonction soit bornée dans cet intervalle : Ainsi une fonction de x qui serait égale à i pour

X = o, à - pour toutes les autres valeurs de rintervallcne serait pas bornée en

haut dans rintervallc considéré.

•>22 INTUODLC.TIUN A I.A TIIKOUIE J.ES lONCTIONS

ihrle si renseniblc (^ ) csl borne'' en haul et en bas. 11 en sera certainement ainsi si la diiïérence entre deux cléments quelconques de (\), c'est-à-dire entre deux \;\leiiis quelconques de la foncliony^.c), reste moindre en valeur absolue, qu'un nombre positif fixe. L'ècaii de la l'onction, dans (\), est alors la diiïérence M — i» entre les deux bornes : c'est l'écart de l'ensemble (Y) (n''48). Ces diverses notions donnent lieu à la remarque (|ue voici :

Soit (\ ) un ensemble de valeurs de ./; contenu dans (\), la lunelion f(.r) déterminée dans (\) est. par cela même déterminée dans {\'), et l'ensemble (\ ) de ses valeurs dans (V) est évidemment contenu dans(^). Si la fonction /( r) est bornée en liant ou en bas, dans (\), elle est aussi bornée, en haut ou en bas, dans (\'). Sa borne supérieure M dans (\ ) est plus égale à sa borne supérieure M dans (X) ; sa borne inférieure ni dans (X) est au moins égale à sa borne inférieure /» dans (X). Son écart M' — m dans (X) ne peut dépasser son écart M — m dans (X).

151. — La façon dont se comporte une fonction /(x) aux environs d'un point d'accumulation a de l'ensemble (X) dans lequel elle est définie offre un intérêt particulier, et il convient d'introduire de suite, à ce sujet, quelques définitions et notations essentielles.

Que le point d'accumulation appartienne ou nonàcet ensemble,

on dit que la fonction /(.'-) tend vers la limite A quand x tend

vers a, ou plus brièvement que/(j.') admet au point a la limite A^

et l'on écrit

lim. f(x) = A,

pour dire, en gros, que la valeur de la fonction /(.r) est très voisine du nombre A, lorsque le nombre x, que l'on suppose toujours appartenir à l'ensemble (X), est très voisin de a, et d'une façon précise que, quelque petit que soit le nombre positifs, il lui correspond un nombre positif y; tel que l'on ait \ fix) — A | <C £ pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X) et satisfont à la condition \ x — a | <C z^-

S'il en est ainsi, la limite A appartient à l'ensemble (\) des valeurs distinctes de f[x), ou bien est un point d'accumulation de cet ensemble, puisque, autrement, on pourrait regarder A comme le centre d'un intervalle (A — a, A -h a) auquel n'appartiendrait

nilAPITHE IV. DF.S lONCTIONS EN r.KNKR.VI, 2^3

aucun poinl de (Y), en soite ([uc l'on aurait, [lour lont jKiini .ccI(mX), l/ix) — A|>a.

En supposant toujours (pic lUn ;iil Uni /(.c) = A, il est clair

que si .r,. x.^, '•„, forniciil une suite inliiiic de nombres ;ipp,ir-

lenant à (\ . et adinetlanl '/ pour liniilc, on aura lini./(x„) = A ;

(1 = ys

mais lexistence d'une suite de nombres x^, x^, ..., .r„, ... jippailenant à ( \). telle que l'on ait lim. x,, =^ ci, lini. /"(.'„) = V n'im-

plique pas que la fonction /(./•) admette A pour limite au sens que

l'on a donné à ce mot ; on conçoit en elTct que, en dehors des

points ./■,, x'o, ..., ./'„ il puisse y avoir, dans l'ensemble (\),

des points très rapprociiés de a. et pour lesquels la Ibnction /'(./) ne

soit pas voisine de A.

La remarque suivante est évidente : si l'on a lim.y(./:) = A et

./• = 'I si l'on a, pour les valeurs de x appartenant à [\), f(x) ]> Ji, en

désignant par B une constante, on aura A è B.

