CHAPITRE IV. DES rONCTIONS EN GÉNÉRAL

valle est très voisin de l'intervalle (/, L) qu'il contient d'ailleurs ; dans l'intervalle [/(s), L(-)|, il y a certainement des pf)ints qui appartiennent à l'ensemble 8(î) et, par conséquent, aux ensendjles analogues pour lesquels • est plus grand, dans l'intervalle (/, L), qui est, au sens géométrique, la limite de l'intervalle [/(s), L(i)], il y a des points k qui sont à la fois des points de tous les ensembles 8 (s), ou des points d'accumulation de tous ces ensembles. Les points k de la piemière espèce sont, en quelque sorte, le résidu de tous les ensembles 8(i), quand i tend vers o ; autour des points A: de la seconde espèce, les points de l'ensemble è(i) ne cessent pas, en quelque sorte, de s'entasser lorsque z tend vers o.

Pour prouver l'existence d'un nombre A-, je prouverai que le nombre L jouit des propriétés qui lui sont attribuées, c'est-à-dire que, en désignant par i^ un élément quelconque de (A), L est un point de &{-q) ou un point d'accumulation de B(co)-

En effet, quel que soit le nombre £ appartenant à (A), L(i) est, soit un point de E(£), soit un point d'accumulation de 8(0) ; supposons dans ce qui suit z <[ îq, l'ensemble 8(0) étant contenu dans gfcj, L(c) est aussi soit un point de &{îq), soit un point d'accumulation de 8(£„) : il faut bien qu'il en soit de même de la limite L de Lfc) pour £ =r G : car, si le point L n'appartenait pas à 8(£o) et n'en était pas un point d'accumulation, on pourrait (n*^ 49) le regarder comme le centre d'un intervalle (L — a, L -f- a) qui ne contiendrait aucun point de 8(£y) et aucun point d'accumulation de 8f£û), ni par conséquent aucun point des ensembles 8(£), non plus qu'un point d'accumulation de l'un de ces ensembles, puisqu'ils sont tous contenus dans 8(£^) ; cet intervalle ne contiendrait donc aucun des points L;^£), qui, pour £ suffisamment petit, sont aussi voisins qu'on le veut de leur limite L. La contradiction est évidente. Le raisonnement précédent s'appliquerait aussi bien à /.

Ainsi il y a des nombres k (L et / par exemple) qui jouissent de la propriété suivante : Quel que soit l'élément Ho de l'ensemble (A), le point k est ou un point de &{c^) ou un point d'accumulation de 8(co). Si maintenant /v n'appartient pas à 8(£o\ il n'appartient pas non plus aux ensembles 8 (î) pour lesquels on a £ <C ô^, puisque tous ces ensembles sont contenus dans8(£o) ; pour tous ces ensembles, k est un point d'accumulation ; il est aussi un point d'accumulation pour l'ensemble 8(£) si £ est plus grand que £0. puisque

aSo INTRODUCTION A L\ TIIICOUIE DES FONCTIONS

cet cnsomlile conliont alors {'-{i^) : /.' ost un point d'accumulation pour tous les ensembles t(î). 11 est donc vrai que le point k appartient à la t'ois à tous les ensembles C[3)ou bien est à la fois un point d'accumulation pour tous ces ensembles.

Puisque l'on a, quelque soit i, l{z) ^ // g L (£), on voit, en faisant tendre s vers o, que l'on a / ^ /r s L.

Je désignerai par 8(0) l'ensemble des points /■•, précédemment définis. Cet ensemble se réduit évidemment à un point lorsque l'on a L = /.

Dans ce cas, il est clair que toute fonction /(;) déterminée dans l'ensemble (A) et telle que l'on ait, pour cbaque valeur 1 de (\), /(s) S /(h) ^ L (£), jouit de la propriété lim. /(s) = L = /.

C'est ime généralisation manifeste d'une proposition établie au n" 58.