152. — Lorsque le point d'accumulation n appartient à (X), la fonction flx) a en ce point une valeur déterminée J'{n). Si la fonction y*(.r) admet en ce point ime limite A, au sens qu'on vient d'expliquer, cette limite ne peut différer de /(o) ; puisque linégalité I /"(./■) — A I << c doit être vérifiée, quelque petit que soit le nombre positif £, par la valeur x = a, qui satisfait à l'inégalité \ X — a I <C v;, quelque soit le nombre positif 7; . Lorscjue le point d'accumulation a appartient à (X) et que l'on a, au sens précisé plus liant, lim. /('') = /(a)? on. dit que la fonction f{x) est

continue au point a. Si l'on n'a pas \ïm.f{x)=zf[n] la fonction est

discontinue au point a. On ne parlera de la continuité ou de la discontinuité d'une fonction en un point, que si ce point est un [)oint d'accumulation de (X), contenu dans (X).

153. — De même qu'on a jirécisé la signification de l'égalité lim.y(./:), on précisera la signilication des égalités symboliques

lim. f{x) = ~\- ce , lim. f{.r) = — x , lim. | /(.'•) j = -f- x .

224 I^TftODLCT10^• A LA THÉORIE DES FONCTIONS

La première, par exemple, veut dire que quelque grand que soit le nombre B, il lui correspond un nombre positif /; tel que l'on ait /(.'•) > B, pour toutes les valeurs de :r qui appartiennent à (X) et vérifient la condition \ :c — « | < t,. S'il en est ainsi, a ne peut appartenir à (X) ; car, si a appartenait à (X), la fonction / ,r) aurait en ce point une valeur déterminée fia) et en prenant B supérieur Il fÇa), on ne pourrait avoir y" (j) > B pour la valeur .r = a qui satisfait à la condition \ x — « I <C /;, quel que soit le nombre positif y;.

On remarquera encore que, si l'on a lim. f{x) =: -h x et si

x^, X2, ..., x,„ ... forment une suite infinie de nombres, tels que l'on ait lim, Xn = a, on aura lim. f{x„) = -t-oc ; mais l'existence

d'une pareille suite de nombres n'implique pas que l'on ait lim. f{x) = -{-ce .

De même si (X) n'est pas limité en haut ou en bas, on pourra préciser le sens des égalités symboliques

lim. /(./•• =: A, lim. f{x) = -|-x , lim. /(./■) = — 30 ,

lim. f(x) = A, Vim.f(x) = -+- ce. lim. f(x) = — co ,

x= — îC a;=z — 00 a;= — oc

La dernière, par exemple, veut dire que quelque grand que soit le nombre positif B, on peut lui faire correspondre un nombre positif C, tel que l'on Siïlf{x)<i — B, sous la condition que x appartienne à (X) et que l'on aal x <i — G. Je crois inutile d'insister davantage.

154. — La notion de fonction, telle qu'elle a été présentée plus haut, est très générale ; elle se réduit au fond à une correspondance entre deux ensembles ; on va toutefois la généraliser encore. Je dois prévenir le lecteur que cette généralité qu'on recherche ici, on la recherche moins pour elle-même qu'en vue d'éviter d'insupportables répétitions dans l'étude des fonctions particulières ; elle j)ermet d'ailleurs de distinguer nettement les suppositions sur lesquelles s'appuie chaque démonstration, et de ne faire intervenir,

cji.viMrnt; i\ , — ui:s i'u.nchqns en ge.mcu.vi, 2'J.-)

dans les dcmonstrations, que les suppositions mcmc. On reste ici dans un domaine purement logique.

L'idée de fonction peut être généralisée dans diverses directions : il est clair en elTet qu'aux ensembles de nombres (X). (Y) qu'on a considérés jusqu'ici, on peut substituer d'autres ensembles.

Tout d'abord, au lieu de partir d'un ensemble de nombres (X), on peut partir d'un ensemble dont les éléments soient des systèmes de nombres, et faire correspondre un nombre à chacun de ces éléments : on parvient ainsi à la notion d'une fonction de plusieurs variables ; je me bornerai aux fonctions de deux variables, l'extension aux fonctions de trois, quatre... variables étant immédiate ; je ne dirai d'ailleurs de ces fonctions de deux variables, pour le moment, que ce qui est indispensable pour l'étude des fonctions d'une variable, oii l'on ne peut empêcher qu'elles interviennent de temps en temps.

Partons d'un ensemble (X^ ) dont chaque élément soit un système de deux nombres, rangés dans un ordre déterminé : on regarde le premier des nombres qui figurent dans chaque système comme une valeur attribuée à une lettre (ou variable) x, et le second comme une valeur attribuée à une autre lettre (ou variable) y. En disant, comme d'habitude, que tous les éléments de (X\) sont distincts, il faut entendre que, si les systèmes des deux nombres jc,, j, et x^, y^ sont des éléments de(XY), on n'a pas à la foisaji =a:2etj, = y^.

Supposons maintenant qu'à chaque élément de (XY) corresponde im nombre qu'on regardera comme une valeur attribuée à une lettre z ; on dira que z est une fonction de x, y déterminée dans (XY). Les valeurs distinctes de z forment un ensemble (Z) dont chaque élément correspond à un élément de l'ensemble (XY). Celui-ci peut d'ailleurs être constitué de façons très diverses : je reviendrai sur l'étude d'ensembles de cette nature, étude que facilitera l'emploi du langage géométrique ; je ne veux signaler que deux cas spéciaux, le cas où chaque système de deux nombres qui constitue un élément de (X\ ) est formé de l'un quelconque des nombres x qui appartient à un ensemble de nombres (X), et do l'un quelconque des nombres v qui apparlionnont à un ensemble de nombres (^], et le cas plus particulier où l'ensemble (X) se réduit à un intervalle (a, a') et l'ensemble (Y) à un inter-

TA:«!«EnT I — îiitrodliction k la tbùorie des fonction.i 15

aa6 INTRODUCTION A L\ TllÉOniE DES l'OMCTIONS

vallc (6, h') ; dans ce dernier cas chaque clément de l'ensemble (XY) est vm système de deux nombres x, y ({ul vrrKicnt les conditions a ^ x ^ a', b ^ y ^ 1/ et chaque système de deux nombres x, y qui vérifient ces conditions est un élément de l'ensemble (X^) : à chacun de ces éléments correspond une valeur de la fonclion r = f{j:, y), qui est ainsi déterminée pour tous les systèmes de valeurs de x, y qui vérifient les conditions précédentes. C'est, pour les fonctions de deux variables, la notion qui correspond à celle d'une fonction d'une A'ariable déterminée dans un intervalle.

Par exemple, un polynôme en x, y est évidemment une fonction déterminée dans n'importe quel ensemble (XY) constitué comme on vient de l'expliquer.

Si l'ensemble (Z) des valeurs distinctes de z est borné, on dira que la fonction z ^= f{x, y) est bornée dans l'ensemble (XY) : les définitions de la borne supérieure ou inférieure, de l'écart de la fonction dans cet ensemble sont les mêmes que pour les fonctions d'une variable.

155. — Revenons à un ensemble (X), dont chaque élément est un nombre ou un point, une valeur attribuée à la variable x. On peut faire correspondre à chaque élément de (X) un ensemble de nombres 6(07); on arrive ainsi à la notion d'un ensemble-fonction de X, déterminé dans l'ensemble (X), c'est-à-dire pour chaquô Valeiu- de X appartenant à (X).

Par exemple l'ensemble des nombres premiers non supérieurs à un nombre naturel n, l'ensemble des diviseurs d'un nombre naturel 71 sont définis dans l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des nombres premiers dont le premier chiffre est x est défini dans l'ensemble (X) des nombres i, 2, 3, ..,, 9. L'ensemble 8 (jî) des nombres plus petits que x, est défini dans l'ensemble (X) des nombres réels. L'ensemble des nombres dont le carré est plus petit que X est défini dans l'ensemble (X) des nombres positifs, etc.. Un intervalle (a, x) dont une borne a est donnée, peut être regardé comme un ensemble-fonction de l'autre borne x.

Il n'y a aucune difficulté de plus à concevoir des ensembles qui dépendent, de deux, trois... variables. Je ne m'y arrêterai pas.

Si l'ensemble C {x) déterminé dans l'ensemble (X) est borné en

ciiAPiTnn IV. — Dr.s i'onctions en général 227

liaul, [)ar exemple, pour chaque valeur de .c appartenant ;> (X), il est clair que sa borne supérieure sera une fonction de x dans (X), de niônic sa borne inférieure, ou son écart, si, pour chaque valeur de :r, appartenant à (X), l'ensemble t''(x) est borné en haut et en bas.

Voici une proposition, où interviennent ces notions, qui nous sera souvent utile.