S'il y a un nombre infini de points /.-, l'ensemble 8(0) est clos. c'est-à-dire qu'il contient ses points d'accumulation.

En effet si /.q est un point d'accumulation de 8 (o), il y a aux environs de k\, et aussi près de /»q qu'on le veut, des points k, lesquels sont, soit des points de l'ensemble 8(3), soit des points d'accumulation de cet ensemble ; dans tous les cas. il y a des points de 8 (î) qui sont aussi près qu'on le veut de k^ ; donc k^J est un point d'accumulation de 8- (c) ou un point de cet ensemble. Ceci ayant lieu quelque soit -, il faut bien que /.\j appartienne h l'ensemble 8(0). On savait déjà que cet ensemble 8 (o) contient ses bornes supérieure et inférieure L, /.

Si // est un point qui n'appartienne pas à l'ensemble 8 (o), on peut aftirmer qu'aux environs de ce point, il n'y a plus de points de l'ensemble 8 1 s) j^ourvu que £ soit inférieur à un nombre suffisamment petit £'. En effet parmi les ensembles 8 (£) il y en a certainement un 8 (c'j tel que k' ne soit ni un point de 8 (i) ni un point d'accumulation pour 8(c'), car, autrement // appartiendrait à l'ensemble 8 (o). Dès lors, il existe (n" 49), un intervalle {k' — a, k' -f-a) dont k' est le centre, et auquel n'appartient aucun point de 8 (£'), non plus qu'aucun point des ensembles 8(£) pour lesquels on a c •< c . puisque tous les points de ces derniers ensembles appartiennent à 8 (c').

Le théorème qu'on vient d'établir prend une forme un peu plus simple quand tous les ensembles 8 (£) sont clos.

GHAPITUE IV. — DES FONCTIONS EN OÉNÉHAL 9..Si

On pput alors affirnicr sous la condition i" l'cxislonco d'un ensemble i', (o) dont tous les points appartiennent à la l'ois à tous les ensembles 8 (c).

On aurait pu d'ailleurs se borner à la démonstration du théorème général dans ce cas particulier :

Le lecteur reconnaîtra en elTet sans peine que le cas général se ramène au cas particulier, en remplarant l'ensemble 8 (s), satisfaisant aux conditions i" et 2", par l'ensemble clos 8 (c) -+- 8' (s) dont les éléments appartiennent soit à 8 (s) soit h son ensemble dérivé 8' (h).

Dans plusieurs des applications qui vont suivre, l'ensemble (A) des valeurs de s sera formé de tous les nombres positifs (à l'exclusion de o) qui sont inférieurs à un nombre positif lixe A.

Dans le cas où l'ensemble (A) se réduit à l'ensemble des inverses des nombres naturels, le théorème général peut être énoncé sous la forme que l'on va dire. Le lecteur pourra démonticr le théorème sous cette forme, et en déduire ensuite l'énoncé général.

Soit

une suite infinie d'ensembles dénombres ou de points : on suppose que chacun de ces ensembles existe, c'est-à-dire que 8„ contient des points, en nombre fini ou infini, quelque soit le nombre naturel n; on suppose ensuite que 8„ contient 8^ si l'on & n <C. p, et que 8, est borné ; il en résulte que tous les ensembles suivants sont bornés.

Dans CCS conditions, il existe un ensemble 8a) composé d'un nombre fini ou infini de points, dont chacun est soit un point commun à tous les ensembles 8,, 82» •••, soit un point d'accumulation commun à tous ces ensembles.

157. — L'importante notion de la continuité en un point d'accumulation a de (X) s'éclaire en étudiant la façon dont se comporte en général une fonction f{x), déterminée dans l'ensemble (X) pour les valeurs de la variable très voisines d'un point d'accunmlation a, soit d'ailleurs que ce point appartienne à (X), soit qu'il ne lui appartienne pas.

En supposant seulement que la fonction f{x) soit bornée aux environs do ce point, c'est-à-dire qu'il existe un nombre positif A