156. — Soit (A) un cnsend)le de nombres positifs dont o soit un point d'accumulation ; je sujipose essentiellement que o ne fasse pas partie de (A). (A) pourra être par exemple l'ensemble des inverses des nombres naturels, ou l'ensemble des nombres positifs (non nuls) qui sont inférieurs à un nombre donne. Regardons les nombres qui constituent (A) comme des valeurs attribuées à la variable i. Quand il sera question plus loin d'une valeur de î, telle que cq, Cl, c', ..., il sera toujours entendu que celte valeur fait partie de l'ensemble (A). C'est d'ailleurs les valeurs de s voisines du point d'accumulation o qui vont intervenir.

Soit B(c) un ensemble de nombres déterminé pour chaque valeur de c [appartenant à (A)j : 8 (c) est un ensemble-fonction de t déterminé dans (A). Je suppose essentiellement, sur l'ensemble 8 (s), qu'il existe, c'est-à-dire qu'il contient des éléments en nombre fini ou infini, pour chaque valeur £ de (A). Je suppose en outre que l'ensemble 8(c) satisfasse aux deux conditions suivantes :

I" Si l'on a c' > s", l'ensemble 8(0) contient l'ensemble 6(ê").

2° L'ensemble 8(c) est borné en haut et en bas, quelque soit le nombre s, appartenant à (A). — Il convient d'observer que, en vertu de la première condition, si l'ensemble 8(co) est borné, il en est de même de tous les ensembles 8(c) pour lesquels £ est jikis petit que Sq.

Je désignerai par L(c), l{i) la borne supérieure et la borne inférieure de l'ensemble 8 (£). En vertu de la condition 1°, on a, en supposant i' >■ i" (n" 46)

De ces inégalités même, il résulte que, si t" est plus grand que £', on a encore L(£") à /(ê') ; en d'autres termes, cette inégalité subsiste quels que soient les 'nombres i', £* : l'ensemble des

2 2S INTRODUCTION A LA. TllÉOUIE DES FONCTIONS

valeurs tic la fonction L (s), définie clans (A), est formé de nombres supérieurs ou égaux à ceux qui constituent l'ensemble des valeurs de la fonction l[c) définie dans le même ensemble : la fonction L(2) est bornée en bas; soit L sa borne inférieure; la fonction /(c)est bornée en liaut, soit / sa borne supérieure. Il est clair qu'on a/sL.

Il est bien aisé de voir que L et / sont les limites respectives pour î = G, des fonctions L(c), /(ô).

En efict, L étant la borne inférieure de l'ensemble des valeurs distinctes de L(£), il y a des valeurs de L(c) qui sont aussi rapprocbées qu'on voudra de L ; en d'autres termes, quelque petit que soit le nombre positif a, il y a, dans (A), un nombre ■' tel que l'on ait L ^ L(c') < L H- a. Pour les valeurs de z inférieures à c', L(c), toujours supérieur (ou égal) à L, est inférieur (ou égal) à L(c') et par suite inférieur à L 4- a : ainsi, à chaque nombre positif a correspond un nombre positif c', tel que l'on ait o^L(£) — L<;a, pour toutes les valeurs de z, moindres que z', qui appartiennent à (A) : cela revient à dire que l'on a lim. L[z) ^ L; l'égalité

lim. /(;) = / se démontre de la même façon.

Ces préliminaires posés, mon objet principal est la démonstration du théorème suivant :

Sous les conditions imposées aux ensembles 8(£), on peut affirmer l'existence d'un nombre (ou d'un point) k, qui appartient à la fois à tous les ensembles ^(s), ou qui est un point d'accumulation pour chacun de ces ensembles ; rien n'empêche d'ailleurs que le point k appartienne à la fois à tous les ensembles 8(c) et soit en même temps un point d'accumulation pour chacun d'eux.

11 peut y avoir plusieurs points k, jouissant de la propriété qu'on vient de définir ; ces points forment un ensemble qui, s'il est infini, est clos ; les nombres L et / sont respectivement les bornes supérieure et inférieure de cet ensemble.

Avant de passer à la démonstration abstraite de ce théorème, le lecteur fera bien de se le représenter sous la forme géométrique : chaque ensemble 8(î) est un ensemble de points sur l'axe des abscisses, points dont chacun appartient à l'intervalle [/(c), L(c)]; quand z diminue, l'ensemble 8(c) et l'intervalle [/(s), L(c)] se resserrent, en quelque sorte, et, quand z est très petit, cet inter-